1、第十三篇 坐标系与参数方程 (选修 44)第 1节 坐标系知识链条完善考点专项突破经典考题研析知识链条完善 把散落的知识连起来知识梳理 2.极坐标系(1)设 M是平面内一点 ,极点 O与点 M的距离 |OM|叫做点 M的 ,记为 . 以极轴Ox为始边 ,射线 OM为终边的角 xOM叫做点 M的 ,记为 . 有序数对 (, )叫做点 M的极坐标 ,记为 M(, ).极角极径cos sin x2+y2 夯基自测答案 :x-y+1=0答案 :1答案 :64.(2014高考广东卷 )在极坐标系中 ,曲线 C1和 C2的方程分别为 sin 2= cos 和sin =1, 以极点为平面直角坐标系的原点 ,
2、极轴为 x轴的正半轴 ,建立平面直角坐标系 ,则曲线 C1和 C2交点的直角坐标为 .答案 :(1,1)答案 :考点专项突破 在讲练中理解知识考点一 平面直角坐标系中的伸缩变换考点二 极坐标与直角坐标的互化【 例 2】 (2015高考新课标全国卷 ) 在直角坐标系 xOy中 ,直线 C1:x=-2,圆C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点 ,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 .(1)求 C1,C2的极坐标方程 ;解 :(1)因为 x=cos ,y =sin , 所以 C1的极坐标方程为 cos =-2,C2的极坐标方程为 2-2cos -4sin +4=0.反思归纳 (1)直角坐
3、标方程化为极坐标方程 ,只要运用公式x=cos 及 y=sin 直接代入并化简即可 ;(2)极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形 ,构造形如 cos ,sin ,2 的形式 ,进行整体代换 .其中方程的两边同乘以 (或同除以 ) 及方程两边平方是常用的变形方法 .但对方程进行变形时 ,方程必须同解 ,因此应注意对变形过程的检验 .(2)设 MN的中点为 P,求直线 OP的极坐标方程 .简单曲线的极坐标方程及应用考点三 【 例 3】 在极坐标系中 ,已知曲线 C1与 C2的极坐标方程分别为 =2sin 与cos =-1(02), 求 :(1)两曲线 (含直线 )的公共点 P的极坐标 ;反思归纳
4、 (1)求曲线的极坐标方程 ,就是找出动点 M的坐标 与 之间的关系 ,然后列出方程 f(, )=0,再化简并检验特殊点 .(2)极坐标方程涉及的是长度与角度 ,因此列方程的实质是解三角形 .(3)极坐标方程应用时多化为直角坐标方程求解 ,然后再转化为极坐标方程 ,注意方程的等价性 .解 :(1)由 =2cos 得 2=2cos .所以 O1的直角坐标方程为 x2+y2=2x,即 (x-1)2+y2=1.由 =2asin 得 2=2asin .所以 O2的直角坐标方程为 x2+y2=2ay,即 x2+(y-a)2=a2.备选例题 (2)试判定轨迹 C1和 C 的位置关系 ,并说明理由 .经典考
5、题研析 在经典中学习方法极坐标方程的应用1第十三篇 坐标系与参数方程(选修 4 4)第 1 节 坐标系【选题明细表】知识点、方法 题号极坐标与直角坐标的互化 1直线和圆的极坐标方程及应用 2简单曲线的极坐标方程及应用 3,41.在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线 C 的极坐标方程为 cos(-)=1,M,N 分别为曲线 C 与 x 轴,y 轴的交点.(1)写出曲线 C 的直角坐标方程,并求 M,N 的极坐标;(2)设 MN 的中点为 P,求直线 OP 的极坐标方程.解:(1)由 cos(-)=1 得 (cos + sin )=1.32从而 C 的直角
6、坐标方程为 x+ y=1,即 x+ y=2.32 3=0 时,=2,所以 M(2,0).=时,= ,233所以 N( ,).233(2)M 点的直角坐标为(2,0),N 点的直角坐标为(0, ).233所以 P 点的直角坐标为(1, ),33则 P 点的极坐标为( ,).233所以直线 OP 的极坐标方程为 =,(-,+).2.在极坐标系中,曲线 L:sin 2=2cos ,过点 A(5,) ( 为锐角且 tan =)作平行于=(R)的直线 l,且 l 与曲线 L 分别交于 B,C 两点.(1)以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴,取与极坐标系相同的单位长度,建立平面直角坐标系,写出曲线 L
7、和直线 l 的直角坐标方程.(2)求|BC|的长.解:(1)由题意得,点 A 的直角坐标为(4,3),由曲线 L 的极坐标方程 sin 2=2cos ,得 2sin2=2cos ,所以 L 的直角坐标方程为 y2=2x.由于直线 l 的斜率为 1,且过点 A(4,3),故直线 l 的直角坐标方程为 y-3=x-4,即 y=x-1.(2)设 B(x1,y1),C(x2,y2),由 消去 y,=1,2=22得 x2-4x+1=0,由一元二次方程的根与系数的关系得 x1+x2=4,x1x2=1,由弦长公式得|BC|= =2 .1+2(1+2)2412 63.在极坐标系中,圆 C 是以点 C(2,-
8、)为圆心,2 为半径的圆.(1)求圆 C 的极坐标方程.(2)求圆 C 被直线 l:=- (R)所截得的弦长.512解:法一 (1)设所求圆上任意一点 M(,),如图,在 RtOAM 中,OMA=90,AOM=2-,|OA|=4.因为 cos AOM= ,|所以|OM|=|OA|cos AOM,即 =4cos(2-)=4cos(+),验证可知,极点 O 与 A(4,- )的极坐标也满足方程,故 =4cos (+)为所求.(2)设 l:=- (R)交圆 C 于点 P,512在 RtOAP 中,OPA=90,易得AOP=,所以|OP|=|OA|cos AOP=2 .2法二 (1)圆 C 是将圆 =
9、4cos 绕极点按顺时针方向旋转而得到的圆,所以圆 C 的极坐标方程是 =4cos(+).(2)将 =- 代入圆 C 的极坐标方程 =4cos(+),512得 =2 ,2所以圆 C 被直线 l:=- (R)所截得的弦长为 2 .512 24.已知曲线 C1的极坐标方程为 cos(-)=-1,曲线 C2的极坐标方程为 =2 cos(-).2以极点为坐标原点,极轴为 x 轴正半轴建立平面直角坐标系.(1)求曲线 C2的直角坐标方程.(2)求曲线 C2上的动点 M 到曲线 C1的距离的最大值.解:(1)依题意得 =2 cos(- )=2(cos +sin ),2即 2=2(cos +sin ),可得
10、 x2+y2-2x-2y=0,故 C2的直角坐标方程为(x-1) 2+(y-1)2=2.(2)曲线 C1的极坐标方程为 cos(-)=-1,即 (cos + sin )=-1,323化为直角坐标方程为 x+ y+2=0,3由(1)知曲线 C2是以(1,1)为圆心, 为半径的圆,且圆心到直线 C1的距离 d= =2|1+3+2|12+(3)2r= ,3+32 2于是直线与圆相离,所以动点 M 到曲线 C1的距离的最大值为 .3+3+222第 2节 参数方程知识链条完善考点专项突破解题规范夯实知识链条完善 把散落的知识连起来知识梳理 参数方程参数2.直线、圆、椭圆的参数方程(2)|M1M2|=|t
11、1-t2|.(4)若 M0为线段 M1M2的中点 ,则 t1+t2=0.夯基自测解析 :参数方程化为普通方程为 x=3(y+1)+2,即 x-3y-5=0,由于 x=3t2+22,77,故曲线为线段 .故选 A.A C 解析 :直线 l的普通方程为 y=x+2,曲线 C的直角坐标方程为 x2-y2=4(x-2), 故直线 l与曲线 C的交点为 (-2,0),对应极坐标为 (2,).答案 :(2,)5.给出下列命题 : 曲线的参数方程中的参数都有实际意义 ; 参数方程与普通方程互化后表示的曲线是一致的 ; 圆的参数方程中的参数 与椭圆的参数方程中的参数 的几何意义相同 ; 普通方程化为参数方程
12、,参数方程的形式不唯一 .其中正确的是 .(写出所有正确命题的序号 ) 解析 : 错误 .曲线的参数方程中的参数 ,可以具有物理意义 ,可以具有几何意义 ,也可以没有明显的实际意义 ; 正确 .两方程互化后所表示的曲线相同 ; 错误 .圆的参数方程中的参数 表示半径的旋转角 ,而椭圆的参数方程中的参数 表示对应的大圆或小圆半径的旋转角 ,也就是椭圆的离心角 ; 正确 .用参数方程解决动点的轨迹问题 ,若选用的参数不同 ,那么所求得的曲线的参数方程的形式就不同 .答案 :考点专项突破 在讲练中理解知识考点一 参数方程与普通方程的互化(2)若 为常数 ,t为参数 ,方程表示什么曲线 ?反思归纳 (
13、1)将参数方程化为普通方程的基本途径就是消参 ,消参过程注意两点 :一是准确把握参数形式之间的关系 ;二是注意参数取值范围对曲线形状的影响 .(2)已知曲线的普通方程求参数方程时 ,选取不同含义的参数时可能得到不同的参数方程 .【 即时训练 】 已知曲线 C的方程 y2=3x2-2x3,设 y=tx,t为参数 ,求曲线 C的参数方程 .考点二 参数方程及其应用【 例 2】 (2014高考新课标全国卷 ) 已知曲线 C:+=1,直线 l: (t为参数 ).(1)写出曲线 C的参数方程 ,直线 l的普通方程 ;(2)过曲线 C上任意一点 P作与 l夹角为 30 的直线 ,交 l于点 A,求 |PA
14、|的最大值与最小值 .反思归纳 一般地 ,如果题目中涉及圆、椭圆上的动点或求最值范围问题时可考虑用参数方程 ,设曲线上点的坐标 ,将问题转化为三角恒等变换问题解决 ,使解题过程简单明了 .极坐标方程与参数方程的综合应用考点三 (2)设圆心 C到直线 l的距离等于 2,求 m的值 .反思归纳 极坐标方程与参数方程综合问题的求解 ,一般要将其分别转化为直角坐标方程与普通方程 ,进而统一形式进行求解 ,要注意转化过程的等价性 ,特别是参数取值范围问题 .备选例题 (2)若 M(x,y)是曲线 C上的动点 ,求 x+y的最大值 .(2)设直线 l与圆 C相交于 A,B两点 ,求 |AP|PB| 的值
15、.(2)设 P为 C1上任意一点 ,求 |PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围 .参数方程与极坐标方程的综合应用解题规范夯实 把典型问题的解决程序化1第 2 节 参数方程【选题明细表】知识点、方法 题号参数方程与普通方程互化 1参数方程及其应用 2,3极坐标方程与参数方程的综合 41.(2016 张掖模拟)在平面直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知 P 点的极坐标为(4 ,),曲线 C 的极坐标方程为 2+4 sin =4.3 3(1)写出点 P 的直角坐标及曲线 C 的直角坐标方程;(2)若 Q 为 C 上的动点,求 PQ 中点
16、M 到直线 l: (t 为参数)距离的最大值.=3+2,=2+2解:(1)已知 P 点的极坐标为(4 ,),3所以 x=cos =6,y=sin =2 ,3所以点 P 的直角坐标为(6,2 ).3由 2+4 sin =4,3得 x2+y2+4 y=4,3即 x2+(y+2 )2=16,3所以曲线 C 的直角坐标方程为 x2+(y+2 )2=16.3(2)由 l: (t 为参数)=3+2,=2+2,可得直线 l 的普通方程为 x-y-5=0,由曲线 C 的直角坐标方程 x2+(y+2 )2=16,3可设点 Q(4cos ,4sin -2 ),3所以点 M 坐标为(2cos +3,2sin ),所
17、以点 M 到直线 l 的距离d= = .|2+325|2 |22 (+4)2|2当 cos (+)=-1 时,d 取得最大值 2+ ,2所以点 M 到直线 l 距离的最大值为 2+ .22.(2016 贵阳一测)在平面直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,以 x 轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系,已知直线 l 的参数方程为 (t 为参数),圆 C 的极坐标方程是 =1.= 2+,= (1)求直线 l 与圆 C 的公共点个数;(2)在平面直角坐标系中,圆 C 经过伸缩变换 得到曲线 C,设 M(x,y)为曲线=,=2C上一点,求 4x2+xy+y2的最大值,并求相应点 M 的坐标.2解:(1
18、)直线 l 的参数方程 (t 为参数)化为普通方程是 x-y- =0,圆 C 的极坐标= 2+,= 2方程 =1 化为直角坐标方程是 x2+y2=1.因为圆心(0,0)到直线 l 的距离为 d= =1,等于圆的半径 r,|00 2|12+(1)2所以直线 l 与圆 C 的公共点的个数是 1.(2)圆 C 的参数方程是 (00,sin cos 0.又 0,),所以 (0, ),所以 t1+t2=-4(sin +cos ),t 1t2=4.所以 t10,t20.所以|PM|+|PN|=|t 1|+|t2|=|t1+t2|=4(sin +cos )=4 sin (+),2由 (0, )可得(+)(,
19、 ),34所以 sin(+)1,22所以|PM|+|PN|的取值范围是(4,4 .24.(2016 银川模拟)已知曲线 C1的参数方程为 (t 为参数),当 t=1 时,曲线 C1上的点=,= 3为 A,当 t=-1 时,曲线 C1上的点为 B.以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2的极坐标方程为 = .64+52(1)求 A,B 的极坐标;3(2)设 M 是曲线 C2上的动点,求|MA| 2+|MB|2的最大值.解:(1)当 t=1 时,代入参数方程可得 =1,= 3,即 A(-1, ),3所以 = =2,tan = =- ,(1)2+( 3)231 3所以 = ,23所以点 A 的极坐标为(2, ).23当 t=-1 时,同理可得 B(1,- ),3点 B 的极坐标为(2, ).53(2)由 = ,化为 2(4+5sin2)=36,64+52所以 4 2+5(sin ) 2=36,化为 4(x2+y2)+5y2=36,化为+=1,设曲线 C2上的动点 M(3cos ,2sin ),则|MA| 2+|MB|2=(3cos +1) 2+(2sin - )2+(3cos -1) 2+(2sin + )3 32=18cos2+8sin 2+8=10cos 2+1626,当 cos =1 时,取得最大值 26.所以|MA| 2+|MB|2 的最大值是 26.
