1、第三章,3.1条件概率与独立性,一 条件概率 二 随机事件的独立性 三 独立性在可靠性问题中的应用 四 贝努利概型与二项概率,一 条件概率,问题的提法：（1）给定一个随机试验，是它的样本空间，问“事件A发生的概率”？（2）在上述前提下，问“已知某事件B已经发生了，那么事件A发生的概率是多少”？,例1，盒中装有16个球，6个玻璃球，其中2个红色4个兰色；10个木质球，其中3个红色7个兰色。现从中任取一球，记A=取到玻璃球，B=取到兰色球则 P（A）=6/16，P（B）=11/16。AB=取到兰色玻璃球，P（AB）=4/16,问“如果已知取到的是兰色球，那么它是玻璃球的概率”是多少？,上述概率可以
2、记为P（AB）P（AB）=4/11事实上这时的样本空间已经发生变化，变 成为11个兰色球，n=11进一步我们发现，P（AB）=P（AB）/P（B）,定义 ：给定一个随机试验，是它的样本空间，对于任意两个事件A、B，其中P（B）0，称P（AB）=P（AB）/P（B）为在已知事件B发生的条件下事件A发生的条件概率。,P（AB）=P（AB）/P（B）,条件概率也是概率，满足概率的公理化定义中的三条公理，即 公理1. P（AB）0； 公理2. P（B）=1； 公理3. P（AiB）=P（AiB）且有同样的性质。注意在同一个条件下使用。,例25个乒乓球，3个新的，2个旧的。每次取一个，无放回地取两次。记
3、A=第一次取到新球，B=第二次取到新球求：P（A），P（AB），P（BA）.解：p(A)=3/5,p(AB)=(32)/(54)=3/10,p(B|A)=p(AB)/p(A)=1/2,.,例3(课本第18页例1.14) 某建筑物按设计要求使用寿命超过50年 的概率为0.8，超过60年的概率为0.6，该建筑物经历了50年之后，它将在10年内 倒塌 的概率有多大？,解：B：该建筑物的寿命在年以上，A：该建筑物的寿命在年以上所求概率为p(|B)= 1-p(A|B)=1-p(AB)/p(B)=1-p(A)/p(B)=1-0.6/0.8=1/4 注意此处p(AB)=p(A),由条件概率的定义立即得到概率
4、的乘法公式：当P（A）0 或P（B）0 时，P（AB）=P（A）P（BA）或 P（AB）=P（B）P（AB）,乘法公式可推广到多个随机事件上去 ，P(ABC)=p(A)p(B|A)p(C|AB),例5，10个考题中，4难6易。三人参加抽题 （不放回），甲先、乙次、丙最后。记事件A、B、C分别表示三人各抽到难题。试求：P（A），P（AB），P（ABC）. 解: P(A)=4/10=2/5,P(AB)=p(A)p(B|A)=4/10 3/9=2/15,P(ABC)=p(A)p(B|A)p(C|AB)=2/152/8=1/30.,思考：相互独立与互不相容有何区别？,一副扑克牌共52张，现从中随机地抽
5、取一张，A=抽到K，B=抽到红桃，可以验证事件A,B是相互独立的.,抛一枚均匀硬币2次，A=第一次正面向上 ，B=第二次正面向上,可以验证事件A,B是相互独立的. 样本空间为正正，正反，反正，反反,例1中我们也可以这样来求：,定义可以推广到n个事件上去,上述定理也可以推广。,由题意1-(0.4)n 0.99解出n 5.027,即至少需要6门炮才能以99%的把握命中敌机。,三 独立性在可靠性问题中的应用,1,2,3,4,系统可靠度为,先算1和2并联的可靠度,再算1，2和3串联的可靠度,最后算1，2，3和4并联的可靠度,四. 贝努利概型与二项概率,5C3*0.23*(1-0.2)(5-3)=0.0
6、512,Ai=命中i次，B=至少命中两次 P(B)=1-P(A0)-P(A1),3.2 全概公式与逆概公式,一 全概公式,定义 设，n满足下面的条件：（），n两两互不相容；（）n=则称，n构成样本空间的一个划分（或称构成一个完备事件组）,一个完备事件组的概率之和=1,A1=甲厂生产，A2=乙厂生产，A3=丙厂生产，B=取得正品=5/10*9/10+3/10*14/15+2/10*19/20 =0.92,坐火车，船，汽车，飞机 构成一个完备事件组，其概率和=1Ai=乘*交通工具，B=迟到=0.3*0.25+0.2 *0.3+0.1*0.1+0.4*0 =0.145,在例中又问：若取到的是正品，那
7、么它是由甲厂生产的概率是多少？ P(A1|B)=P(A1)P(B|A1)/P(B)=0.5*0.9/0.92=45/92在例3中又问：若这个人迟到了，那么他是坐轮船来的概率有多大？ P(A2|B)=P(A2)P(B|A2)/P(B)=0.2*0.3/0.145=0.4138,如果经仪器测试是次品而实际是正品的概率很高，则不能采用，反之可以采用 抽取一件产品，次品率0.001，正品率0.999。 次品检验中：误判为正品的概率0.005，判为次品的概率0.95 正品检验中：判为正品的概率0，95，误判为次品的概率0.005,A=任取一件产品，是正品 A(逆)=任取一件产品，是次品 B=经仪器测试认
8、为是次品 P(A)=0.999 要求P(A|B). P(B)=P(A)P(B|A)+P(A逆)P(B|A逆)=0.999*0.05+0.001*0.95 P(A|B)=P(A)P(B|A)/P(B),Ai=3人中有i人射中了飞机，i=0，1，2，3 B=飞机坠毁P(B|A1)=0.2 P(B|A2)=0.6 P(B|A3)=1 P(B|A0)=0 P(A1)=0.4*0.5*0.3+0.6*0.5*0.3+0.6*0.5*0.7=0.36 P(A2)=0.4*0.5*0.3+0.6*0.5*0.7+0.4*0.5*0.7=0.41 P(A3)=0.4*0.5*0.7=0.14 P(A0)=0.
9、6*0.5*0.3=0.09 所以P(B)=0.458P(A1|B)=P(A1)P(B|A1)/P(B)=36/229,例一项血液化验以概率0.95将带菌病人检出阳性，但也有1%的概率误将健康人检出阳性假设已知该种疾病的发病率为0.5%，求已知一个个体在检出是阳性的条件下，该个体确实患有此病的概率（0.324）,设B=被检出阳性，A1=带菌者,A2=不带菌者,且已知p(A1)=0.005,p(B| A1 )=0.95,p(B| A2)=0.01,3,1,2,4,5,设桥式系统正常工作，元件正常工作当发生时桥式系统如图：P(B|A)= P(A)=p,1,当不发生时桥式系统如图P(B)= P(A) P(B|A)+ P(A逆) P(B|A逆),1,P(B|A逆)= P(A逆)=1-p,1，2的可靠度p*p 3，4的可靠度p*p,
