1、3.2 立体几何中的向量方法空间距离利用向量方法求解空间距离问题，可以回避此类问题中 大量的作图、证明等步 骤，而转化为向量间的计算问 题来源: 学|科|网 Z|X|X|K例如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4，E、F 分别是 AB、AD 的中点，GC平 面 ABCD，且 GC2，求点 B 到平面 EFG 的距离分析：由题设可知 CG、CB、CD 两两互相垂直，可以由此建立空间直角坐标系用向量法求解，就是求出过 B 且垂直于平面 EFG 的向量，它的长即为点 B 到平面 EFG 的距离解：如图，设4i， 4 j， 2k，以 i、j、k 为坐CDBCG标向量建立空间直角坐标系 C xyz由题
2、设 C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)，D(4,0,0)，E(2,4,0)，F(4,2,0)，G(0,0,2) ， ，(2,0)BE(4,20)BF， ，4GE,F设 平面 EFG，M 为垂足，则 M、G、E、F 四点共面，由共面向量定理知，存在实数 a、b、c ，使得 ，BabcB(1)abc (2 a+4b,2b4c,2c) (2,0)(4,20)(,4)Bc由 平面 EFG，得 ， ，于是， GEF (,)(,)24201abc整理得： ，解得 10235cba15731abc BM(2a+4b ,2b4c ,2c) )6,2( 22261|1BM故点 B 到平面 EF
3、G 的距离为 说明：用向量法求点到平面的距离，常常不 必作出垂线段，只需利用垂足在平面内、共面向量定理、两个向量垂直的充要条件解 出 垂线段对应的向量就可以了例 2 已知正方体 ABCD 的棱长为 1，求直线 与 AC 的距离ABCDDA分析：设异面直线 、AC 的公垂线是直线 l，则线段 在直线 l 上的射影就是两异面直线的公垂线段，所以此题可以利用向量的数量积的几何意义求解解：如图，设 i， j， k，以 i、 j、k 为坐标向量建立空间直角坐标系 xyz，则有B， ， ， (1,0)A(,1)D(,0)A(,1)C ， ， ,(0,1)A设 n 是直线 l 方向上的单位向量，则 ()xyz 22xyz n ，n ，DAC ，解得 或 1022zyx 3zyx 3xyz取 n ，则向量 在直线 l 上的投影为3(,)An A )3,(1,0(3由两个向量的数量积的几何意义知，直线 与 AC 的 距离为 DA3
