1、1第九章 直线和圆的方程9.1 直线方程和两条直线的位置关系考点二 两条直线的位置关系6.(2013 辽宁,9,5 分)已知点 O(0,0),A(0,b),B(a,a3).若OAB 为直角三角形,则必有( )A.b=a3 B.b=a 3+ C.(b-a 3)=0 D.|b-a 3|+=0答案 C 若OAB 为直角三角形,则A=90或B=90.当A=90时,有 b=a3;当B=90时,有=-1,得 b=a3+.故(b-a 3)=0,选 C.19.3 直线与圆、圆与圆的位置关系考点 直线与圆、圆与圆的位置关系12.(2015广东,5,5 分)平行于直线 2x+y+1=0且与圆 x2+y2=5相切的
2、直线的方程是( )A.2x+y+5=0或 2x+y-5=0 B.2x+y+=0 或 2x+y-=0 C.2x-y+5=0或 2x-y-5=0 D.2x-y+=0 或 2x-y-=0答案 A 切线平行于直线 2x+y+1=0,故可设切线方程为 2x+y+c=0(c1),结合题意可得=,解得 c=5.故选 A.14.(2014湖北,12,5 分)直线 l1:y=x+a和 l2:y=x+b将单位圆 C:x2+y2=1分成长度相等的四段弧,则 a2+b2= . 答案 2解析 由题意知直线 l1和 l2与单位圆 C所在的位置如图.因此或故 a2+b2=1+1=2.评析 本题考查了直线和圆的位置关系,考查
3、了直线的斜率和截距,考查了数形结合的思想方法.正确画出图形求出 a和 b的值是解题的关键.15.(2015福建,18,13 分)已知椭圆 E:+=1(ab0)过点(0,),且离心率 e=.(1)求椭圆 E的方程;(2)设直线 l:x=my-1(mR)交椭圆 E于 A,B两点,判断点 G与以线段 AB为直径的圆的位置关系,并说明理由.解析 解法一:(1)由已知得解得所以椭圆 E的方程为+=1.(2)设点 A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为 H(x0,y0).由得(m 2+2)y2-2my-3=0,所以 y1+y2=,y1y2=-,从而 y0=.所以|GH| 2=+=+=(m2+1)
4、+my0+.=(1+m2)(-y1y2),故|GH| 2-=my0+(1+m2)y1y2+=-+=0,所以|GH|.故点 G在以 AB为直径的圆外.2解法二:(1)同解法一.(2)设点 A(x1,y1),B(x2,y2),则=,=.由得(m 2+2)y2-2my-3=0,所以 y1+y2=,y1y2=-,从而=+y 1y2=+y1y2=(m2+1)y1y2+m(y1+y2)+=+=0,所以 cos0.又,不共线,所以AGB 为锐角.故点 G在以 AB为直径的圆外.评析 本题主要考查椭圆、圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与
5、方程思想.16.(2014江苏,18,16 分)如图,为保护河上古桥 OA,规划建一座新桥 BC,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥 BC与河岸 AB垂直;保护区的边界为圆心 M在线段 OA上并与 BC相切的圆,且古桥两端 O和 A到该圆上任意一点的距离均不少于 80 m.经测量,点 A位于点 O正北方向 60 m处,点 C位于点 O正东方向 170 m处(OC 为河岸),tanBCO=.(1)求新桥 BC的长;(2)当 OM多长时,圆形保护区的面积最大?解析 解法一:(1)如图,以 O为坐标原点,OC 所在直线为 x轴,建立平面直角坐标系 xOy.由条件知 A(0,60),C(170,0
6、),直线 BC的斜率 kBC=-tanBCO=-.3因为 ABBC,所以直线 AB的斜率 kAB=.设点 B的坐标为(a,b),则 kBC=-,kAB=.解得 a=80,b=120.所以 BC=150.因此新桥 BC的长是 150 m.(2)设保护区的边界圆 M的半径为 r m,OM=d m(0d60).由条件知,直线 BC的方程为 y=-(x-170),即 4x+3y-680=0.由于圆 M与直线 BC相切,故点 M(0,d)到直线 BC的距离是 r,即 r=.因为 O和 A到圆 M上任意一点的距离均不少于 80 m,所以即解得 10d35.故当 d=10时,r=最大,即圆面积最大.所以当
7、OM=10 m时,圆形保护区的面积最大.解法二:(1)如图,延长 OA,CB交于点 F.因为 tanFCO=,所以 sinFCO=,cosFCO=.因为 OA=60,OC=170,所以 OF=OCtanFCO=,CF=,从而 AF=OF-OA=.因为 OAOC,所以 cosAFB=sinFCO=.又因为 ABBC,所以 BF=AFcosAFB=,从而 BC=CF-BF=150.因此新桥 BC的长是 150 m.(2)设保护区的边界圆 M与 BC的切点为 D,连结 MD,则 MDBC,且 MD是圆 M的半径,并设 MD=r m,OM=d m(0d60).因为 OAOC,所以 sinCFO=cos
8、FCO.故由(1)知 sinCFO=,所以 r=.因为 O和 A到圆 M上任意一点的距离均不少于 80 m,所以即解得 10d35.故当 d=10时,r=最大,即圆面积最大.所以当 OM=10 m时,圆形保护区的面积最大.评析 本题主要考查直线方程、直线与圆的位置关系和解三角形等基础知识,考查建立数学模型及运用数学知识解决实际问题的能力.417.(2013江苏,17,14 分)如图,在平面直角坐标系 xOy中,点 A(0,3),直线 l:y=2x-4.设圆 C的半径为 1,圆心在 l上.(1)若圆心 C也在直线 y=x-1上,过点 A作圆 C的切线,求切线的方程;(2)若圆 C上存在点 M,使
9、 MA=2MO,求圆心 C的横坐标 a的取值范围.解析 (1)由题意知,圆心 C是直线 y=2x-4和 y=x-1的交点,解得点 C(3,2),于是切线的斜率必存在.设过 A(0,3)的圆 C的切线方程为 y=kx+3,由题意得,=1,解得 k=0或-,故所求切线方程为 y=3或 3x+4y-12=0.(2)因为圆心在直线 y=2x-4上,所以圆 C的方程为(x-a) 2+y-2(a-2)2=1.设点 M(x,y),因为 MA=2MO,所以=2,化简得 x2+y2+2y-3=0,即 x2+(y+1)2=4,所以点 M在以 D(0,-1)为圆心,2 为半径的圆上.由题意,点 M(x,y)在圆 C上,所以圆 C与圆 D有公共点,则|2-1|CD2+1,即 13.由 5a2-12a+80,得 aR;由 5a2-12a0,得 0a.所以点 C的横坐标 a的取值范围为.评析 本题考查直线与圆的方程,直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系等基础知识和基本技能,考查运用数形结合、待定系数法等数学思想方法分析问题、解决问题的能力.
