1、第二课时 直线与椭圆的综合问题 考向一 椭圆与向量的综合问题【 典例 1】 (1)(2016 安庆模拟 )P为椭圆 =1上任意一点 ,EF为圆 N:(x-1)2+y2=4的任意一条直径 ,则的取值范围是 ( )A.0,15 B.5,15 C.5,21 D.(5,21)(2)已知椭圆 C: =1的左、右焦点分别为 F1,F2,椭圆 C上的点 A满足 AF2F 1F2,若点 P是椭圆 C上的动点 ,则的最大值为 ( )【 解题导引 】 (1)利用 化简可知 通过 a-c| | a+c,计算即得结论 .(2)由已知求出点 A的坐标并设出点 P的坐标 ,然后将用坐标表示 ,根据点 P坐标的范围即可求出
2、的最大值 .【 规范解答 】 (1)选 C. 因为 a-c| | a+c,即 3| |5,所以 的范围是 5,21.(2)选 B.由椭圆方程知 c= =1,所以 F1(-1,0),F2(1,0).因为椭圆 C上点 A满足 AF2F 1F2,则可设 A(1,y0),代入椭圆方程可得 ,所以 y0= .设 P(x1,y1),则 =(x1+1,y1), =(0,y0),所以 =y1y0.因为点 P是椭圆 C上的动点 ,所以 - y 1 , 的最大值为 【 规律方法 】 解决椭圆中与向量有关问题的方法(1)设出动点坐标 ,求出已知点的坐标 .(2)写出与题设有关的向量 .(3)利用向量的有关知识解决与
3、椭圆、直线有关的问题 .(4)将向量问题转化为实际问题 .【 变式训练 】1.(2016 福州模拟 )椭圆 =1的左、右焦点分别为 F1,F2,P是椭圆上任一点 ,则 的取值范围是 ( )A.(0,4 B.(0,3 C.3,4) D.3,4【 解析 】 选 D.因为椭圆 =1的左、右焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0),设 P(2cos , sin ), R.所以 =(-1-2cos ,- sin ), =(1-2cos ,- sin ),所以因为 R,cos 20,1,4-cos 23,4,所以 的取值范围是 3,4.2.(2016 莆田模拟 )如图 ,点 A,B分别是椭圆 E: =1
4、(ab0)的左、右顶点 ,圆 B:(x-2)2+y2=9经过椭圆 E的左焦点 F1.(1)求椭圆 E的方程 .(2)过点 A作直线 l与 y轴交于点 Q,与椭圆 E交于点 P(异于A).求 的取值范围 .【 解析 】 (1)因为以椭圆 E的右顶点 B为圆心的圆 B方程为 :(x-2)2+y2=9,所以圆 B的圆心坐标的横坐标即为 a的值 ,所以 a=2,在圆 B:(x-2)2+y2=9中令 y=0,得 F1(-1,0),所以 b2=4-1=3,所以椭圆 E的方程为 =1.(2) 当直线 l为 x轴时 ,显然有 =0; 设直线 AP:x=ty-2,并与椭圆 E的方程联立 ,消去 x可得 :(4+
5、3t2)y2-12ty=0,由椭圆 E的方程可知 :A(-2,0),由根与系数的关系可得 :在直线 AP:x=ty-2中令 x=0,得 yQ= ,所以综上所述 , 的取值范围为 0,2).【 加固训练 】1.已知椭圆的右焦点 F(m,0),左、右准线分别为 l1:x=-m-1,l2:x=m+1,且 l1,l2分别与直线 y=x相交于 A,B两点 .(1)若离心率为 ,求椭圆的方程 .(2)当 b0),F1,F2分别为椭圆的左、右焦点 ,A为椭圆的上顶点 ,直线 AF2交椭圆于另一点 B.(1)若 F1AB=90, 求椭圆的离心率 .(2)若 求椭圆的方程 .【 解析 】 (1)若 F1AB=9
6、0, 则 AOF2为等腰直角三角形 ,所以有 OA=OF2,即 b=c.所以 a= c,e= (2)由题知 A(0,b),F1(-c,0),F2(c,0),其中 c= ,设 B(x,y).由 得 (c,-b)=2(x-c,y),解得即 将 B点坐标代入 =1,得 =1,即 =1,解得 a2=3c2. 又由 =(-c,-b) 得 b2-c2=1,即有 a2-2c2=1. 由 解得 c2=1,a2=3,从而有 b2=2.所以椭圆的方程为 考向二 直线与椭圆中的参数问题【 典例 2】 (2014 全国卷 ) 设 F1,F2分别是椭圆 C: =1(a b 0)的左、右焦点 ,M是 C上一点且 MF2与
7、 x轴垂直 ,直线 MF1与 C的另一个交点为 N.(1)若直线 MN的斜率为 ,求 C的离心率 .(2)若直线 MN在 y轴上的截距为 2,且 |MN|=5|F1N|,求 a,b.【 解题导引 】 (1)由斜率条件可得到 a,b,c的关系式 ,然后由 b2=a2-c2消去 b2,再 “ 两边同除以 a2” ,即得到关于离心率 e的二次方程 ,由此解出离心率 .(2)利用 “ MF2y 轴 ” 及 “ 截距为 2” ,可得 yM= =4,然后求出 M,N点坐标 ,代入椭圆方程即可求出 a,b的值 .【 规范解答 】 (1)因为由题知 , 所以 又 a2=b2+c2.联立整理得 :2e2+3e-
8、2=0,解得 e= .所以 C的离心率为 .(2)由三角形中位线知识可知 ,|MF2|=22, 即 =4.设 |F1N|=m,由题可知 |MF1|=4m.由两直角三角形相似 ,可得 M,N两点横坐标分别为 c,- c.所以 M(c,4), 代入椭圆方程 ,得 两式相减得 : 再结合 =4,及 a2=b2+c2,可求得 :a=7,b=2【 规律方法 】 确定直线与椭圆中有关参数的方法1.依据题设中的条件 ,建立与参数有关的方程 .2.解方程可求得参数的值 (注意椭圆中的隐含条件a2=b2+c2).【 变式训练 】 如图 ,F1,F2分别是椭圆 C: =1(ab0)的左、右焦点 ,A是椭圆 C的顶点 ,B是直线 AF2与椭圆 C的另一个交点 ,F 1AF2=60.(1)求椭圆 C的离心率 .(2)已知 AF1B的面积为 40 ,求 a,b的值 .
