1、1【优化方案】2017 高中数学 第三章 三角恒等变换 3.2 简单的三角恒等变换应用案巩固提升 新人教 A 版必修 4A 基础达标1已知 2sin 1cos ，则 tan ( ) 2A. B 或不存在12 12C2 D2 或不存在解析：选 B 由 2sin 1cos ，即 4sin cos 2cos 2 ， 2 2 2当 cos 0 时，则 tan 不存在； 2 2当 cos 0 时，则 tan . 2 2 122已知 cos (180 90)，则 cos ( )14 2A B64 64C D38 38解析：选 B 因为180 90，所以90 45.又 cos ， 2 14所以 cos ，故
2、选 B 2 1 cos 2 1 142 643若 ，则 等于( )74， 2 1 cos 22 1 cos 22Acos sin Bcos sin Ccos sin Dcos sin 解析：选 B 因为 ，74， 2 所以 sin 0，cos 0，则 1 cos 22 1 cos 22 cos2 sin2|cos |sin |cos (sin )cos sin .4若 ，sin 2 ，则 sin ( ) 4， 2 3782A. B35 45C. D.74 34解析：选 D.因为 ，所以 2 ， 4， 2 2， 所以 cos 2 0，所以 cos 2 1 sin22 .1 (378)2 18又
3、cos 2 12sin 2 ，所以 sin2 ，1 cos 22 1 ( 18)2 916所以 sin .345化简 2sin 2 得( )(sin 2 cos 2)2 ( 4 2)A2sin B2 sin2 ( 4)C2 D2 sin2 ( 4)解析：选 C.原式12sin cos 1cos 2sin cos 2 2 2( 4 2)2 sin sin 2.( 2 )6已知 sin cos ，则 cos 2 _ 2 2 63解析：因为 sin cos ， 2 2 63所以 1sin ，即 sin ，23 13所以 cos 2 12sin 2 1 .29 79答案：797若 3sin x cos
4、 x2 sin(x )， (，)，则 _3 3解析：因为 3sin x cos x32 2 sin ，3(32sin x 12cos x) 3 (x 6)3因为 (，)，所以 . 6答案： 68已知 sin 2 ，02 ，则 _35 22cos2 2 sin 12sin( 4)解析：2cos2 2 sin 12sin( 4)(2cos2 2 1) sin 2(sin cos 4 cos sin 4) .cos sin sin cos 1 sin cos sin cos 1 1 tan tan 1因为 sin 2 ，02 ，35 2所以 cos 2 ，所以 tan ，45 sin 21 cos
5、2351 45 13所以 ，1 tan tan 11 1313 1 12即 .2cos2 2 sin 12sin( 4) 12答案：129已知 2sin sin cos ，2sin 2 sin 2 ，( 4 )求 证：sin 2 cos 2 0.12证明：由 2sin sin cos ，( 4 )得 cos sin sin cos ，2 2两边平方得，2 (1sin 2 )1 sin 2 ，4又 2sin2 sin 2 ，由两式消去 sin 2 ，得 2(1sin 2 )12sin 2 ，即 2sin 2 cos 2 0，所以 sin 2 cos 2 0.1210(2015高考广东卷)已知 t
6、an 2.(1)求 tan 的值；( 4)(2)求 的值sin 2sin2 sin cos cos 2 1解：(1)tan 3.( 4)tan tan 41 tan tan 4 2 11 21(2)sin 2sin2 sin cos cos 2 12sin cos sin2 sin cos 2cos2 1.2tan tan2 tan 2 224 2 2B 能力提升1已知 cos cos ， ，则 sin cos 的值是( )( 4 ) ( 4 ) 34 (34， )A B62 62C D22 22解析：选 C.cos cos( 4 ) ( 4 )sin cos sin( 4 ) ( 4 ) 1
7、2 ( 2 2 ) cos 2 .12 34所以 cos 2 .32因为 ，所以 2 ，(34， ) (32， 2 )所以 sin 2 ，且 sin cos 0.12所以(sin cos )21sin 2 1 .12 12所以 sin cos .2252已知 A B ，那么 cos2Acos 2B 的最大值是_，最小值是_23解析：因为 A B ，所以 cos2Acos 2B23 (1cos 2 A1cos 2 B)121 (c os 2Acos 2 B)121cos( A B)cos(A B)1cos cos(A B)231 cos(A B)，12所以当 cos(A B)1 时，原式取得最大
8、值 ；32当 cos(A B)1 时，原式取得最小值 .12答案： 32 123已知 ，化简：32 .1 sin 1 cos 1 cos 1 sin 1 cos 1 cos 解：原式 (sin 2 cos 2)2 2|cos 2| 2|sin 2|，(sin 2 cos 2)2 2|cos 2| 2|sin 2|因为 ，所以 .32 2 2 34所以 cos 0，sin 0. 2 2所以原式 (sin 2 cos 2)2 2(sin 2 cos 2)(sin 2 cos 2)2 2(sin 2 cos 2) cos .sin 2 cos 22sin 2 cos 22 2 264(选做题)如图所
9、示，已知 OPQ 是半径为 1，圆心角为 的扇形，四边形 ABCD是扇 3形的内接矩形， B， C 两点在圆弧上， OE 是 POQ 的平分线， E 在 上，连接 OC，记PQ COE ，则角 为何值时矩形 ABCD 的面积最大？并求最大面积解：如图所示，设 OE 交 AD 于 M，交 BC 于 N，显然矩形 ABCD 关于 OE 对称 ，而 M， N均为 AD， BC 的中点，在 Rt ONC 中， CNsin ， ONcos ， OM DM CN sin ， DMtan 6 3 3 3所以 MN ON OMcos sin ，3即 ABcos sin ，而 BC2 CN2sin ，3故 S 矩形 ABCD ABBC 2sin (cos 3sin )2sin cos 2 sin2 3sin 2 (1cos 2 )3sin 2 cos 2 3 32 (12sin 2 32cos 2 ) 32sin .(2 3) 3因为 0 ，所以 02 ， 2 . 6 3 3 3 23故当 2 ，即 时， S 矩形 ABCD取得最大值， 3 2 12此时 S 矩形 ABCD2 .3
