1、1第七篇 不等式(必修 5)第 1 节 不等关系与不等式【选题明细表】知识点、方法 题号用不等式(组)表示不等关系 8不等式的性质 1,2,7,11比较大小 4,5,6,9求范围问题 3,10不等式的综合问题 12,13,14基础对点练(时间:30 分钟)1.已知 ab,cd,且 c,b 不为 0,那么下列不等式成立的是( D )(A)abbc (B)acbd(C)a-cb-d (D)a+cb+d解析:由同向不等式的可加性知选 D.2.(2015 漳州二模)如果 ab,则下列各式正确的是( D )(A)alg xblg x(x0) (B)ax2bx2(C)a2b2 (D)a2xb2x解析:两边
2、相乘的数 lg x 不一定恒为正,选项 A 错误;不等式两边都乘以 x2,它可能为 0,选项 B 错误;若 a=-1,b=-2,不等式 a2b2不成立,选项 C 错误.选项 D 正确.3.若角 , 满足-abb2 (D)a2b2ab解析:法一 由 a,即 2,2,所以 a2abb2.故选 C.法二 由 a0,即 a2ab,ab-b2=b(a-b) 0,即 abb2,因此 a2abb2.故选 C.25.设 a1,且 m=loga(a2+1),n=loga(a-1),p=loga (2a),则 m,n,p 的大小关系为( B )(A)nmp (B)mpn(C)mnp (D)pmn解析:令 a=2,
3、则 m=log252,n=log21=0,p=log24=2.6.(2015 广州二模)已知 ab0,则下列不等关系中正确的是( D )(A)sin asin b (B)log2 alog2 b;C 错误,由函数 y= = 在0,+)上单调递增可得 ;D 正确,由函数 y=()x在12 1212R 上单调递减可得() a9解析:由题目条件可知, 1+=8+42+,8+42+=27+93+,整理得 37=0,519=0,解得 a=6,b=11.所以 f(-1)=c-6.所以 0b0,则下列不等式中一定成立的是( A )(A)a+b+ (B)+1+1(C)a-b- (D) 2+2解析:因为 ab0
4、,所以 0b+.12.已知0;a-b-;ln a 2ln b2.其中,正确的不等式是 ( C )1+1(A) (B) (C) (D)解析:因为0,所以 0,所以 -a0,则-b|a|,即|a|+bb-,故正确;因为 ba2,所以 ln b2ln a2.故错误.故正确的是.13.对于实数 a,b,c,d 有下列命题:若 ab,则 acbc2,则 ab;若 ab,cd,则 a-cb-d;若 cab0,则 ; 若 ab,则 a0,bbc2知 c20,则 c20,ab,正确;如 54,31,而 5-3ab0,得 0 ,1 1所以 ,正确; 由,得-= 0,因 ab,所以 b-a0,b5 时,y 1y2
5、.因此当单位去的人数为 5 人时,两车队收费同等优惠;当单位去的人数多于 5 人时,甲车队收费更优惠;当单位去的人数少于 5 人时,乙车队收费更优惠.精彩 5 分钟1.(2016 西城区一模)已知 6 枝玫瑰与 3 枝康乃馨的价格之和大于 24 元,而 4 枝玫瑰与 4 枝康乃馨的价格之和小于 20 元,那么 2 枝玫瑰和 3 枝康乃馨的价格的比较结果是( A )(A)2 枝玫瑰的价格高 (B)3 枝康乃馨的价格高(C)价格相同 (D)不确定解题关键:先列出不等关系,再利用整体法求解出目标与已知范围的关系,进而比较得结果.解析:设 1 枝玫瑰和 1 枝康乃馨的价格分别为 x,y 元,由题意可得
6、 化为6+324,4+48,5,设 2x-3y=m(2x+y)+n(-x-y)=(2m-n)x+(m-n)y,令 2=2,=3,解得 m=5,n=8,所以 2x-3y=5(2x+y)+8(-x-y)58-58=0,因此 2x3y,所以 2 枝玫瑰的价格高.2.(2015 临沂校级月考)设 ab0,m= ,n= - ,则 m,n 的大小关系是 m n.(选 “”“b0,所以 , 0, 所以 m2-n2=a-b-(a+b-2 )=2 -2b2 -2b=0, 2所以 m2n2,又 m0,n0,5所以 mn.答案:第 七 篇 不等式 (必修 5)六年新课标全国卷试题分析高考考点、示例分布 图 命 题
7、特点1.高考在本篇一般命制 1 2道小题 ,分 值 5 10分 .2.在高考中主要考 查 一元二次不等式的解法 ,常与集合相 结 合 ;简单 的 线 性 规 划求最 值 、范 围 ;或由最 值 求参数 ,或考 查 非 线 性最值问题 .3.基本不等式一般不 单 独考查 ,有 时 在解三角形、函数与 导数、解析几何等 问题 中会用到基本不等式求最 值 (或范 围 ).第 1节 不等关系与不等式知识链条完善考点专项突破易混易错辨析知识链条完善 把散落的知识连起来【 教材导读 】 1.若 ab,cd,则 a-cb-d是否成立 ?提示 :不成立 ,同向不等式不能相减 ,如 32,41,但 3-4b0,
8、则 acbc是否成立 ?提示 :不成立 .当 c=0时 ,ac=bc,当 cb0,n N,n2 时才成立 .知识梳理 1.实数的大小顺序与运算性质之间的关系设 a,b R,则(1)ab ;(2)a=b ;(3)a0a-b=0a-bc a+cb+c acbc acb+d acbd anbn夯基自测B 2.限速 40 km/h的路标 ,指示司机在前方路段行驶时 ,应使汽车的速度v不超过 40 km/h,写成不等式就是 ( )(A)v40 km/h(C)v40 km/h (D)v40 km/hD解析 :由汽车的速度 v不超过 40 km/h,即小于等于 40 km/h.即 v40 km/h, 故选
9、D.C 解析 :因为 -3b-2,所以 2-b3.又因为 -2a-1,所以 0a-b2.答案 :(0,2)4.已知 -2a-1,-3b-2,则 a-b的取值范围是 . 答案 :2考点专项突破 在讲练中理解知识考点一 用不等式 (组 )表示不等关系【 例 1】 某汽车公司由于发展的需要需购进一批汽车 ,计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为 40万元、 90万元的 A型汽车和 B型汽车 ,根据需要 ,A型汽车至少买 5辆 ,B型汽车至少买 6辆 ,写出满足上述所有不等关系的不等式 .反思归纳 用不等式 (组 )表示不等关系(1)分析题中有哪些未知量 .(2)选择其中起关键作用的未知量
10、,设为 x或 x,y再用 x或 x,y来表示其他未知量 .(3)根据题目中的不等关系列出不等式 (组 ).提醒 :在列不等式 (组 )时要注意变量自身的范围 .考点二 不等式的性质反思归纳 判断多个不等式是否成立 ,需要逐一给出推理判断或反例说明 .常用的推理判断需要利用不等式的性质 ,常见的反例构成方式可从以下几个方面思考 : 不等式两边都乘以一个代数式时 ,所乘的代数式是正数、负数或 0; 不等式左边是正数 ,右边是负数 ,当两边同时平方后不等号方向不一定保持不变 ; 不等式左边是正数 ,右边是负数 ,当两边同时取倒数后不等号方向不变 .比较大小考点三 反思归纳 比较大小常用的方法(1)作
11、差法一般步骤是 作差 ; 变形 ; 判号 ; 定论 .其中变形是关键 ,常采用因式分解、配方等方法把差变成积或者完全平方的形式 .当两个式子都含有开方运算时 ,可以先乘方再作差 .(2)作商法一般步骤是 : 作商 ; 变形 ; 判断商与 1的大小 ; 结论 .作商比较大小时 ,要注意分母的符号避免得出错误结论 .(3)特值法对于选择题可以用特值法比较大小 .答案 :(1)B答案 :(2)ab(2)若 a=1816,b=1618,则 a与 b的大小关系为 . 备选例题 易混易错辨析 用心练就一双慧眼不等式变形中扩大变量范围致误【 典例 】 设 f(x)=ax2+bx,若 1f(-1)2,2f(1
12、)4, 则 f(-2)的取值范围是 . 1第 2节 一元二次不等式的解法【选题明细表】知识点、方法 题号一元二次不等式的解法 1,3,8,12已知不等式的解集求参数 6,10一元二次不等式恒成立问题 5可化为一元二次不等式的解法 2,9,11综合应用 4, 13,14一元二次不等式的实际应用 7基础对点练(时间:30 分钟)1.(2016漳州模拟)不等式(x-2) (2x-3)0,(A)-1,1 (B)-2,2 (C)-2,1 (D)-1,2解析:当 x0 时,x+2x 2,所以-1x0,当 x0时,-x+2x 2,所以 00,0,2即 0,240,解得 00在 R上恒成立”的一个必要不充分条
13、件是( C )(A)m (B)00 (D)m1解析:不等式 x2-x+m0在 R上恒成立,则有 =1-4m,所以它的一个必要不充分条件应为 m0.6.不等式 x2-ax-b0的解集为( C )(A)x|20,即为-6x 2-5x-10,解得-0)的解集为(x 1,x2),且 x2-x1=15,则a= . 解析:因为关于 x的不等式 x2-2ax-8a20)的解集为(-2a,4a),又 x2-2ax-8a20)解集为(x 1,x2),3则 x1=-2a, x2=4a,由 x2-x1=6a=15得 a=.答案:能力提升练(时间:15 分钟)11.下列选项中,使不等式 x0的解集是( C )(A)x
14、|x5a或 x-a (D)x|5a0可化为(x-5a)(x+a)0.因为方程(x-5a) (x+a)=0 的两根为 x1=5a,x2=-a,且 2a+1-a.故选 C.13.如果关于 x的不等式(1-m 2)x2-(1+m)x-11,53,即 m,综上,实数 m的取值范围是 m-1 或 m.答案:(-,-1(,+)14.已知 f(x)=x2-2ax+2,当 x-1,+)时,f(x)a 恒成立,求 a的取值范围.解:法一 f(x)=(x-a) 2+2-a2,此二次函数图象的对称轴为 x=a,当 a(-,-1)时,结合图象(略)知,f(x)在-1,+)上单调递增,f(x) min=f(-1)=2a
15、+3,要使 f(x)a 恒成立,只需 f(x)mina,即 2a+3a,解得 a-3.又 a0,1,(1)0,解得-3a1,故 a的取值范围为-3,1.精彩 5分钟1.(2015闸北区一模)如果不等式 x2|x-1|+a的解集是区间(-3,3)的子集,则实数 a的取值范围是 . 解题关键:将不等式转化为二次函数,作出函数图象,利用数形结合找出等价条件,求解.解析:不等式 x2|x-1|+a等价为 x2-|x-1|-a0,设 f(x)=x2-|x-1|-a,则 f(x)=2+1,1,2+1,1,作 f(x)的草图如图所示.若不等式 x2|x-1|+a的解集是区间(-3,3)的子集,则等价为 (3
16、)0,(3)0,即 920,940,即 7,5,解得 a5.答案:(-,52.(2015启东市校级期中)已知函数 f(x)=x2+ax+b(a,bR)的值域为0,+),若关于 x的不等式 f(x)c的解集为(m,m+8),则实数 c的值为 . 解题关键:(1)由函数 f(x)的值域为0,+)求得 a,b的关系.(2)挖掘出题目的隐含条件|x1-x2|2=64建立方程求出 c的值.解析:因为函数 f(x)=x2+ax+b(a,bR)的值域为0,+),所以函数的最小值为 0,可得 =a 2-4b=0,即 b=a2,又因为关于 x的不等式 f(x)c可化成 x2+ax+b-c0,5所以 x2+ax+
17、a2-c0,若不等式 f(x)c的解集为(m,m+8),也就是方程 x2+ax+a2-c=0的两根分别为 x1=m,x2=m+8,所以 1+2=,12=142,可得|x 1-x2|2=(x1+x2)2-4x1x2=64,即(-a) 2-4(a2-c)=64,解得 c=16.答案:16第 2节 一元二次不等式的解法知识链条完善考点专项突破易混易错辨析知识链条完善 把散落的知识连起来【 教材导读 】1.若 a0, 则函数 y=ax2+bx+c与方程 ax2+bx+c=0与不等式 ax2+bx+c0之间有何关系 ?提示 :对于函数 y=ax2+bx+c,令 y=0可得 ax2+bx+c=0,令 y0
18、可得ax2+bx+c0,也就是说函数 y=ax2+bx+c的零点是方程 ax2+bx+c=0的根 ,也是不等式 ax2+bx+c0解集的端点值 .2.一元二次不等式 ax2+bx+c0恒成立的条件是什么 ?知识梳理 1.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系相异 x|x10(a0)的求解过程用程序框图表示为(x-a)(x-b)0夯基自测1.不等式 x(2-x)0的解集是 ( )(A)(-,0) (B)(0,2)(C)(-,0)(2,+) (D)(2,+)B 解析 :原不等式化为 x(x-2)0; 若不等式 ax2+bx+c0的解集为 (-,x 1)(x 2,+), 则方程 ax2+
19、bx+c=0的两根是 x1和 x2; 若方程 ax2+bx+c=0(a0) 没有实数根 ,则不等式 ax2+bx+c0的解集为 R; 不等式 ax2+bx+c0 在 R上恒成立的条件是 a0的解集为 ,故 错误 ;对于 ,若 a=b=0,c0, 则 ax2+bx+c0, 在 R上也恒成立 ,故 错误 .答案 :考点专项突破 在讲练中理解知识考点一 用不等式 (组 )表示不等关系【 例 1】 解下列不等式 :(1)-x2+8x-30;(2)-4x2+12x-90的解集是 (-1,3),求a,b.反思归纳 解一元二次不等式的一般步骤(1)把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式 .(2)计算对应方
20、程的判别式 .(3)求出对应的一元二次方程的根 ,或根据判别式说明方程有没有实根 .(4)写出不等式的解集 .【 即时训练 】 (1)(2015高考重庆卷 )函数 f(x)=log2(x2+2x-3)的定义域是 ( )(A)-3,1 (B)(-3,1)(C)(-,-31,+) (D)(-,-3)(1,+)(2)(2015高考广东卷 )不等式 -x2-3x+40的解集为 .(用区间表示 ) 解析 :(1)由题意得 x2+2x-30,即 (x-1)(x+3)0,解得 x1或 x0 (x+4)(x-1)1.反思归纳 解含参数的一元二次不等式的步骤(1)二次项系数若含有参数应讨论二次项系数是小于零 ,
21、还是大于零 ,若小于零将不等式转化为二次项系数为正的形式 .(2)判断方程的根的个数 ,讨论判别式 与 0的关系 .(3)确定无根时可直接写出解集 ,确定方程有两个根时 ,要讨论两根的大小关系 ,从而确定解集形式 .一元二次不等式恒成立问题考点三 反思归纳 (1)解决恒成立问题一定要分清哪个为变量哪个为参数 .一般地 ,知道范围的为变量 ,所求量为参数 .(2)解决含参数的一元二次不等式恒成立问题 ,通常有两种方法 :一是函数性质法 ,借助相应的函数图象 ,构造含参数的不等式 (组 );二是分离参数法 ,把不等式等价转化 ,使之转化为求函数的最值问题 .答案 :0,4考点四 一元二次不等式的实
22、际应用(2)若再要求该商品一天营业额至少为 10 260元 ,求 x的取值范围 .反思归纳 求解不等式应用题的方法(1)阅读理解 ,认真审题 ,把握问题中的关键量 ,找准不等关系 .(2)引进数学符号 ,将文字信息转化为符号语言 ,用不等式表示不等关系 ,建立相应的数学模型 .(3)解不等式 ,得出数学结论 ,要注意数学模型中自变量的实际意义 .(4)回归实际问题 ,将数学结论还原为实际问题的结果 .备选例题 易混易错辨析 用心练就一双慧眼忽视对参数的讨论致误【 典例 】 (2015眉山期末 )对于任意实数 x,不等式 (a-2)x2-2(a-2)x-40恒成立 ,则实数 a的取值范围是 (
23、)(A)(-,2) (B)(-,2 (C)(-2,2) (D)(-2,21第 3 节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题【选题明细表】知识点、方法 题号二元一次不等式(组)表示的平面区域 2,4,10,13线性目标函数的最值(范围) 1,7,11含参数的线性规划问题 3,4,9非线性目标函数的最值 6,8,12,14线性规划的实际应用 5,15基础对点练(时间:30 分钟)1.(2015 高考福建卷)若变量 x,y 满足约束条件 则 z=2x-y 的最小值等于( A )+20,0,2+20,(A)- (B)-2 (C)- (D)2解析:由约束条件画出可行域如图(阴影部分).当直线 2x-
24、y-z=0 经过点 A(-1,)时,z min=-.故选 A.2.(2015 哈尔滨校级三模)若 A 为不等式组 表示的平面区域,则 a 从-2 连续变化到0,0,21 时,动直线 x+y=a 扫过 A 中的那部分区域的面积为( D )(A)9 (B)3 (C) (D)13 13解析:如图,不等式组 0,0,2表示的平面区域是AOB,动直线 x+y=a(即 y=-x+a)在 y 轴上的截距从-2 变化到 1.知ACD 是斜边为 3 的等腰直角三角形,OEC 是直角边为 1 的等腰直角三角形,所以区域的面积 S=SACD -SOEC=3-11=.23.(2016 浙江模拟)已知函数 f(x)=l
25、ogax(a1)的图象经过区域 则 a 的取值范+60,20,360,围是( C )(A)(1, (B)( ,+)33 33(C) ,+) (D)(2,+)33解析:作出区域 D 的图象,图中阴影部分如图所示.联系函数 f(x)=logax(a1)的图象,能够看出,当图象经过区域的边界点 A(3,3)时,a 可以取到最小值 ,而显然只要 a 大于 ,33 33函数 f(x)=logax(a1)的图象必然经过区域内的点.则 a 的取值范围是 ,+).故选 C.334.(2015 岳阳二模)已知 x,yR,不等式组 所表示的平面区域的面积为 6,则实数+20,0,0k 的值为( B )(A)1 (
26、B)2 (C)3 (D)4解析:作出不等式组对应的平面区域,得 k0,由 +2=0,=, 解得 =2,=, 即 A(-2k,k),由 解得=0,=, =,=,即 B(k,k).因为平面区域的面积是 6,所以3kk=6,即 k2=4,由 k0 得 k=2.5.某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品 1 桶需耗 A 原料 1 千克、B 原料 2 千克;生产乙产品 1 桶需耗 A 原料 2 千克、B 原料 1 千克.每桶甲产品的利润是 300 元,每桶乙产品的利润是 400 元.公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗 A,B 原料都不超过 12 千克.通过合理安排生产计划,从每天生产的甲、
27、乙两种产品中,公司共可获得的最大利润是( C )3(A)1 800 元 (B)2 400 元(C)2 800 元 (D)3 100 元解析:设每天生产甲种产品 x 桶,乙种产品 y 桶,则根据题意得 x,y 的约束条件为0,0,+212,2+12.设获利 z 元,则 z=300x+400y.画出可行域如图.画直线 l:300x+400y=0,即 3x+4y=0.平移直线 l,从图中可知,当直线过点 M 时,目标函数取得最大值.由 +2=12,2+=12,解得 =4,=4,即 M 的坐标为(4,4),所以 zmax=3004+4004=2 800(元).故选 C.6.已知动点 P(m,n)在不等
28、式组 表示的平面区域内部及其边界上运动 ,则 z=+4,0,0 的最小值是( D )35(A)4 (B)3 (C) (D)解析:作出不等式组对应的平面区域如图阴影所示.因为 z= ,所以 z 的几何意义是区域35内过任意一点 P(m,n)与点 M(5,3)两点的直线的斜率.所以由图象可知当直线经过点 A、M 时,斜率最小,由 得+=4,=0, =2,=2,即 A(2,2),此时 kAM= =,32524所以 z= 的最小值是 .357.(2016 柳州模拟)已知 x,y 满足不等式组 则目标函数 z=2x+y 的最大值为 .,+2,2, 解析:作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分).由 z
29、=2x+y 得 y=-2x+z,平移直线 y=-2x+z,由图象可知当直线 y=-2x+z 经过点 A 时,直线 y=-2x+z 的截距最大,此时 z 最大.由 =2,=,解得 即 A(2,2),=2,=2,代入目标函数 z=2x+y 得 z=22+2=6.即目标函数 z=2x+y 的最大值为 6.答案:68.已知正实数 m,n 满足 20,0,+22,+20,b0)的最360,+20,0,0, 大值为 6,则+的最小值为 . 解题关键:解决本题的关键是求出目标函数 z=ax+by(a0,b0)取最大值时,a,b 所满足的条件,然后利用“1”的代换求+的最小值.解析:作出不等式组对应的平面区域
30、如图.由 z=ax+by(a0,b0)得 y=-x+,则直线的斜率 k=-0,截距最大时,z 也最大.平移直线 y=-x+,由图象可知当直线 y=-x+经过点 A 时,直线 y=-x+的截距最大,此时 z 最大,由 解得36=0,+2=0, =4,=6,即 A(4,6),此时 z=4a+6b=6,即 +b=1,23所以+=(+)( +b)23=+43+243=+43310= ,8+433当且仅当= ,即 a= b 时取等号.43 32答案:8+433第 3节 二元一次不等式 (组 )与简单的线性规划问题知识链条完善考点专项突破知识链条完善 把散落的知识连起来【 教材导读 】1.目标函数 z=a
31、x+by(ab0) 中 z有什么几何意义 ?其最值与 b有何关系 ?2.最优解一定唯一吗 ?提示 :不一定 .当线性目标函数对应的直线与可行域多边形的一条边平行时 ,最优解可能有多个甚至无数个 .知识梳理 1.二元一次不等式 (组 )的解集满足二元一次不等式 (组 )的 x和 y的取值构成的 ,叫做二元一次不等式 (组 )的解 ,所有这样的 构成的集合称为二元一次不等式 (组 )的解集 .有序数对 (x,y)有序数对 (x,y)2.二元一次不等式 (组 )表示的平面区域(1)在平面直角坐标系中二元一次不等式 (组 )表示的平面区域表示区域不等式 Ax+By+C0 直 线 Ax+By+C=0某一
32、侧 的所有点 组 成的平面区域 (半平面 )不包括 .Ax+By+C0 包括 .不等式组 各个不等式所表示平面区域的 .(2)平面区域的确定对于直线 Ax+By+C=0同一侧的所有点 ,把它的坐标 (x,y)代入 Ax+By+C,所得的符号都 ,所以只需在此直线的同一侧取某个特殊点 (x0,y0)作为测试点 ,由 Ax0+By0+C的符号即可断定 Ax+By+C0表示的是直线Ax+By+C=0哪一侧的平面区域 .边界边界相同公共部分3.线性规划的有关概念名称 意义约束条件 由 变 量 x,y组 成的 .线性约束条件 由 x,y的 不等式 (或方程 )组 成的不等式 组目标函数 欲求 或 的函数
33、线性目标函数 关于 x,y的 解析式可行解 满 足 的解 (x,y)可行域 所有 组 成的集合最优解 使目 标 函数取得 或 的可行解线性规划问题 在 线 性 约 束条件下求 线 性目 标 函数的最大 值 或最小 值问题不等式 (组 )最大值 最小值线性约束条件可行解最大值 最小值一次一次夯基自测1.(2016漳州模拟 )图中阴影 (包括直线 )表示的区域满足的不等式是 ( )(A)x-y-10 (B)x-y+10(C)x-y-10 (D)x-y+10A 解析 :直线对应的方程为 x-y-1=0,即对应的区域 ,在直线的下方 ,当 x=0,y=0时 ,0-0-10表示的平面区域是直线 Ax+B
34、y+C=0的上方区域. 点 (x1,y1),(x2,y2)在直线 Ax+By+C=0同侧的充要条件是(Ax1+By1+C)(Ax2+By2+C)0,异侧的充要条件是 (Ax1+By1+C)(Ax2+By2+C)0,B0表示的平面区域是直线 Ax+By+C=0的下方区域 ,故 不正确 , 、 、 均正确 .5.某实验室需购买某种化工原料 106千克 ,现有市场上该原料的两种包装 ,一种是每袋 35千克 ,价格为 140元 ;另一种是每袋 24千克 ,价格为 120元 ,在满足需要的条件下 ,最少需花费 元 . 答案 :500考点专项突破 在讲练中理解知识考点一 二元一次不等式 (组 )表示的平面
35、区域反思归纳 (1)确定二元一次不等式 (组 )表示的平面区域的方法是 :“ 直线定界 ,特殊点定域 ” ,即先作直线 ,再取特殊点并代入不等式 (组 ).若满足不等式 (组 ),则不等式 (组 )表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域 ;否则就对应于特殊点异侧的平面区域 .(2)当不等式中带等号时 ,边界为实线 ,不带等号时 ,边界应画为虚线 ,特殊点常取原点 .考点二 目标函数的最值问题 (高频考点 )考查角度 1:求线性目标函数的最值 .高考扫描 :2011、 2012高考新课标全国卷 ,2013、 2014、 2015高考新课标全国卷 反思归纳 利用线性规划求目标函数最值的步骤(
36、1)画出约束条件对应的可行域 ;(2)将目标函数视为动直线 ,并将其平移经过可行域 ,找到最优解对应的点 ;(3)将最优解代入目标函数 ,求出最大值或最小值 .考查角度 2:求非线性目标函数的最值 .高考扫描 :2015高考新课标全国卷 答案 :(1)3答案 :(2)29反思归纳 考查角度 3:由目标函数的最值求参数 .高考扫描 :2014高考新课标全国卷 解析 :画出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示 ,因为目标函数 z=ax+y的最大值为 4,即目标函数对应直线与可行域有公共点时 ,在 y轴上的截距的最大值为 4,作出过点 D(0,4)的直线 ,由图可知 ,目标函数在点 B(2,0)
37、处取得最大值 ,故有 a2+0=4,解得 a=2.故选 B.反思归纳 对于已知目标函数的最值 ,求参数问题 ,把参数当作已知数 ,找出最优解代入目标函数 .由目标函数的最值求得参数的值 .线性规划的实际应用考点三 【 例 5】 (2015高考陕西卷 )某企业生产甲、乙两种产品均需用 A,B两种原料 .已知生产 1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示 .如果生产 1吨甲、乙产品可获利润分别为 3万元、 4万元 ,则该企业每天可获得最大利润为 ( )(A)12万元 (B)16万元 (C)17万元 (D)18万元甲 乙 原料限 额A(吨 ) 3 2 12B(吨 ) 1 2 8反思归纳 解决
38、线性规划应用题的一般步骤(1)认真审题 ,设出未知数 ,写出线性约束条件和目标函数 .(2)作出可行域 .(3)作出目标函数值为零时对应的直线 l0.(4)在可行域内平行移动直线 l0,从图中能判定问题有唯一最优解或有无穷最优解或无最优解 .(5)求出最优解 ,从而得到目标函数的最值 .【 即时训练 】 (2015武侯区校级模拟 )某农户计划种植黄瓜和韭菜 ,种植面积不超过 50亩 ,投入资金不超过 54万元 ,假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如表 :年 产 量 /亩 年种植成本 /亩 每吨售价黄瓜 4吨 1.2万元 0.55万元韭菜 6吨 0.9万元 0.3万元为使一年的种植总利润 (总
39、利润 =总销售收入 -总种植成本 )最大 ,那么黄瓜和韭菜的种植面积 (单位 :亩 )分别为 . 1第 4节 基本不等式【选题明细表】知识点、方法 题号利用基本不等式比较大小、证明 2,4,8,10利用基本不等式求最值 1,3,5,7,13,14基本不等式的实际应用 9,15基本不等式的综合应用 6,11,12基础对点练(时间:30 分钟)1.(2015遵义校级期末)下列各函数中,最小值为 2的是( D )(A)y=x+(B)y=sin x+ ,x(0,2)1(C)y=2+22+2(D)y= + -24解析:当 x=-1时,y=x+=-2,排除 A;当 sin x=-1时,y=sin x+ =
40、-2,排除 B;当 x=0时,y=1= ,排除 C;对于 y= + -2,利用基本不等式可得 y2 -2=2,当且仅当 x=4时,2+22+22 4 4等号成立,故 D满足条件.2.(2016福州一中月考)已知 a,b(0,+),则下列不等式不一定成立的是( D )(A)a+b+ 2 (B)(a+b)(+)41 2(C) 2 (D) 2+2 2+ 解析:A、因为 a,b(0,+),所以 a+b+ 2 + 2 =2 ,1 1 2 1 2当且仅当 a=b= 时等号成立,22所以 A成立;B、因为 a,b(0,+),所以(a+b)(+)=1+12+2 =4.当且仅当 a=b=1时等号成立,所以 B成
41、立;C、因为 a,b(0,+),2所以 =2 ,2+2 2 所以 C成立;D、因为 a,b(0,+), = ,2+ 22当且仅当 a=b时等号成立,所以 D不一定成立.3.(2015武清区模拟)已知 x0,y0,lg 2x+lg 8y=lg 2,则+ 的最小值是( C )13(A)2 (B)2 (C)4 (D)22 3解析:因为 lg 2x+lg 8y=lg 2,所以 lg(2x8y)=lg 2,所以 2x+3y=2,所以 x+3y=1.因为 x0,y0,所以+ =(x+3y)(+ )=2+ + 2+2 =4,13 13 3 3 33当且仅当 x=3y=时取等号.4.(2015高考陕西卷)设
42、f(x)=ln x,0p(C)p=rq解析:由题意得 p=ln ,q=ln ,r=(ln a+ln b)=ln =p,+2 因为 0 ,+2 所以 ln ln ,+2 所以 p=r0,b0)过点(1,1),则 a+b的最小值等于( C )(A) 2 (B)3 (C)4 (D)5解析:法一 因为直线+=1(a0,b0)过点(1,1),所以+=1,所以 1=+2 = (当且仅当11 2a=b=2时取等号),所以 2.又 a+b2 (当且仅当 a=b=2时取等号),所以 a+b4(当 且仅当 a=b=2时取等号),故选 C.法二 因为直线+=1(a0,b0)过点(1,1),所以+=1,所以 a+b=
43、(a+b)(+)=2+2+2 =4(当且仅当 a=b=2时取等号),3故选 C.6.(2016银川一中高三第三次月考)已知 x,y为正实数,且 x,a1,a2,y成等差数列,x,b 1,b2,y成等比数列,则 的取值范围是( C )(1+2)212(A)R (B)(0,4(C)4,+) (D)(-,04,+)解析:由已知 a1+a2=x+y,b1b2=xy,所以 = =+22 +2=4,(1+2)212 (+)2 当且仅当 x=y时取等号.故选 C.7.(2016万州模拟)已知向量 a=(x-1,2),b=(4,y),若 ab,则 16x+4y的最小值为 . 解析:因为 ab,a=(x-1,2
44、),b=(4,y),所以 4(x-1)+2y=0,即 4x+2y=4,因为 16x+4y=24x+22y2 =2 =8,24+2 24当且仅当 24x=22y,即 4x=2y=2时取等号.答案:88.若 ab1,A=lg( ),B= .C=(lg a+lg b),则 A,B,C从小到大的顺序为 .+2 解析:因为 ab1,所以 lg a0,lg b0,则(lg a+lg b) ,即 CB,lg( )lg =lg(ab)=(lg a+lg b),+2 所以 AC,综上,ACB.答案:ACB9.某公司购买一批机器投入生产,据市场分析,每台机器生产的产品可获得的总利润 y(单位:万元)与机器运转时间
45、 x(单位:年)的关系为 y=-x2+18x-25(xN *),则当每台机器运转 年时,年平均利润最大,最大值是 万元. 解析:每台机器运转 x年的年平均利润为=18-(x+ ),而 x0,故18-2 =8,当且仅当 x=525 25时等号成立,此时年平均利润最大,最大值为 8万元.答案:5 810.(2016开封模拟)已知 a,b都是正实数,且 a+b=1.(1)求证:+4;(2)求(a+) 2+(b+)2的最小值.(1)证明:+= + =2+2+2 =4,+ + 4当且仅当 a=b=时等号成立.(2)解: (a+) 2+(b+)2 = .(+1+1) 22 252所以(a+) 2+(b+)
46、2 ,252当且仅当 a=b=时等号成立.故所求最小值为 .25211.(2015滕州校级模拟)已知不等式 x2-5ax+b0的解集为x|x4 或 x0, 0,41所以 f(x)=+ = (+ )x+(1-x)41 41=5+ + 5+2 =9,1 41 1 41当且仅当 = ,即 x=时,等号成立.1 41所以 f(x)的最小值为 9.能力提升练(时间:15 分钟)12.(2015郑州模拟)已知正项等比数列a n满足:a 7=a6+2a5,若存在两项 am,an,使得 aman=16,则+的最小值为( A )21(A) (B) (C) (D)不存在256解析:设正项等比数列a n的公比为 q
47、,易知 q1,由 a7=a6+2a5,得到 a6q=a6+2,解得 q=2,因为 aman=16 ,21所以 a12m-1a12n-1=16 ,215所以 m+n=6 (m0,n0),所以+=(m+n) (+)=(5+ )(5+2 )=,4 4当且仅当= ,且 m+n=6,4即 m=2,n=4时等号成立.13.(2016衡水中学高二上第二次调研)已知 m,nR +,mn,x,y(0,+),则有 +2,当且仅当 =时等号成立 ,用此结论,可求函数 f(x)= + ,x(0,1)的最小值为 .(+)2+ 43 31解析:由题意可得 f(x)= + = + = ,当且仅当 = ,即43 3143 9
48、3(1) (2+3)23+3(1)253 23 33(1)x=时取到等号,所以函数的最小值为 .253答案:25314.(2015郑州模拟)已知 a,b,c为正实数.(1)若 ab(a+b)=2,求 a+b的最小值;(2)若 abc(a+b+c)=1,求(a+b)(b+c)的最小值.解:(1)因为 2=ab(a+b)( )2(a+b),+2所以 a+b2,当且仅当 a=b=1时取等号,所以 a+b的最小值为 2.(2)因为(a+b)(b+c)=b(a+b+c)+ac2 =2,当且仅当 b(a+b+c)=ac且(+)abc(a+b+c)=1时取等号,所以(a+b)(b+c)的最小值是 2.15.
49、(2015高邮校级模拟)某人购置一块占地 1 800平方米的矩形地块,中间建三个矩形温室大棚,大棚周围均是宽为 1米的小路(阴影部分所示),大棚所占地面积为 S平方米,其中ab=12.(1)试用 x,y表示 S;(2)若要使 S最大,则 x,y的值各为多少?解:(1)由题可得 xy=1 800,b=2a,则 y=a+b+3=3a+3,6所以 S=(x-2)a+(x-3)b=(3x-8)a=(3x-8)33=1 808-3x-y.(2)S=1 808-3x-1 800=1 808-(3x+ )4 8001 808-234 800=1 808-240=1 568,当且仅当 3x= ,4 800即
50、x=40,y=45时,S 取得最大值.精彩 5分钟1.(2015高考福建卷)已知 ,| |=,| |=t.若点 P是ABC 所在平面内的一点,且 = + ,则 的最大值等于( A )|4| (A)13 (B)15 (C)19 (D)21解题关键:求解本题的关键是由 联想到建立平面直角坐标系转化为坐标运算 ,利用基本不等式求最值.解析:以 A为原点,AB 所在直线为 x轴,AC 所在直线为 y轴建立平面直角坐标系,则 B(,0)(t0),C(0,t),P(1,4), =(-1,-4)(-1,t-4)=17-(4t+)17-22=13(当且仅当 t=时,取“=”),故 的最大值为 13,故选 A.2.(2015合肥二模)对x ,4,x2m(x-1)恒成立,则实数 m的取值范围是( D )2(A)(-,5 -5 (B)(-, 2103(C)(-,10) (D)(-,10解题关键:分离参数 m,将不等式变形为 mx 2 ,然后配凑成可利用基本不等式的形式 ,求11出函数 f(x)=x2 的最小值即可 .分离参数法是解决恒成立问题的常用方法 .11解析:对x ,4,x2m(x-1)恒成立,2等价于 mx 2 =(x-1)+ +211 112 +2=10,(1) 117当且仅当 x-1= ,11即 x=2 ,4时上式等号成立 ,2所以 m10.即实数 m的取值范围是(-,10.
