1、知 识 点一 解 绝对值 不等式1.|ax b| c， |ax b| c(c0)型不等式的解法2.|x a| |x b| c(c0)， |x a| |x b| c(c0)型不等式的 解法可通 过 零点分区 间 法或利用 绝对值 的几何意 义进 行求解 .(1)零点分区 间 法的一般步 骤 令每个 绝对值 符号的代数式 为 零，并求出相 应 的根； 将 这 些根按从小到大排列，把 实 数集分 为 若干个区 间 ； 由所分区 间 去掉 绝对值 符号得若干个不等式，解 这 些不等式，求出解集；取各个不等式解集的并集就是原不等式的解集 .(2)利用 绝对值 的几何意 义由于 |x a| |x b|与
2、|x a| |x b|分 别 表示数 轴 上与 x对应的点到 a， b对应 的点的距离之和与距离之差，因此 对 形如 |x a| |x b|0)或 |x a| |x b|c(c0)的不等式，利用绝对值 的几何意 义 求解更直 观 .3.|f(x)|g(x)， |f(x)|0)型不等式的解法(1)|f(x)|g(x) f(x)g(x)或 f(x) b0时 ， 等号成立 . |a| |b| |a b| |a| |b|， 当且 仅 当 |a| |b|且 ab 0时 ，左 边 等号成立 ， 当且 仅 当 ab 0时 ， 右 边 等号成立 .已知 |ab| c(a、 b、 c R)， 给 出下列不等式：
3、 a b c； a b c； a b c； |a| |b| c； |a| |b| c.其中一定成立的不等式是 _(把所有成立的不等式的序号都填上 ).解析 |a b| c， c a b c. b c a b c.故 成立 ， 不成立 . |a b| c， |a b| |a| |b|， |a| |b| c. |a| |b| c.故 成立 ， 不成立 .答案 一个方法：利用柯西不等式求最 值 .(3)注意 检验 等号成立的条件 ， 特 别 是多次使用均 值 不等式时 ， 必 须 使等号同 时 成立 若 a， b， c (0， )，且 a bc 1， 则 的最大 值为 _.含 绝对值 不等式的性 质
4、 与解法突破方略(1)基本性 质 法： 对 a R ， |x|a xa.(2)平方法：两 边 平方去掉 绝对值 符号 .(3)零点分区 间 法：含有两个或两个以上 绝对值 符号的不等式，可用零点分区 间 法脱去 绝对值 符号，将其 转化 为 与之等价的不含 绝对值 符号的不等式 (组 )求解 .(4)几何法：利用 绝对值 的几何意 义 ，画出数 轴 ，将 绝对值转 化 为 数 轴 上两点的距离求解 .(5)数形 结 合法：在直角坐 标 系中作出不等式两 边 所 对应 的两个函数的 图 象，利用函数 图 象求解 .【例 1】 不等式 |2x 1| 2|x 1|0的解集 为 _.解题指导 点 评
5、解决本 题 的关 键 是去 绝对值 号 ， 转 化 为 一元一次不等式求解 .证 明不等式的常用方法： (1)比 较 法； (2)综 合法； (3)分析法； (4)反 证 法和放 缩 法； (5)数学 归纳 法 .不等式的 证 明与 应 用求解策略点 评 如果已知条件与待 证结论 直接 联 系不明 显 ， 可考 虑用分析法；如果待 证 命 题 是否定性命 题 、唯一性命 题 或以 “至少 ”“ 至多 ” 等方式 给 出的 ， 则 考 虑 用反 证 法；如果待 证不等式与自然数有关 ， 则 考 虑 用数学 归纳 法等 .在必要的情况下 ， 可能 还 需要使用 换 元法、构造法等技巧 简 化 对问
6、题 的表述和 证 明 .与绝对值不等式相关的最值问题求解策略【例 3】 (2016贵 州 4月模 拟 )已知函数 f(x) |2x 1| |2x3|. (1)求不等式 f(x) 6的解集；(2)若关于 x的不等式 f(x) |a 1|的解集非空，求 实 数 a的取值 范 围 .点 评 研究含有 绝对值 的函数 问题时 ， 根据 绝对值 的定 义， 分 类讨论 去掉 绝对值 符号 ， 转 化 为 分段函数 ， 然后利用数形 结 合解决 ， 是常用的思想方法 .解含 绝对值 的不等式的基本思路可概括 为 十二字口 诀 “ 找零点 ， 分区 间 ， 逐个解 ， 并起来 ” .【示例】 (2015陕 西西安二模 )已知函数 f(x) |x 2|， g(x) |x 3| m.(1)解关于 x的不等式 f(x) a 1 0(a R)；(2)若函数 f(x)的 图 象恒在函数 g(x)的 图 象的上方，求 m的取 值 范 围 .
