1、对一道应用题多种解法的再思考+S2+S3+S4+S5=_.分析设 OA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5:.,易得 P(.,),P(2.,),P3(3.,),P4(4n,),00j0P(5.,未)贝 lJs+Js+s,+5+.s=.(+212,137+).5 三角形顶点落在抛物线上f/B2【)07,IA|A0)/BA0图 12 图 13fi9(2009 年甘肃兰州 )二次函数 y=了 2 的图像如图 12 所示,点 A.位于坐标原点,A.,A,A,A 在 Y轴的正半轴上,B.,B:, ,B 枷在二次函数 Y=第一象限的图像上,若A.,A.A:,A,AA 都为等边三角形,请计算A.B.A
2、 的边长=;Al2A2 的边长=; A20o7 曰 2008A2008 的边长= .分析(1)分别过点 B.,B.,B,B2.作曰.日.,B,B2.00 垂直于 Y 轴(如图 13),A.曰.A,A 曰 A:,AA,A 曰:A2o0.都为等边三角形,设A.B.A 的边长为.,易得口.H.:.,A.日:.,则,(譬.,1n),代人 :争得.= (譬.2 一n=0,解得 n.=0(舍去),n:=1,所以.A.的边长为1.设ABA2 的边长为 6,易得口:=6,A0=1+16贝 IJBl(6,1+6),代入 y=争得 1+16=(6).,b.一 62=0,解得 6:一 1(舍去),6=2,所以AB:
3、A 的边长为 2.同样的方法可以求得A:A,的边长为 3,A:曰:0.Az 岫 8 的边长为 2008.对一道应用题多种解法的再思考南京市六合区马鞍镇初级中学 211526 卞少云北师大版七年级数学教材上册第 192 页问题解决中的第 2 题是这样的:一个自行车队进行训练,训练时所有队员都以 35 千米/时的速度前进.突然,1 号队员以 45 千米/时的速度独自行进,行进 l0 千米后掉转车头,仍以 45 千米/时的速度往回骑,直到与其他队员会合.1 号队员从离队开始到与队员重新会合,经过了多少时间?这道习题安排在第五章“能追上小明吗 “这一节之中,由于深入研究这道习题不仅可以培养学生的个别思
4、维与整体思维的能力,而且还可以通过六种不同的解法培养学生解题的灵活性与思维的广阔性,所以我在教这节内容时把此题放在课堂巩固练习之中,力求用好用足这一难得的教材资源.1 号队员自行车队图 1先引导学生画好线段图:如图 1 所示,假设 1 号队员在点 A 开始离开队伍,当 1 号队员行进 l0 千米到达点D 时,车队行至点 B,1 号队员掉转车头后与车队重新相遇于点 c.文中作者给出了两种思维及六种解法,在此,我想从根源上再对多种解法的产生由来作一探讨,并谈谈自己的一些思考.(用 t 表示时间,用 S 表示路程,用表示速度)1 解法分析1.1 等量关系分析分解为为两次运动整合为一次运动.:10AB
5、AOttj 一 ) 【=DcJSD=SA 口+Sc 口+SDc=101.2 设未知数,列方程1.2.1 由变形Sc+Sdc=20r 一 Dc=一 Bc【sI 口 lc+S 一 c:20方法 1(原文解法 1)如图 1 所示,设 t 一.一=, 则一Dc=一日一 c:,利用公式 5:算出 SA 一口一 c=45x,5ABc=35x,从而代人列得方程 45x+35x=20.方法 2 如图 1 所不,设 Sa 一.一 c:,则 SaBc=20 一,利用公式|s=算出 tA-D-C=砉,一.= 妄,从而代人.一=tA-B-C 列得方程砉=.1.2.2 由变形:tAD:10石i5tCB.=:tsDC+S
6、cB+s.:.蓦方法 3(原文解法 2)如图 2 所示,设 t.=,由得tDc=tc8=,利用公式 S=vt 算出 SDc=45x,ScB=35x.由求得 S口=1035x 一 45x=1080x.再算出 tAB=亏,=10, 从而代人 列得方程亏=.图 2方法 4(原文解法 3)如图 2 所示,设 t=,由得tDc=tCB=,利用公式 S=vt 算出 SDc:45x,S=35x.由求得 SA=1035x 一 45x:1080x.再算出 tB=,=10,从而代人列得方程.亏=.方法 5(原文解法 4)如图 3 所示,设=, 由得Dc者,利用公式 s=们算出 Js=35 者?由求得 s=10 一
7、一:10 一.再算出=16,:代入列得方程16:1 号队员自行车队图 3方法 6(原文解法 5)如图 4 所示,设 5.=,由得=嘉,利用公式 s=算出 s.=45砉.-争.由求得.s=10 一9=10 一.再算出=10 一_16,3510 一_=16,35,f.=石 10,从而代入=z 仰=10 列得方程l0451 号队员自行车队图 4方法 7(原文解法 6)如图 5 所示,设 t.=,由得tDc=tCB=,利用公式 S=Vt 算出 SDc=45x,:35x.由=tAD=10 再算出 s=3510=70,从而代人列得方程+35+45=10.)方法 8 如图 6 所示,设 Sc=,利用公式 S
8、=vt 算出=砉.由=石 10 算出=35 石 10=,由20求得 Js=10 一 70 一=20 一得出=, 从而20-代入列得方程wx=砉图 61.2.3 由变形rtAmc=tcfc 日=tDc LsA-,J_c+SAc=20方法 9 如图 7 所示,设 tDc:,则 tDc=tCB=,利用公式.s=算 sd 一.一 c:45+10,SAc=35+3510=35x+,从而代入列得方程 45+10+35+=20.1 号队员自行车队图 7411.2.4 由变形ftc=tctsAD:SAB+Sc+SDc:10方法 10 如图 8 所示,设 S.=,利用公式 S=vt 算出tA-D-C=岫ss =
9、10 一算=,从而代入列得方程=.1 号队员自行车队f10-x)Km图 82 思考2.1 通过解后反思加深对数量关系的理解在应用性问题的求解过程中,等量关系的分析是顺利进行方程建模的关键,而各种不同的解法形式,实质上只是等量关系的不同变形而已,这提醒我们在日常的教学中,要注重引导学生对数量的内在关系进行深入的揣摩和理解,通过一题多解的发散或多题一法的归纳进行解后反思,提高学生对数学问题的内涵认识,不再迷惑于表面的解法所表现出来的差异性,从而从质的层面提升学生的思维能力,使思维的灵活性成为可能.2.2 正确处理好设,求,列的逻辑关系当题中的等量关系比较多的时候,很多学生会感觉到思维有些混乱,不知
10、该如何下手,有的老师主张“怎么问就怎么设,这样可以比较直接,避免绕弯路“,象这些形式化的方法,对学生的问题解答有一些作用,但很难从根本上解决问题.实际上,我们在设未知数的时候也需要依据某一个等量关系,根据要求设一个未知数或两个甚至三个未知数,这样,在设,求,列时把所用的等量关系分清,就不会出现循环往复的错误情况.现以方法 8 为例说明如下:设,求未知数的等量关系求出其余未知数SAB+Sc+SDc=1010.石设 s=,算出 s=3510=70s=10 一 70 一=一2.3 深入理解之后的择优化强化当我们引导学生对这一问题或这一类问题有了较深入的理解和掌握之后,学生的思维的发散性,广阔性和灵活
11、性都得到了有效的训练,这时就应当考虑思维的简洁性问题,因为,一昧的贪多求全而没有重点,往往会导致走马观花,事实上却没有一种能真正说清楚,这是很不可取的.通过比较,我们很容易得出,由变形.tA=tA-B-C LSAc+S 一c:20所产生的方法 1,方法 2,以及由由变形:tad:一10tABAD45t 曲=tDcSD=SAB+Sc 日+SDc=10先算出 S=35=百/u 所得到的方法 7,方法8 都是比较简单的解法.一方面我们要引导学生体会这些方法的简洁性,另一方面,我们也很有必要思考,“为什么我想不到这样的方法“,在反思中将思维向纵深发展.方法 1,方法 2 产生的心理背景是源于对问题的整
12、42列方程组的等量关系tc8=tD(20 一体把握,这对学生的思维能力有一定的要求,即使学生目前不一定达到这样的思维水平,也可以让其在不断挑战自我中提升.方法 7,方法 8 产生的心理背景是对问题的直接感知和将问题转化为基本的相遇问题,从而比较容易理解并能简单求解,这其实也正是大多数学生力所能及的,更接近于学生的现实水平.这种方法就是我们要着重训练和强化的.应用题教学是一个难点,如何让学生的能力通过应用题的学习切实得以提高,是值得广大教师思考的,仅仅提供多样的解法还远不能让学生的思维得到有效训练,围绕解法的原理和学生已有的认知基础进行教学才能更加深入和有效.参考文献1韩永华,陆永红 .一道教材习题的两种思维及六种解法J. 中学数学杂志,2008,(2):21_22.作者简介卞少云,男,1972 年 12 月生,中学数学一级教师,南京市六合区数学学科教学带头人.主要研究初中数学教育教学,中考数学教学.发表论文 lO 余篇.
