1、1.5二 项 式 定 理1、二项式定理：2、通项公式：3、特例：(展开式 的第 r +1项 )温故知新(2)增减性与最大值：从第一项起至中间项，二项式系数逐渐增大，随后又逐渐减小 .因此，当 n为偶数时，中间一项的二项式系数取得最大值；当 n为奇数时，中间两项的二项式系数 、 相等且同时取得最大值(3)各二项式系数的和(1)对称性：与首末 两端 “等距离 ”的两个二项式系数相等 .二项式系数的性质在 展开式中 (1)求二项式系数的和 ;例 1.(2)各项系数的和 ;(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和 ;(4)奇数项的系数和与偶数项的系数和 ;10241512学生活动1、已知 (2
2、x+1)10=a0x10+ a1x9+ a2x8+a 9x+ a10,(1)求 a0+ a1+ a2+ +a 9+ a10的值(2)求 a0+ a2+ a4+ + a 10的值1结论 :3.( 1 x ) 13 的展开式中系数最小的项是 （ ）(A)第六项 (B)第七项 （ C） 第八项 (D)第九项C学生活动一、知识复习：二项式定理：主要研究了以下几个问题： 展开式及其应用； 通项公式及其应用； 二项式系数及其有关性质 .二、基础训练：3、在 (a b)20展开式中，与第五项的系数相同的项是 ( ).4、在 (a b)10展开式中，系数最大的项是 ( ).A 第 6项 B 第 7项 C 第
3、6项和第 7项 D 第 5项和第 7项A 第 15项 B 第 16项 C 第 17项 D 第 18项CA5、写出在（ a-b)7的展开式中， 系数最大 的项？系数最小 的项？系数最大系数最小三、例题讲解：例 1 在 的展开式中， 的系数是多少？ 求 展开式中含 的项 .解： 原式 =可知 的系数是 的第六项系数与 的第三项系数之和 .即： 原式 =其中含 的项为：例 2 已知 的展开式中只有第 10项系数最大，求第五项。 解：依题意， 为偶数，且变式： 若将 “只有第 10项 ”改为 “第 10项 ”呢？(答案略 )例 3 计算 (精确到 0.001)解：例 4 写出在（ a+2)10的展开式
4、中， 系数最大 的项？解：设系数最大的项是第 r + 1 项，则2(11-r) rr+1 2(10-r)则系数最大的项是第 8项例 5 求证： (n N，且 n2)证明：又 n2， 上式至少有三项，且 0 (n N，且 n2)例 6 已知 a,b N， m,n Z ， 且 2m + n = 0， 如果二项式 ( ax m + bx n )12 的展开式中系数最大的项恰好是常数项，求 a : b 的取值范围。 解：令 m (12 r )+ nr = 0，将 n = 2m 代入，解得 r = 4故 T5 为常数项，且系数最大。四、课堂练习：2、已知 的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大 99
5、2求展开式中二项式系数最大的项 . 3、（ 1+2x） n展开式中的二项式系数的和为 2048，求展开式中系数最大项 1、已知 (2x+ )100=a0+a1x+a2x2+a 100x100， 求下列各式的值： (1)(a0+a2+a 100)2 (a1+a3+a 99)2 ；(2)a0+a2+a 100 .五、课堂小结：本 节课 讨论了二项式定理的应用，包括组合数的计算及恒等式证明、近似计算与证明不等式、整除、二项式系数与系数最大问题等当然，二项式定理的运用不止这些，凡是涉及到乘方运算（指数是自然数或转化为自然数）都可能用到二项式定理，认真分析题目结构，类比、联想、转化是重要的找到解题途径的
6、思考方法解 ： （ 1） 中间项有两项：（ 2） T3， T7 ， T12 ， T13 的系数分别为：例三、已知二项式 ( a + b )15 （ 1） 求二项展开式中的中间项；（ 2）比较 T3， T7 ， T12 ， T13各项系数的大小，并说明理由。例四、已知 a,b N， m,n Z ， 且 2m + n = 0， 如果二项式 ( ax m + bx n )12 的展开式中系数最大的项恰好是常数项，求 a : b 的取值范围。 解：令 m (12 r )+ nr = 0，将 n = 2m 代入，解得 r = 4故 T5 为常数项，且系数最大。研究题： 求二项式 ( x + 2) 7 展
7、开式中系数最大的项，试归纳出求形如 ( ax + b) n 展开式中系数最大项的方法或步骤。解：设最大项为 ，则：即即则 展开式中最大项为六、作业布置：小结：（ 2） 数学思想：函数思想a 图象；b 单调性；c 最值。（ 3） 数学方法 ： 赋值法 、递推法（ 1）二项式系数的三个性质对称性增减性与最大值各二项式系数和例 1、求值：（ 1） 能被 1000整除例 2、求证：（ 2） 能被 7整除（ 3） 能被 整除例 3、计算： （精确到 0.001)例 4、已知：求：例 5、求例 6、求证：的展开式中 项的系数二项式定理（ 2）2、 (1)已知 的第 5项的二项式系数与第 3 项的二项式系数
8、比为 14： 3，求展开式中不含 x 的项。3、已知 的展开式中，第 5项的系数与第 3 项的系数比为 56： 3，求展开式中的常数项。1 、已知 展开式中第 2项大于它的相邻两项，求 x的范围。一、前置性补偿：计算并求值解 (1):将原式变形解 :(2)原式复习回顾: 二项式定理及展开式 :二项式系数通 项(a+b)1(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)21 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 1(a+b)6 1 6 15 20 15 6 1二 项 式 系 数 的 性 质展开式中的二项式系数，如下表所示： 1 11 2 1 1 3 3 1 1 4 6
9、 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 二项式系数的性质二项式系数的性质1 11 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 这样的二项式系数表，早在我国南宋数学家杨辉 1261 年所著的 详解九章算法 一书里就已经出现了，在这本书里，记载着类似下面的表：一 一 一一 二 一一 三 三 一一 四 六 四 一一 五 十 十 五 一一 六 十五 二十 十五 六 一杨辉 三角 表中除 “1”以外的每一个数都等于它肩上的两个数之和。1 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 11
10、6 15 20 15 6 1与首末两端 “等距离 ”的两个二项式系数相等性质 1：对称性性质 2：增减性与最大 值当 n是偶数时 ,中间的一项 取得最大值 ；先增后减当 n是奇数时，中间的两项 和 相等，且同时取得最大值。 AC课堂练习 :2、在 (a b)10展开式中，二项式系数最大的项是 ( ).A.第 6项 B.第 7项 C.第 6和第 7项 D.第 5和第 7项1、在 (a b)20展开式中，与第五项二项式系数相同的项是 ( ). A.第 15项 B.第 16项 C.第 17项 D.第 18项在 (a 2b)10展开式中，系数最大的项又是什么？1 11 2 11 3 3 11 4 6
11、4 11 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 1性质 3：各二项式系数的和也就是说 , (a+b)n的展开式中的各个二项式系数的和为 2n？2n赋值法性质 1:在二项展开式中，与首末两端等距离的任意两项的二项式系数相等 .性质 2：如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数最大；性质 3：性质 4： (a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数和 .例 2、在二项式 (x-1)11的展开式中 ,求二项式系数最大的项的系数。变式、在二项式 (x-1)11的展开式中 ,求系数最大的项。7、已知 的展开式
12、中只有第 10项系数最大，求第五项。 解：依题意， 为偶数，且变式 ：若将 “只有第 10项 ”改为 “第 10项 ”呢？求展开式中系数最大 (小 )的项解 :设 项是系数最大的项 ,则二项式系数最大的项为第 11项 ,即所以它们的比是例 4、在 的展开式中，系数 绝对值 最大的项 解：设系数绝对值最大的项是第 r+1项，则所以当 时，系数绝对值最大的项为解决系数最大问题，通常设第 项是系数最大的项，则有由此确定 r的取值例题点评-20483 在 的展开式中，求 ：（ 1） 二项式系数最大的项；（ 2） 系数绝对值最大的项；（ 3） 系数最大的项4.设 二项式展开式的各项系数的和为 P；二项式
13、系数的和为 S，且 P+S=272， 则展开式的常数项为 _1081、求（ 0.998） 5 精确到 0.001的近似值解：1、 11100 1的末尾连续出现 0的个数是 -。解：所以末尾出现 0的个数为 3个展开式中 的系数是 _2 被 22除所得的余数为 。 1353 已知 展开式中的 系数是 56，则实数 的值是 _ 或4.设 二项式展开式的各项系数的和为 P；二项式系数的和为 S，且 P+S=272， 则展开式的常数项为 _1081.5 二 项 式 定 理(a+b)2 = a2 +2ab+b2 (a+b)3=a3 + 3a2b+3ab2 + b3那么将 (a+b)4 ， (a+b)5
14、. . .展开后，它们的各项是什么呢？引入(a+b)2 (a+b) (a+b) 展开后其项的形式为： a2 ， ab ， b2 考虑 b恰有 1个取 b的情况有 C21种，则 ab前的系数为 C21恰有 2个取 b的情况有 C22 种，则 b2前的系数为 C22每个都不取 b的情况有 1种，即 C20 ,则 a2前的系数为 C20(a+b)2 = a2 +2ab+b2 C20 a2 + C21 ab+ C22 b2(a+b)3=a3 + 3a2b+3ab2 + b3= C30a3 +C31a2b+C32ab2 +C33 b3对 (a+b)2展开式的分析(a+b)4 (a+b) (a+b) (a
15、+b) (a+b)？问题：1) (a+b)4展开后各项形式分别是什么？2)各项前的系数代表着什么？3)你能分析说明各项前的系数吗？a4 a3b a2b2 ab3 b4各项前的系数 就是在 4个括号中选 几 个取 b的方法种数每个都不取 b的情况有 1种，即 C40 ,则 a4前的系数为 C40恰有 1个取 b的情况有 C41种，则 a3b前的系数为 C41恰有 2个取 b的情况有 C42 种，则 a2b2前的系数为 C42恰有 3个取 b的情况有 C43 种，则 ab3前的系数为 C43恰有 4个取 b的情况有 C44种，则 b4前的系数为 C44则 (a+b)4 C40 a4 C41 a3b
16、 C42 a2b2 C43 ab3 C44 b43)你能分析说明各项前的系数吗？a4 a3b a2b2 ab3 b4二项展开式定理右边的多项式叫做 (a+b)n的 二项展开式注 1）二项展开式共有 n+1项2）各项中 a的指数从 n起依次减小 1，到 0为此各项中 b的指数从 0起依次增加 1，到 n为此Cnr an-rbr：二 项展开式的 通项 ，记作 Tr+1Cnr ： 二项式系数一般地，对于 n N*有如 (1+x)n =1+ Cn1 x+ Cn2 x2 Cnr xr + xn应 用解 :应 用解 :第三项的二项式系数为第六项的系数为注： 1）注意对二项式定理的灵活应用3）求二项式系数或
17、项的系数的一种方法是将二项式展开2）注意区别 二项式系数 与 项的系数 的概念二项式系数 为 ；项的系数 为： 二项式系数与数字系数的积例 3、求（ x+a)12的展开式中的倒数第 4项解 :解 : 第四项系数为 280.练习：1、求 的展开式常数项 解 :练习：2、求 的展开式的中间两项 解 : 展开式共有 10项 ,中间两项是第 5、 6项。小 结2）区别二项式系数，项的系数3）掌握用通项公式求二项式系数，项的系数及项1）注意二项式定理 中二项展开式的特征11.5 二项式定理课题 1.5 二项式定理 解决二项展开式有关的简单问题 第二课时教学目标知识与技能：进一步掌握二项式定理和二项展开式
18、的通项公式过程与方法：能解决二项展开式有关的简单问题情感、态度与价值观：教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性 问题的解决方法。教学重点教学难点二项式定理和二项展开式的通项公式。解决二项展开式有关的简单问题。教具准备：与教材内容相关的资料。教学设想：教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。教学过程：学生探究过程：一复习： (a+b) n= （n ）,这个公式N表示 的定理叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做 (a+b) n的 ，其中（r=0,1,2,n）叫做 ， 叫做二项展
19、开rnC式的通项，通项是指展开式的第 项，展开式共有 个项.二例题例 1 选择题（1） 的展开式中，第五项是（ ）62)xa(A. B. C. D.532ax20x15（2） 的展开式中，不含 a 的项是第（ ）项153)a(A.7 B.8 C.9 D.6（3） （x-2） 9的展开式中，第 6 项的二项式系数是（ ）A.4032 B.-4032 C.126 D.-126（4）若 的展开式中的第三项系数等于 6，则 n 等于（ ）n)1x(A.4 B.4 或-3 C.12 D.3（5）多项式(1-2x) 5(2+x)含 x3项的系数是 （ ）A.120 B.-120 C.100 D.-100例
20、 2.求(x-1)-(x-1) 2+(x-1)3-(x-1)4+(x-1)5的展开式中 x2的系数.3例 3.求二项式 的展开式中的有理项.73)21(例 4.二项式 的展开式中第三项系数比第二项系数大 44，求第 4 项 的系数.n4)x1(巩固练习：1. 展开式中第 9 项是常数项，则 n 的值是 （ ）n)2x3(A.13 B.12 C.11 D.102. 的展开式中的整数项是（ ）2475)(A.第 12 项 B. 第 13 项 C. 第 14 项 D. 第 15 项3. 在(x 2+3x+2)5的展开式中，x 的系 数为（ ）A.160 B.240 C.360 D.8004.(1-x
21、)5(1+x+x2)4的展开式中，含 x7项的系数是 .5. 展开式的常数项是 .3|x1|(课外作业：第 36 页 习题 1.5 4， 5，6教学反思：二项式定理是指 rnrnnn babaabCC)( 21这样一个展开式的公式.它是( a+b)2=a2+2ab+b2，( a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3等等nbC展开式的一般形式，在初等数学中它各章节的联系似乎不太多，而在高等数学中它是许多重要公式的共同基础，根据二项式定理的展开，才求得 y=xn的导数公式 y= nxn1 ，同时 =e2.718281也正是由二项式定理的展开规律所确定，而 e 在高等nn)1(lim数学 中的地位
22、更是举足轻重，概率中的正态分布，复变函数中的欧拉公式ei =cos +isin ，微分方程中二阶变系数方程及高阶常系数方程的解由 e 的指数形式来表达.且直接由 e 的定义建立的 y=lnx 的导数公式 y= 与积分公式 =dxlnx+c 是分x11析学中用的最多的公式之一.而由 y=xn的各阶导数为基础建立的泰勒公式； f(x)=f(x0)+ (x x0)2+ (x x0)!10f!0fn1n+ ( (0，1)以及由此建立的幂级数理论，更1000)1( )(!nxxf是广泛深入到高等数学的各个分支中.怎样使二项式定理的教学生动有趣正因为二项式定理在初等数学中与其他内容联系 较少，所以教材上教
23、法就显得呆板，单调，课本上先给出一个( a+b)4用组合知识来求展开式的系数的例子.然后推广到一般形式，再用数学归纳法证明，因为证明写得很长，上课时的板书几乎占了整个黑板，所以课必然上得累赘，学生必然感到被动.那么多的 算式学生看都不及细看，记也感到吃力 ，又怎能发挥主体作用？怎样才能使得在这节课上学生获得主动？采用课前预习；自学辅导；还是学生讨论，或读，议、讲，练，或目标教学，还是设置发现情境？看来这些办法遇到真正困难时都会无能为力，因为这些方法都无法改变算式的冗长，证法的呆板，课堂上的新情境与学生的认知结构中的图式不协调的事实.而 MM 教育方式即数学方法论的教育方式却能根据习题理论注意到
24、充分利用数学方法与数学技术把所要证明或计算的形式变换得十分简洁 ，心理学家皮亚杰一再强调“认识起因于主各体之间的相互作用” 1 只有 客体的形式与学生主体认知结构中的图式取得某种一致的时候，才能完成认识的主动建构，也就是学生获得真正的理解.MM 教育方式 遵循“兴趣与能力的同步发展规律”和“教，学，研互相促进的规律” 2在教学中追求简易，重视直观，并巧妙地在应用抽象使问题变得十分有趣，学生学得生动主动，充分发挥其课堂上的主体作用.11.5 二项式定理课题 1.5 二项式定理 二项式定理和二项展开式 第一课时教学目标知识与技能：掌握二项式定理和二项展开式的通项公式，并能用它们解决与二项展开式有关
25、的简单问题。过程与方法：培养归纳猜想，抽象概括，演绎证明等理性思维能力。情感、态度与价值观：教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。教学重点教学难点二项式定理和二项展开式的通项 公式.培养归纳猜想，抽象概括，演绎证明等理性思维能力.教具准备：与教材内容相关的资料。教学设想：教学过程中，要让学生充分体验到归纳推 理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。教学过程：学生探究过程： 问题情境1. 在 n=1,2,3,4 时，研究(a+b) n的展开式.(a+b)1= ,(a+b)2= ,(a+b)3=
26、,(a+b)4= .猜想(a+b) ？学生活动（a+ b） 3展开式中的每一项都是从（a+b） （a+b） （a+b）的每个括号里各取一个字母的乘积。一般地，由(a+b) =（a+b） （a+b） （a+b）（a+b）可知，其展开式是从每个括号里各取一个字母的一切可能乘积的和。可见， （a+b） 3的展开式中项都具有 an-rbr（r=0，1，2n）的形式，其系数就是在（a+b） （a+b）（a+b）的 n 个括号中选 r 个取 b 的方法种数。具体地，构建数学(a+b) = 这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做 (a+b) 的 ，其中 （r=0,1,2,n）叫做 ， 叫做r
27、nC二项展开式的通项，它是展开式的第 项，展开式共有 个项.数学应用例 1 用二项式定理展开：（ 1） ； （2）93)ba(7)x2(例 2 求（1+2x） 7的展开式中第 4 项的二项式系数和系数nrnnnn bCaaCba 2102例 3 求（x- 的二项展开式中的常数项。x)21巩固练习：1.求（2a+3b）6 的展开式的第 3 项. 2.求（3b+2a）6 的展开式的第 3 项.3.写出的 展开式的第 r+1 项.4.用二项式定理展开：课外作业：第 36 页 习题 1.5 1， 2，3教学反思：(a+b) = 这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做 (a+b) 的 ，其中 （r=0,1,2,n）叫做 ， 叫做rnC二项展开式的通项，它是展开式的第 项，展开式共有 个项.掌握二项式定理和二项展开式的通项公式，并能用它们解决与二项展开式有关的简单问题。培养归纳猜想，抽象概括，演绎证明等理性思维能力。教材的探求过程将归纳推理与演绎推理有机结合起来，是培养学生数学探究能力的极好载体，教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不 仅可以猜想到一般性的结果，而且 可以启发我们发现一般性问题的解决方法。nx)21(393.()ab72.()x
