1、1课时跟踪检测（二十九） 数列的概念与简单表示法 一抓基础，多练小题做到眼疾手快1(2016徐州调研)设数列 an的前 n 项和 Sn n2 n，则 a4的值为_解析： a4 S4 S320128.答案：82数列 1，的一个通项公式 an_.23354759解析：由已知得，数列可写成 ，故通项为 .112335 n2n 1答案：n2n 13在数列 an中， a11， an an1 (n2)，则 an_.n 1n解析： an a1anan 1 an 1an 2 a3a2 a2a1 1 .n 1n n 2n 1 23 12 1n答案：1n4已知数列 an的前 n 项和为 Sn n22 n2，则数列
2、 an的通项公式为_解析：当 n1 时， a1 S11，当 n2 时， an Sn Sn1 2 n3，由于 n1 时 a1的值不适合 n2 的解析式，故 anError!答案： anError!5(2016泰州调研)数列 an定义如下： a11，当 n2 时， anError!若 an ，则14n_.解析：因为 a11，所以a21 a12， a3 ， a41 a23， a5 ， a61 a3 ， a7 ， a811a2 12 1a4 13 32 1a6 23a44， a9 ，所以 n9.1a8 14答案：9 二保高考，全练题型做到高考达标1设 an3 n215 n18，则数列 an中的最大项的
3、值是_2解析：因为 an3 2 ，且 nZ，所以当 n2 或 n3 时， an取得最大值，(n52) 34即最大值为 a2 a30.答案：02数列 an满足 an an1 (nN *)， a22， Sn是数列 an的前 n 项和，则 S21为12_解析： an an1 ， a22，12 anError! S2111 102 .(32) 72答案：723(2015无锡调研)在数列 an中，已知 a12， a27， an2 等于 anan1 (nN *)的个位数，则 a2 016_.解析：由题意得： a34， a48， a52， a66， a72， a82， a94， a108；所以数列中的项从第
4、 3 项开始呈周期性出现，周期为 6，故 a2 016 a33566 a66.答案：64已知数列 an对任意的 p， qN *满足 ap q ap aq且 a26，那么 a10_.解析： a4 a2 a212， a6 a4 a218， a10 a6 a430.答案：305若数列 an满足： a119， an1 an3( nN *)，则数列 an的前 n 项和数值最大时，n 的值为_解析： a119， an1 an3，数列 an是以 19 为首项，3 为公差的等差数列， an19( n1)(3)223 n.设 an的前 k 项和数值最大，则有 Error!kN *，Error! k ，193 2
5、23 kN *， k7.满足条件的 n 的值为 7.答案：76在数列1,0， ，中，0.08 是它的第_项1918 n 2n2解析：令 0.08，得 2n225 n500，n 2n23即(2 n5)( n10)0.解得 n10 或 n (舍去)52答案：107(2016南京四校联考)已知数列 an满足： a4n3 1， a4n1 0， a2n an， nN *，则 a2 013_， a2 016_.解析：由题意可得 a2 013 a45043 1， a2 016 a1 008 a504 a252 a126 a63 a4161 0.答案：1 08在一个数列中，如果 nN *，都有 anan1 a
6、n2 k(k 为常数 )，那么这个数列叫做等积数列， k 叫做这个数列的公积已知数列 an是等积数列，且 a11， a22，公积为 8，则 a1 a2 a3 a12_.解析：依题意得数列 an是周期为 3 的数列，且 a11， a22， a34，因此a1 a2 a3 a124( a1 a2 a3)4(124)28.答案：289已知 Sn为正项数列 an的前 n 项和，且满足 Sn a an(nN *)122n 12(1)求 a1， a2， a3， a4的值；(2)求数列 an的通项公式解：(1)由 Sn a an(nN *)，可得122n 12a1 a a1，解得 a11；1221 12S2
7、a1 a2 a a2，解得 a22；122 12同理， a33， a44.(2)Sn a an，122n 12当 n2 时， Sn1 a an1 ，12 2n 1 12得( an an1 1)( an an1 )0.由于 an an1 0，所以 an an1 1，又由(1)知 a11，故数列 an是首项为 1，公差为 1 的等差数列，故 an n.10已知数列 an的通项公式是 an n2 kn4.4(1)若 k5，则数列中有多少项是负数？ n 为何值时， an有最小值？并求出最小值；(2)对于 nN *，都有 an1 an，求实数 k 的取值范围解：(1)由 n25 n4an知该数列是一个递
8、增数列，又因为通项公式 an n2 kn4，可以看作是关于 n 的二次函数，考虑到 nN *，所以 3.k232所以实数 k 的取值范围为(3，) 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1已知 an满足 an1 an2 n，且 a133，则 的最小值为_ann解析：由已知条件可知，当 n2 时，an a1( a2 a1)( a3 a2)( an an1 )33242( n1) n2 n33，又 n1 时， a133 满足此式所以 n 1.ann 33n令 f(n) n 1，ann 33n则 f(n)在1,5上为减函数，在6，)上为增函数，又 f(5) ， f(6) ，535 212则 f(5)f(6)
9、，故 f(n) 的最小值为 .ann 212答案：2122若单调递增数列 an满足 an an1 an2 3 n6，且 a2 a1，则 a1的取值范围是12_解析：由 an an1 an2 3 n6， a2 a1得， a33 a1，所以 a4 a13，由 an12 325是单调递增数列知， a4a3a2a1，即 a133 a1 a1a1，解得 a1 .32 12 125 32答案： (125， 32)3(2016扬州模拟)已知数列 an中， a11，且 an an1 2 n.求数列 an的通项公式解： an an1 2 n， an1 an2 2 n1 ，得 an2 an2 n，由 a11， a
10、1 a22，得 a21.当 n 为奇数时，an( an an2 )( an2 an4 )( a3 a1) a12 n2 2 n4 21 2n ；13 13当 n 为偶数时， an( an an2 )( an2 an4 )( a4 a2) a22 n2 2 n4 2 21 2n .13 13故 anError!1课时跟踪检测（三十五） 直接证明与间接证明 一抓基础，多练小题做到眼疾手快1下列表述：综合法是由因导果法；综合法是顺推法；分析法是执果索因法；分析法是逆推法；反证法是间接证法其中正确的有_(填序号)解析：由分析法、综合法、反证法的定义知都正确答案：2要证 0， 0，故只需证(3 5 11
11、 13 3 13 5 11 3 13 5 11 )2bc，且 a b c0，求证：0(a c)(2a c)0(a c)(a b)0.答案：( a c)(a b)02用反证法证明命题“若整系数一元二次方程 ax2 bx c0( a0)有有理根，那么a， b， c 中至少有一个是偶数”时，应该假设_解析：“ a， b， c 中至少有一个是偶数”的否定应为“ a， b， c 都不是偶数” 答案： a， b， c 都不是偶数3已知 m1， a ， b ，则 a， b 的大小关系为_m 1 m m m 1解析： a ，m 1 m1m 1 mb .m m 11m m 1而 0( m1)，m 1 m m m
12、 1 ，即 a1； a b2； a b2； a2 b22； ab1.其中能推出：“ a， b 中至少有一个大于 1”的条件是_(填序号)解析：若 a ， b ，则 a b1，12 23但 a2，故推不出；若 a2， b3，则 ab1，故推不出；对于，即 a b2，则 a， b 中至少有一个大于 1，反证法：假设 a1 且 b1，则 a b2 与 a b2 矛盾，因此假设不成立， a， b 中至少有一个大于 1.答案：5设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且当 x0 时， f(x)单调递减，若 x1 x20，则f(x1) f(x2)_0(填“” “0，可知 x1 x2， f(x1)0， m ，
13、 n ，则 m， n 的大小关系是_a b a b解析：法一：(取特殊值法)取 a2， b1，得 m n.法二：(分析法) a b2 a b2 a b a b b a b a b a b b 0，显然成立a b答案： m n7下列条件： ab0， ab0， a0， b0， a0， b0，其中能使 2ba ab成立的条件的序号是_解析：要使 2，只需 0 且 0 成立，即 a， b 不为 0 且同号即可，故都ba ab ba ab能使 2 成立ba ab答案：8若二次函数 f(x)4 x22( p2) x2 p2 p1，在区间 内至少存在一点 1， 1c，使 f(c)0，则实数 p 的取值范围是
14、_解析：法一：(补集法)令Error! 解得 p3 或 p ，32故满足条件的 p 的取值范围为 .( 3，32)法二：(直接法)依题意有 f(1)0 或 f(1)0，即 2p2 p10 或 2p23 p90，得 p1 或3 p .12 32故满足条件的 p 的取值范围是 .( 3，32)答案： ( 3，32)9已知非零向量 a， b，且 ab ，求证： .|a| |b|a b| 2证明： ab ab0，4要证 .|a| |b|a b| 2只需证| a| b| |a b|，2只需证| a|22| a|b| b|22( a22 ab b2)，只需证| a|22| a|b| b|22 a22 b2
15、，只需证| a|2| b|22| a|b|0，即(| a| b|)20，上式显然成立，故原不等式得证10(2016常州模拟)在数列 an中，已知a1 ， ， bn23log an(nN *)14 an 1an 14 14(1)求数列 an的通项公式；(2)求证：数列 bn是等差数列解：(1)因为 ，所以数列 an是首项为 ，公比为 的等比数列，an 1an 14 14 14所以 an n(nN *)(14)(2)证明：因为 bn3log an2，14所以 bn3log n23 n2.14(14)所以 b11，公差 d3，所以数列 bn是首项 b11，公差 d3 的等差数列 三上台阶，自主选做志
16、在冲刺名校1如果 A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于 A2B2C2的三个内角的正弦值，则A2B2C2是_三角形解析：由条件知， A1B1C1的三个内角的余弦值均大于 0，则 A1B1C1是锐角三角形，假设 A2B2C2是锐角三角形由Error!得Error!那么， A2 B2 C2 ，这与三角形内角和为 180相矛盾 2所以假设不成立，又显然 A2B2C2不是直角三角形所以 A2B2C2是钝角三角形5答案：钝角2.(2016南京名校联考)如图所示，在直四棱柱 A1B1C1D1ABCD 中，当底面四边形 ABCD 满足条件_时，有 A1C B1D1(填你认为正确的一个条件即可)解析：从结论出
17、发，找一个使 A1C B1D1成立的充分条件，因而可以是AC BD.答案： AC BD(答案不唯一)3已知二次函数 f(x) ax2 bx c(a0)的图象与 x 轴有两个不同的交点，若 f(c)0，且 00.(1)证明： 是 f(x)0 的一个根；1a(2)试比较 与 c 的大小；1a(3)证明：20，1a 1a由 00，知 f 0 与 f 0 矛盾，(1a) (1a) c，又 c，1a 1a6 c.1a(3)证明：由 f(c)0，得 ac b10， b1 ac.又 a0， c0， b0， b2，2 b1.1课时跟踪检测（三十一） 等比数列及其前 n 项和 一抓基础，多练小题做到眼疾手快1若
18、等比数列 an满足 a1 a320， a2 a440，则公比 q_.解析：由题意，得Error!解得Error!答案：22已知 an为等比数列， a4 a72， a5a68，那么 a1 a10_.解析：因为 a4 a72，由等比数列的性质可得， a5a6 a4a78，所以a44， a72 或 a42， a74.当 a44， a72 时， q3 ，所以12a18， a101，所以 a1 a107；当 a42， a74 时， q32，则a108， a11，所以 a1 a107.综上可得 a1 a107.答案：73(2016南通调研)设等比数列 an中，公比 q2，前 n 项和为 Sn，则_.S4a
19、3解析：根据等比数列的公式，得 .S4a3 a1 1 q41 qa1q2 1 q4 1 q q2 1 24 1 2 22 154答案：1544在等比数列 an中，若 a1a516， a48，则 a6_.解析：由题意得， a2a4 a1a516， a22， q2 4， a6 a4q232.a4a2答案：325若 Sn为等比数列 an的前 n 项和，且 2S4 a52,2 S3 a42，则数列 an的公比q_.解析：将 2S4 a52,2 S3 a42 相减得 2a4 a5 a4，所以 3a4 a5，公比 q 3.a5a4答案：3 二保高考，全练题型做到高考达标1已知等比数列 an的前三项依次为
20、a1， a1， a4，则 an_.解析：由题意得( a1) 2( a1)( a4)，解得 a5，故 a14， a26，所以2q ， an4 n1 .32 (32)答案：4 n1(32)2已知等比数列 an是递增数列， Sn是 an的前 n 项和若 a1， a3是方程x25 x40 的两个根，则 S6_.解析：由题意可知 a1 a35， a1a34.又因为 an为递增的等比数列，所以a11， a34，则公比 q2，所以 S6 63.1 1 261 2答案：633设等比数列 an中，前 n 项和为 Sn，已知 S38， S67，则 a7 a8 a9_.解析：因为 a7 a8 a9 S9 S6，且
21、S3， S6 S3， S9 S6也成等比数列，即8，1， S9 S6成等比数列，所以 8(S9 S6)1，即 S9 S6 .所以 a7 a8 a9 .18 18答案：184已知数列 an满足 log3an1log 3an1 (nN *)，且 a2 a4 a69，则log (a5 a7 a9)的值是_13解析：log 3an1log 3an1 ， an1 3 an.数列 an是以 3 为公比的等比数列 a2 a4 a6 a2(1 q2 q4)9. a5 a7 a9 a5(1 q2 q4) a2q3(1 q2 q4)3 5.log 355.13答案：55已知 Sn是等比数列 an的前 n 项和，若
22、存在 mN *，满足 9， ，则S2mSm a2mam 5m 1m 1数列 an的公比为_解析：设公比为 q，若 q1，则 2，与题中条件矛盾，故 q1. S2mSm S2mSm qm19， qm8.a1 1 q2m1 qa1 1 qm1 q qm8 ，a2mam a1q2m 1a1qm 1 5m 1m 1 m3， q38，3 q2.答案：26(2015湖南高考)设 Sn为等比数列 an的前 n 项和若 a11，且 3S1,2S2， S3成等差数列，则 an_.解析：因为 3S1,2S2， S3成等差数列，所以 4S23 S1 S3，即 4(a1 a2)3 a1 a1 a2 a3.化简，得 3
23、，即等比数列 an的公比 q3，故 an13 n1 3 n1 .a3a2答案：3 n17在等比数列 中，公比 q2，前 99 项的和 S9930，则ana3 a6 a9 a99_.解析： S9930，即 a1(2991)30.又数列 a3， a6， a9， a99也成等比数列且公比为 8， a3 a6 a9 a99 30 .4a1 1 8331 8 4a1 299 17 47 1207答案：12078若一个数列的第 m 项等于这个数列的前 m 项的乘积，则称该数列为“ m 积数列”若各项均为正数的等比数列 an是一个“2 016 积数列 ”，且 a11，则当其前 n 项的乘积取最大值时 n 的
24、值为_解析：由题可知 a1a2a3a2 016 a2 016，故 a1a2a3a2 0151，由于 an是各项均为正数的等比数列且 a11，所以 a1 0081，公比 0 q1，所以 a1 0071 且 0 a1 0091，故当数列 an的前 n 项的乘积取最大值时 n 的值为 1 007 或 1 008.答案：1 007 或 1 0089设数列 an的前 n 项和为 Sn， a11，且数列 Sn是以 2 为公比的等比数列(1)求数列 an的通项公式；(2)求 a1 a3 a2n1 .解：(1) S1 a11，且数列 Sn是以 2 为公比的等比数列， Sn2 n1 ，又当 n2 时， an S
25、n Sn1 2 n1 2 n2 2 n2 .当 n1 时 a11，不适合上式 anError!(2)a3， a5， a2n1 是以 2 为首项，以 4 为公比的等比数列，4 a3 a5 a2n1 .2 1 4n1 4 2 4n 13 a1 a3 a2n1 1 .2 4n 13 22n 1 1310(2016苏州调研)已知数列 an的前 n 项和为 Sn， a11，且 3an1 2 Sn3( n 为正整数)(1)求数列 an的通项公式；(2)对任意正整数 n，是否存在 kR，使得 k Sn恒成立？若存在，求实数 k 的最大值；若不存在，说明理由解：(1)因为 3an1 2 Sn3，所以 n2 时
26、，3 an2 Sn1 3，由得 3an1 3 an2 an0，所以 an1 an(n2)13又 a11,3 a22 a13，得 a2 ，所以 a2 a1，13 13故数列 an是首项为 1，公比 q 的等比数列，13所以 an a1qn1 n1 .(13)(2)假设存在满足题设条件的实数 k，使得 k Sn恒成立由(1)知 Sn ，a1 1 qn1 q1 (13)n1 13 321 (13)n由题意知，对任意正整数 n 恒有 k ，321 (13)n又数列 单调递增，所以当 n1 时数列中的最小项为 ，则必有 k1，即实数1 (13)n 23k 最大值为 1. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1
27、已知等比数列 an共有奇数项，所有奇数项和 S 奇 255，所有偶数项和 S 偶126，末项是 192，则首项 a1_.解析：设共有 2k1( kN *)项，公比为 q，其中奇数项有 k1 项，偶数项有 k 项，则有Error!解得 q2，又 S 奇 ，a1 1 q2k 21 q2 a1 a2k 1q21 q25即 255，解得 a13.a1 19241 4答案：32已知数列 an， bn中， a1 a， bn是公比为 的等比数列记 bn (nN *)，23 an 2an 1若不等式 anan1 对一切 nN *恒成立，则实数 a 的取值范围是_解析：因为 bn (nN *)，所以 an .a
28、n 2an 1 bn 2bn 1所以 an1 an bn 1 2bn 1 1 bn 2bn 1 1bn 1 1bn 1 1 bn 1 bn 1 bn 1 1 bn或 0 ，则 b1 n1 对一切正整数 n 成立，显然不可能；32 (23) 32若 02.即实数 a 的取值范围是(2，)答案：(2，)3已知数列 an满足 a15， a25， an1 an6 an1 (n2)(1)求证： an1 2 an是等比数列；(2)求数列 an的通项公式；解：(1)证明： an1 an6 an1 (n2)， an1 2 an3 an6 an1 3( an2 an1 )(n2) a15， a25， a22 a
29、115， an2 an1 0( n2)， 3( n2)，an 1 2anan 2an 1数列 an1 2 an是以 15 为首项，3 为公比的等比数列(2)由(1)得 an1 2 an153 n1 53 n，则 an1 2 an53 n，6 an1 3 n1 2( an3 n)又 a132， an3 n0， an3 n是以 2 为首项，2 为公比的等比数列 an3 n2(2) n1 ，即 an2(2) n1 3 n.1课时跟踪检测（三十） 等差数列及其前 n 项和 一抓基础，多练小题做到眼疾手快1若等差数列 an的前 5 项之和 S525，且 a23，则 a7_.解析：由 S5 25 a47，
30、所以 732 dd2，所 a2 a4 52 3 a4 52以 a7 a43 d73213.答案：132(2016苏州名校联考)在等差数列 an中， a10，公差 d0，若am a1 a2 a9，则 m 的值为_解析： am a1 a2 a99 a1 d36 d a37，所以 m37.982答案：373已知数列 an满足 a115，且 3an1 3 an2.若 akak1 0.(1)求证：当 n5 时， an成等差数列；(2)求 an的前 n 项和 Sn.解：(1)证明：由 4Sn a 2 an3,4 Sn1 a 2 an1 3，2n 2n 1得 4an1 a a 2 an1 2 an，2n 1
31、 2n即( an1 an)(an1 an2)0.当 n5 时， an0，所以 an1 an2，所以当 n5 时， an成等差数列(2)由 4a1 a 2 a13，得 a13 或 a11，21又 a1， a2， a3， a4， a5成等比数列，所以 an1 an0( n5)， q1，而 a50，所以 a10，从而 a13，所以 anError!所以 SnError! 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1设等差数列 an满足 a11， an0(nN *)，其前 n 项和为 Sn，若数列 也为等Sn差数列，则 的最大值是_Sn 10a2n解析：设数列 an的公差为 d，依题意得 2 ，S2 S1 S3因
32、为 a11，所以 2 ，2a1 d a1 3a1 3d化简可得 d2 a12，所以 an1( n1)22 n1， Sn n 2 n2，n n 125所以 2Sn 10a2n n 10 2 2n 1 2 (n 102n 1) 212 2n 1 2122n 1 2121.14(1 212n 1)故 的最大值是 121.Sn 10a2n答案：1212(2016常州调研)设等差数列 an， bn的前 n 项和分别为 Sn， Tn，若对任意nN *都有 ，则 _.SnTn 2n 34n 3 a7b3 b9 a5b4 b8解析：因为数列 an， bn为等差数列，所以 ，a7b3 b9 a5b4 b8 a7
33、2b6 a52b6 2a62b6 a6b6因为 ，S11T11 a1 a11b1 b11 2a62b6所以 .a7b3 b9 a5b4 b8 211 3411 3 1941答案：19413已知数列 an满足， an1 an4 n3( nN *)(1)若数列 an是等差数列，求 a1的值；(2)当 a12 时，求数列 an的前 n 项和 Sn.解：(1)法一：数列 an是等差数列， an a1( n1) d， an1 a1 nd.由 an1 an4 n3，得( a1 nd) a1( n1) d4 n3，2 dn(2 a1 d)4 n3，即 2d4,2 a1 d3，解得 d2， a1 .12法二：
34、在等差数列 an中，由 an1 an4 n3，得 an2 an1 4( n1)34 n1，2 d an2 an( an2 an1 )( an1 an)4 n1(4 n3)4， d2.6又 a1 a22 a1 d2 a124131， a1 .12(2)当 n 为奇数时， Sn a1 a2 a3 an a1( a2 a3)( a4 a5)( an1 an)2424( n1)3 .n 12 2n2 3n 52当 n 为偶数时， Sn a1 a2 a3 an( a1 a2)( a3 a4)( an1 an)19(4 n7) .2n2 3n21课时跟踪检测（三十三） 数列的综合应用 一保高考，全练题型做
35、到高考达标1在数列 an中， a11，数列 an1 3 an是首项为 9，公比为 3 的等比数列(1)求 a2， a3；(2)求数列 的前 n 项和 Sn.an3n解：(1)数列 an1 3 an是首项为 9，公比为 3 的等比数列， an1 3 an93 n1 3 n1 ， a23 a19， a33 a227， a212， a363.(2) an1 3 an3 n1 ， 1，an 13n 1 an3n数列 是首项为 ，公差为 1 的等差数列，an3n 13数列 的前 n 项和 Sn .an3n n3 n n 12 3n2 n62(2016苏北四市调研)已知数列 an为等差数列， a11，公差
36、 d0，数列 bn为等比数列，且 a2 b1， a6 b2， a18 b3.(1)求数列 an和数列 bn的通项公式；(2)设数列 cn满足对任意正整数 n 均有 a ， m 为正整数，求所有c1b1 c2b2 cnbn 122n满足不等式 1020， a11， an为等差数列，所以 a1 d1， an n，又 b12， b26， b318， bn为等比数列，所以 bn23 n1 .(2)因为 n2，c1b1 c2b2 cnbn 12当 n1 时， ， c11，c1b1 12当 n2 时，Error!两式相减得 cn(2 n1)3 n1 ，又 n1 时也符合上式，所以 cn(2 n1)3 n1
37、 ， nN *，cn(2 n1)3 n1 0， c11， c1 c210， c1 c2 c355， c1 c2 c3 c4244， c12 c2 c3 c4 c5973， c1 c2 c3 c4 c5 c63 646，所以 m4 或 5.3已知等差数列 an的前 n 项和为 Sn， a11， S36，正项数列 bn满足b1b2b3bn2 Sn.(1)求数列 an， bn的通项公式；(2)若 b nan对 nN *均成立，求实数 的取值范围解：(1) a11， S36，3 a13 d6，数列 an的公差 d1， an n.由题知，Error!得 bn2 Sn Sn1 2 an2 n(n2)，又
38、b12 S12 12，满足上式，故 bn2 n.(2)b nan恒成立 恒成立，n2n设 cn ，n2n当 n2 时， cn .12 12所以实数 的取值范围为 .(12， )4数列 an满足 a11， an1 2 an(nN *)， Sn为其前 n 项和数列 bn为等差数列，且满足 b1 a1， b4 S3.(1)求数列 an， bn的通项公式；(2)设 cn ，数列 cn的前 n 项和为 Tn，证明： Tn0，n2n 1 n 12n 1 1 2n 1 2n 1数列 Tn是一个递增数列， Tn T1 .13综上所述， Tn0，所以 q ，所以 an ，12 12n 1Sn 2 ，1 12n1
39、 12 12n 1所以 2 ，化简得 t(n2)1.tn 12n t n 2 12n 2 t n 1 12n又当 n3 时， t(n2)1 恒成立，即 t 恒成立，1n 2所以 t max1.(1n 2)故 t 的取值范围是(1，)2(2016南通一调)已知数列 an是等比数列，且 an0.(1)若 a2 a18， a3 m.当 m48 时，求数列 an的通项公式；若数列 an是唯一的，求 m 的值；(2)若 a2k a2k1 ak1 ( ak ak1 a1)8， kN *，求a2k1 a2k2 a3k的最小值解：设数列 an的公比为 q，则由题意，得 q0.(1)由 a2 a18， a3 m
40、48，得Error!解得Error! 或Error!所以数列 an的通项公式为 an(168 )(3 )n1 或 an(168 )(3 )n1 .3 3 3 3要使满足条件的数列 an是唯一的，即关于 a1与 q 的方程组Error!有唯一正数解所以方程 8q2 mq m0 有唯一解则 m232 m0，解得 m32 或 m0.因为 a3 m0，所以 m32，此时 q2.经检验，当 m32 时，数列 an唯一，其通项公式为 an2 n2 .(2)由 a2k a2k1 ak1 ( ak ak1 a1)8，得 a1(qk1)( qk1 qk2 1)8，且 q1.则 a2k1 a2k2 a3k a1q
41、2k(qk1 qk2 1) 8 32.8q2kqk 1 (qk 1 1qk 1 2)当且仅当 qk1 ，1qk 1即 q ，等号成立k2所以 a2k1 a2k2 a3k的最小值为 32.1课时跟踪检测（三十四） 合情推理与演绎推理 一抓基础，多练小题做到眼疾手快1推理：“矩形是平行四边形；三角形不是平行四边形；所以三角形不是矩形”中的小前提是_(填序号)解析：由三段论的形式，可知小前提是三角形不是平行四边形故填.答案：2已知数列 ，1，2，3，则猜想该数列的第 11 项为_12 32 52解析：将数列的各项均写成分数的形式为 ，所以猜想该数列的第 11122232425262项为 .112答案
42、：1123(2016重庆一诊)某种树的分枝生长规律如图所示，第 1 年到第 5 年的分枝数分别为 1,1,2,3,5，则预计第 10 年树的分枝数为_解析：因为 211,321,532，即从第三项起每一项都等于前两项的和，所以第 10 年树的分枝数为 213455.答案：554观察下列等式121122 23122 23 26122 23 24 210照此规律，第 n 个等式可为_解析：观察规律可知，第 n 个式子为 122 23 24 2(1) n1 n2(1) n1.n n 12答案：1 22 23 24 2(1) n1 n2(1) n1n n 1225设等差数列 an的前 n 项和为 Sn
43、，则 S4， S8 S4， S12 S8， S16 S12成等差数列类比以上结论我们可以得到的一个真命题为：设等比数列 bn的前 n 项积为 Tn，则_成等比数列解析：利用类比推理把等差数列中的差换成商即可答案： T4， ， ，T8T4T12T8 T16T12 二保高考，全练题型做到高考达标1(2016无锡一中检测)“因为四边形 ABCD 是菱形，所以四边形 ABCD 的对角线互相垂直” ，以上推理的大前提是_解析：大前提应是菱形对角线所具备的性质：菱形的对角线互相垂直答案：菱形的对角线互相垂直2用灰、白两种颜色的正六边形瓷砖，按如图所示的规律拼成若干个图案，则第 5 个图案中正六边形瓷砖的个
44、数是_解析：设第 n 个图案有 an个正六边形瓷砖，则a1611， a2621， a3631，故猜想 a565131.答案：313在平面几何中有如下结论：正三角形 ABC 的内切圆面积为 S1，外接圆面积为 S2，则 ，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体 PABC 的内切球体积为 V1，外接S1S2 14球体积为 V2，则 _.V1V2解析：正四面体的内切球与外接球的半径之比为 13，故 .V1V2 127答案：1274给出以下数对序列：(1,1)(1,2)(2,1)(1,3)(2,2)(3,1)(1,4)(2,3)(3,2)(4,1)记第 i 行的第 j 个数对为 aij，如 a43(
45、3,2)，则 an m_.解析：由前 4 行的特点，归纳可得：若 an m( a， b)，则 a m， b n m1， an 3m( m， n m1)答案：( m， n m1)5古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数比如：他们研究过图 1 中的 1,3,6,10，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图 2 中的 1,4,9，16，这样的数为正方形数下列数中既是三角形数又是正方形数的是_(填序号)289；1 024；1 225；1 378.解析：观察三角形数：1,3,6,10，记该数列为 an，则 a11，a2 a12，a3 a23，an an1 n. a1 a2 a
46、n( a1 a2 an1 )(123 n)， an123 n ，n n 12观察正方形数：1,4,9,16，记该数列为 bn，则 bn n2.把四个序号的数字，分别代入上述两个通项公式，可知使得 n 都为正整数的只有 1 225，故填.答案：6(2016南京学情调研)设 n 为正整数， f(n)1 ，计算得 f(2)12 13 1n ， f(4)2， f(8) ， f(16)3，观察上述结果，可推测一般的结论为_32 52解析： f(21) ， f(22)2 ， f(23) ， f(24) ，归纳得 f(2n) (nN *)32 42 52 62 n 22答案： f(2n) (nN *)n 2
47、27将全体正整数排成一个三角形数阵：12 344 5 67 8 9 10根据以上排列规律，数阵中第 n(n3)行从左至右的第 3 个数是_解析：前 n1 行共有正整数 12( n1) 个，即 个，因此第n n 12 n2 n2n 行从左至右的第 3 个数是全体正整数中第 3 个，即为 .n2 n2 n2 n 62答案：n2 n 628如果函数 f(x)在区间 D 上是凸函数，那么对于区间 D 内的任意 x1， x2， xn，都有 f .若 ysin x 在区间(0，)上是f x1 f x2 f xnn (x1 x2 xnn )凸函数，那么在 ABC 中，sin Asin Bsin C 的最大值
48、是_解析：由题意知，凸函数满足 f ，f x1 f x2 f xnn (x1 x2 xnn )又 ysin x 在区间(0，)上是凸函数，则 sin Asin Bsin C3sin 3sin .A B C3 3 332答案：3329在锐角三角形 ABC 中，求证：sin Asin Bsin Ccos Acos Bcos C.证明： ABC 为锐角三角形， A B ， 2 A B， 2 ysin x 在 上是增函数，(0， 2)sin Asin cos B，( 2 B)同理可得 sin Bcos C，sin Ccos A，sin Asin Bsin Ccos Acos Bcos C.10已知 O
49、 是 ABC 内任意一点，连结 AO， BO， CO 并延长，分别交对边于A， B， C，则 1，这是一道平面几何题，其证明常采用“面积法”OAAA OBBB OCCC：5 1.OAAA OBBB OCCC S OBCS ABC S OCAS ABC S OABS ABC S ABCS ABC请运用类比思想，对于空间中的四面体 V BCD，存在什么类似的结论，并用“体积法”证明解：在四面体 V BCD 中，任取一点 O，连结 VO， DO， BO， CO 并延长，分别交四个面于 E， F， G， H 点则 1.OEVE OFDF OGBG OHCH证明：在四面体 O BCD 与 V BCD 中
50、， .OEVE h1h13S BCDh113S BCDh VO BCDVV BCD同理有 ； ； ，OFDF VO VBCVD VBC OGBG VO VCDVB VCD OHCH VO VBDVC VBD OEVE OFDF OGBG OHCH 1.VO BCD VO VBC VO VCD VO VBDVV BCD VV BCDVV BCD 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1已知 cos ， 3 12cos cos ， 5 25 14cos cos cos ， 7 27 37 18(1)根据以上等式，可猜想出的一般结论是_；(2)若数列 an中， a1cos ， a2cos cos ， 3 5
51、 25a3cos cos cos ， 7 27 37前 n 项和 Sn ，则 n_.1 0231 024解析：(1)从题中所给的几个等式可知，第 n 个等式的左边应有 n 个余弦相乘，且分母均为 2n1，分子分别为 ，2， n，右边应为 ，故可以猜想出结论为12n6cos cos cos (nN *)2n 1 22n 1 n2n 1 12n(2)由(1)可知 an ，12n故 Sn 1 ，121 (12)n1 12 12n 2n 12n 1 0231 024解得 n10.答案：(1)cos cos cos (nN *) (2)102n 1 22n 1 n2n 1 12n2(2016盐城中学检测
52、)给出下面几个推理：由“633,835,1037,1257，”得到结论：任何一个不小于 6 的偶数都等于两个奇质数之和；由“三角形内角和为 180”得到结论：等腰三角形内角和为 180；由“正方形面积为边长的平方”得到结论：正方体的体积为边长的立方；由“ a2 b22 ab(a， bR)”推得：sin 2 x1.其中是演绎推理的序号是_解析：演绎推理的模式是三段论模式，包括大前提、小前提和结论，演绎推理是从一般到特殊的推理，根据以上特点，可以判断是演绎推理易得是归纳推理，是类比推理故答案为.答案：3某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：sin 213cos 217si
53、n 13cos 17；sin 215cos 215sin 15cos 15；sin 218cos 212sin 18cos 12；sin 2(18)cos 248sin(18)cos 48；sin 2(25)cos 255sin(25)cos 55.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论解：(1)选择式，计算如下：sin215cos 215sin 15cos 151 sin 30121 .14 34(2)法一：三角恒等式为7sin2 cos 2(30 )sin cos(30 ) .34证明如下：sin2 cos
54、 2(30 )sin cos(30 )sin 2 (cos 30cos sin 30sin )2sin (cos 30cos sin 30sin )sin 2 cos2 sin cos sin2 sin cos 34 32 14 32 sin2 sin2 cos2 .12 34 34 34法二：三角恒等式为sin2 cos 2(30 )sin cos(30 ) .34证明如下：sin2 cos 2(30 )sin cos(30 ) sin (cos 30cos sin 30sin )1 cos 22 1 cos 60 2 2 cos 2 (cos 60cos 2 sin 60sin 2 ) sin cos 12 12 12 12 32 sin2 cos 2 cos 2 sin 2 sin 2 (1cos 2 )12 12 12 12 14 34 34 141 cos 2 cos 2 .14 14 14 34
