1、1高考大题标准练(一)满分 60 分,实战模拟,60 分钟拿到高考主观题高分!1.已知数列b n的前 n 项和 Bn= .322(1)求数列b n的通项公式.(2)设数列a n的通项 an=bn+(-1)n2n,求数列a n的前 n 项和 Tn.【解析】(1)当 n1 时,b n=Bn-Bn-1= - =3n-2,322 3(1)2(1)2当 n=1,得 b1=1,所以 bn=3n-2(nN *).(2)由题意知 an=bn+(-1)n2n=bn2n+(-1)n2n,记b n2n的前 n 项和为 Sn,(-1)n2n的前 n 项和为 Hn,因为 bn2n=(3n-2)2n,所以 Sn=(31-
2、2)2+(32-2)22+(3n-2)2n,2Sn=(31-2)22+(32-2)23+3(n-1)-22n+(3n-2)2n+1,两式相减得-S n=2+3(22+23+2n)-(3n-2)2n+1=-10+(5-3n)2n+1,所以 Sn=10+(3n-5)2n+1,又 Hn=- + (-2)n,2323所以 Tn=Sn+Hn=10+(3n-5)2n+1+ (-2)n- = +(3n-5)2n+1+ (-2)n.23 23283 232.微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件，它支持发送语音短信、视频、图片和文字，一经推出便风靡全国，甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人(被称为微商).
3、为了调查每天微信用户使用微信的时间，某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、女性用户各 50 名，其中每天玩微信超过 6 小时的用户列为“微信控” ，否则称其为“非微信控” ，调查结果如下：微信控 非微信控 合计男性 26 24 50女性 30 20 502合计 56 44 100(1)根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过 0.4 的前提下(有 60%的把握)认为“微信控”与“性别”有关？(2)现从调查的女性用户中按分层抽样的方法选出 5 人赠送营养面膜 1 份，求所抽取 5 人中“微信控”和“非微信控”的人数.(3)从(2)中抽取的 5 人中再随机抽取 3 人赠送 200 元的护肤品套装，
4、记这 3 人中“微信控”的人数为 X，试求 X 的分布列与数学期望.参考公式：K 2(X2)= ，其中 n=a+b+c+d.n()2(+)(+)(+)(+)参考数据：P(K2k 0) 0.50 0.40 0.25 0.05 0.025 0.010k0 0.455 0.708 1.323 3.841 5.024 6.635【解析】(1)由列联表可得：= 0.6493n()2(+)(+)(+)(+)100(26203024)2505056445b0)经过点 M(- , ),且离心率等于 .2222 2 3 22(1)求椭圆的方程.(2)若直线 l:y=x+m 与椭圆交于 A,B 两点,与圆 x2+
5、y2=2 交于 C,D 两点.当 =2 时,求直线 l 的方程;若 = ,试求 的取值范围.|【解析】(1)由已知可得(- 2)22 +( 3)22 =1,22=2,= 22, 解得 a2=8,2=4,所以椭圆方程为 + =1.x28y24(2)由于 =2,圆心(0,0)到直线 l:y=x+m 的距离 d= =1,|C| ( 2)21于是 =1 即 = ,m= 或- ,|m|2 |m| 2 2 2所以直线的方程为 y=x+ 或 y=x- .2 2y=x+m 代入 + =1 整理得 3x2+4mx+2m2-8=0,x28y245设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=- ,x1x
6、2= .43 2283= = .|A| 2(1+2)242141223又圆心(0,0)到直线 l 的距离 d= ,|m|2于是 =2|C|( 2)2(|2)2= .822因此 = =|A|41223822= ,223 1 824又因为直线与椭圆、圆都相交,所以(4)212(228) 0,|20，g = 0，g(x)在区间(0，x 0)上单调递增；当 x(x 0，+)时，g(x)0，g(x)在区间(x 0，+)上单调递减，因此在区间0，+)上，g(x)max=g(x0)=sinx0-a +2a-e，x20因为 cosx0-2ax0=0，所以 x0= cosx0，将其代入上式得 g(x)max=s
7、inx0- cos2x0+2a-e=12 14sin2x0+sinx0- +2a-e，14 14令 t=sinx0，x 0 ，则 t ，即有 p(t)=(0,4) (0, 22)t2+t- +2a-e，t ，因为 p(t)的对称轴 t=-2a0，14 14 (0, 22)7所以函数 p(t)在区间 上是增函数，且 a1，(0, 22) 12所以 p(t)p = - +2a-e + -e0，(22) 22 18 22158即任意 x0，+)，g(x)0，所以 f(x)=exg(x)0，因此对任意 x0，+)，f(x)0.1高考大题标准练(三)满分 60 分,实战模拟,60 分钟拿到高考主观题高分
8、!1.数列 的前 n 项和 Sn满足 Sn=2an-a1,且 a1,a2+1,a3成等差数列.(1)求数列 的通项公式.(2)设 bn= ,求数列 的前 n 项和 Tn.+1+1 【解析】(1)由 Sn=2an-a1,当 n2 时,S n-1=2an-1-a1,所以 an=2an-2an-1,化为 an=2an-1.由 a1,a2+1,a3成等差数列.所以 2(a2+1)=a1+a3,所以 2(2a1+1)=a1+4a1,解得 a1=2.所以数列 是以 2 为首项,公比为 2 的等比数列.所以 an=22n-1=2n.a(2)an+1=2n+1,Sn= =2n+1-2,Sn+1=2n+2-2.
9、2(12)12bn= =a+1+1 2+1(2+12)(2+22)= .12( 121 12+11)所以数列 的前 n 项和bTn= + + =12( 121 1221)( 1221 1231) ( 121 12+11).12(1 12+11)2.在四棱锥 P-ABCD 中，侧面 PCD底面 ABCD，PDCD，E 为 PC 中点，底面 ABCD 是直角梯形，ABCD，ADC=90，AB=AD=PD=1，CD=2.(1)求证：BC平面 PBD.2(2)在线段 PC 上是否存在一点 Q，使得二面角 Q-BD-P 为 45？若存在，求 的值；若不P存在，请说明理由.【解析】(1)平面 PCD底面
10、ABCD，PDCD，平面 PCD平面 ABCD=CD，所以 PD平面ABCD，所以 PDAD.如图，以 D 为原点建立空间直角坐标系.则 A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，2，0)，P(0，0，1).=(1，1，0)， =(-1，1，0)，D B所以 =0，BCDB，B D又由 PD平面 ABCD，可得 PDBC，因为 PDBD=D，所以 BC平面 PBD.(2)平面 PBD 的法向量为 =(-1，1，0)， =(0，2，-1)，B P设 = ， (0，1)，所以 Q(0，2，1-)，P P设平面 QBD 的法向量为 n=(a，b，c)， =(1，1，0)， =(0，2，1-)，D
11、D3由 n =0，n =0，得 令 b=1，D D a+=0,2+(1)=0,所以 n=(-1，1， )，21所以 cos45= = = ，注意到 (0，1)，得222+(21)2 22= -1.2所以在线段 PC 上存在一点 Q，使得二面角 Q-BD-P 为 45，此时 = -1.P23.根据国家环境空气质量标准规定：居民区中的 PM2.5(PM2.5 是指大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物，也称可入肺颗粒物)年平均浓度不得超过 35 微克/立方米，PM2.5的 24 小时平均浓度不得超过 75 微克/立方米.某城市环保部门随机抽取了一居民区去年 40天的 PM2.5 的 24 小时
12、平均浓度的监测数据，数据统计如下：组别PM2.5(微克/立方米)频数(天) 频率第一组 (0，15 4 0.1第二组 (15，30 12 0.3第三组 (30，45 8 0.2第四组 (45，60 8 0.2第五组 (60，75 4 0.1第六组 (75，90) 4 0.1(1)写出该样本的众数和中位数(不必写出计算过程).(2)求该样本的平均数，并根据样本估计总体的思想，从 PM2.5 的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进？说明理由.(3)将频率视为概率，对于去年的某 2 天，记这 2 天中该居民区 PM2.5 的 24 小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为 X，求 X 的分
13、布列及数学期望 E(X)和方差 D(X).【解析】(1)众数为 22.5 微克/立方米，中位数为 37.5 微克/立方米.4(2)去年该居民区 PM2.5 年平均浓度为7.50.1+22.50.3+37.50.2+52.50.2+67.50.1+82.50.1=40.5(微克/立方米).因为 40.535，所以去年该居民区 PM2.5 年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居民区的环境需要改进.(3)记事件 A 表示“一天 PM2.5 的 24 小时平均浓度符合环境空气质量标准” ，则 P(A)= .910随机变量 X 的可能取值为 0，1，2.且 XB .(2,910)所以 P(X=k)=
14、(k=0，1，2)，所以变量 X 的分布列为C2(910)(1910)2X 0 1 2P11001810081100E(X)=0 +1 +2 =1.8(天)，或 E(X)=np=2 =1.8(天)，11001810081100 910D(X)=0.18.4.抛物线 C 的方程为 y=ax2(a0 时， f(x)0，则当 x(-，lna)时，f(x)=e x-a0；所以，f(x)在(-，lna)上单调递减，在(lna，+)上单调递增.6(2)由于 a=1， f(x)0，所以(k-x)(e x-1)0，所以 ex-10，所以 k0，所以 h(x)在(0，+)上单调递增，且 h(1)0，所以 h(x
15、)在(0，+)上存在唯一零点，设此零点为 x0，则 x0(1，2)，当 x(0，x 0)时，g(x)0，所以 g(x)min=g(x0)=+x0，x0+101由 g(x 0)=0 =x0+2，所以 g(x0)=x0+1(2，3)，因为 kg(x0)，且 k 为整数，所以 ke0的最大值为 2.1高考大题标准练(二)满分 60 分,实战模拟,60 分钟拿到高考主观题高分!1.在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且满足 bcosA=(2c+a)cos(-B).(1)求角 B 的大小.(2)若 b=4,ABC 的面积为 ,求 a+c 的值.3【解析】(1)因为 bcosA=(2
16、c+a)cos(-B).所以 sinBcosA=(-2sinC-sinA)cosB.所以 sin(A+B)=-2sinCcosB,所以 cosB=- .即 B= .12 23(2)由 SABC = acsinB= ,得 ac=4.12 3由余弦定理,得 b2=a2+c2+ac=(a+c)2-ac=16.故 a+c=2 .52.某高三毕业班甲、乙两名同学在连续的 8 次数学周练中，统计解答题失分的茎叶图如下：(1)比较这两名同学 8 次周练解答题失分的均值和方差的大小，并判断哪位同学做解答题相对稳定些.(2)以上述数据统计甲、乙两名同学失分超过 15 分的频率作为概率，假设甲、乙两名同学在同一次
17、周练中失分多少互不影响，预测在接下来的 2 次周练中，甲、乙两名同学失分均超过 15 分的次数 X 的分布列和均值.2【解析】(1) = (7+9+11+13+13+16+23+28)=15，x甲18= (7+8+10+15+17+19+21+23)=15，x乙18= (-8)2+(-6)2+(-4)2+(-2)2+(-2)2+12+82+132=44.75，s2甲 18= (-8)2+(-7)2+(-5)2+02+22+42+62+82=32.25，s2乙 18因为甲、乙两名队员的失分均值相等，甲的方差比乙的方差大，所以乙同学做解答题相对稳定些.(2)根据统计结果，在一次周练中，甲和乙失分超
18、过 15 分的概率分别是 p1= ，p 2= ，38 12两人失分均超过 15 分的概率为 p1p2= ，316X 的所有可能取值为 0，1，2，依题意 XB ，(2,316)P(X=0)= = ，C02(1316)2169256P(X=1)= = ，C12(316)(1316) 78256P(X=2)= = ，C22(316)2 9256所以 X 的分布列为：X 0 1 2P169256782569256E(X)=2 = .316383.如图所示,该几何体是由一个直三棱柱 ADE-BCF 和一个正四棱锥 P-ABCD 组合而成,3ADAF,AE=AD=2.(1)证明:平面 PAD平面 ABF
19、E.(2)求正四棱锥 P-ABCD 的高 h,使得该四棱锥的体积是三棱锥 P-ABF 体积的 4 倍.【解析】(1)直三棱柱 ADE-BCF 中,AB平面 ADE,所以 ABAD,又 ADAF,ABAF=A,所以 AD平面 ABFE,AD平面 PAD,所以平面 PAD平面 ABFE.(2)P 到平面 ABF 的距离 d=1,所以 VP-ABF= SABF d= 221= ,13 1312 23而 VP-ABCD= S 四边形 ABCDh= 22h=4VP-ABF= ,所以 h=2.13 13 834.已知椭圆 + =1(ab0)的左、右焦点分别为 F1,F2,且 =6,直线 y=kx 与椭圆交
20、2222 |12|于 A,B 两点.(1)若 k= ,且 A,B,F1,F2四点共圆,求椭圆离心率 e 的值 .24(2)在(1)的条件下,设 P(x0,y0)为椭圆上一点,且直线 PA 的斜率 k1(-2,-1),试求直线 PB的斜率 k2的取值范围.【解析】(1)方法一:由x22+22=1,=24,4得(b 2+ a2)x2-a2b2=0.18设 A(x1,y1),B(x2,y2).所以 x1+x2=0,x1x2= ,-222+182由 AB,F1F2互相平分且四点共圆,易知,AF 2BF 2,因为 =(x1-3,y1), =(x2-3,y2),F2 F2所以 =(x1-3)(x2-3)+
21、y1y2F2 F2= x1x2+9=0.(1+18)即 x1x2=-8,所以有 =-8,-222+182结合 b2+9=a2.解得 a2=12,所以离心率 e= .32方法二:设 A(x1,y1),又 AB,F1F2互相平分且四点共圆,所以 AB,F1F2是圆的直径,所以 + =9,又由椭圆及直线方程综合可得 :x21y21 x21+21=9,1=241,212+212=1,前两个方程解出 =8, =1,x21 y21将其代入第三个方程并结合 b2=a2-c2=a2-9,解得 a2=12,所以 e= .325(2)椭圆方程为 + =1,x212y23由题可设 A(x1,y1),B(-x1,-y
22、1),k1= ,k2= ,y0101y0+10+1所以 k1k2= ,y20212021又 = =- ,y202120213(12012)3(12112)2021 14即 k2=- ,141由-21,当 00;当 1c 时,f(x)0.所以 f(x)的递增区间为(0,1),(c,+);递减区间为(1,c).(2)若 c1,则 f(x)极小值 =clnc+ c2+c(-1-c)12=clnc-c- c20,12f(x)极大值 =- -c0,12则 f(x)=0 只有一解;综上,使 f(x)=0 恰有两解的 c 的范围为- c0.121高考大题标准练(四)满分 60 分,实战模拟,60 分钟拿到高
23、考主观题高分!1.已知函数 f(x)=(sinx+cosx)2-2cos2x(xR).(1)求函数 f(x)的周期和递增区间.(2)若函数 g(x)=f(x)-m 在0, 上有两个不同的零点 x1,x2, 2求 tan(x1+x2)的值.【解析】(1)因为 f(x)=(sinx+cosx)2-2cos2x=sin2x-cos2x= sin (xR).2 (24)由 2k- 2x- 2k+2 4 2k- xk+ (kZ).8 38所以函数 f(x)的周期为 T=,递增区间为 (kZ).k8,+38(2)因为 g(x)=f(x)-m=0 同解于 f(x)=m;在直角坐标系中画出函数 f(x)= s
24、in 在 上的图象,2 (24) 0,2由图象可知,当且仅当 m1, )时,2方程 f(x)=m 在 上的区间 和 有两个不同的解 x1,x2,0,2 4,38) (38,22且 x1与 x2关于直线 x= 对称,即 = ,38 x1+22 38所以 x1+x2= ;故 tan(x1+x2)=-1.342.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PD底面 ABCD,E 是 AB 上一点.已知PD= ,CD=4,AD= .2 3(1)若ADE= ,求证:CE平面 PDE. 6(2)当点 A 到平面 PDE 的距离为 时,求三棱锥 A-PDE 的侧面积.2217【解析】(1)在
25、RtDAE 中,AD= ,ADE= ,36所以 AE=ADtanADE= =1.333又 AB=CD=4,所以 BE=3.在 RtEBC 中,BC=AD= ,3所以 tanCEB= = ,B33所以CEB= .6又AED= ,所以DEC= ,即 CEDE.3 2因为 PD底面 ABCD,CE底面 ABCD,3所以 PDCE.又 PDDE=D,所以 CE平面 PDE.(2)因为 PD底面 ABCD,PD平面 PDE,所以平面 PDE平面 ABCD.过 A 作 AFDE 于 F,所以 AF平面 PDE,所以 AF 就是点 A 到平面 PDE 的距离,即 AF= .2217在 RtDAE 中,由 A
26、DAE=AFDE,得 AE= ,解得 AE=2.32217 3+2所以 SAPD = PDAD= = ,12 12 2 3 62SADE = ADAE= 2= ,12 12 3 3因为 BAAD,BAPD,ADPD=D,所以 BA平面 PAD,因为 PA平面 PAD,所以 BAPA.在 RtPAE 中,AE=2,PA= = = ,P2+2 2+3 5所以 SAPE = PAAE= 2= .12 12 5 5所以三棱锥 A-PDE 的侧面积 S 侧 = + + .62 3 53.已知椭圆 C： + =1(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F 2，离心率为 .以原点为圆x22y22 22心，椭圆的
27、短轴长为直径的圆与直线 x-y+ =0 相切.2(1)求椭圆 C 的方程.(2)若斜率为 k(k0)的直线 l 与 x 轴、椭圆 C 顺次相交于 A，M，N(A 点在椭圆右顶点的右侧)，且NF 2F1=MF 2A.求证直线 l 恒过定点，并求出斜率 k 的取值范围.4【解析】(1)由题意知 e= = ，c 22所以 e2= = = ，c22a222 12即 a2=2b2.又因为 b= =1，所以 a2=2，b 2=1，21+1所以椭圆方程为 +y2=1.x22(2)由题意，设直线 l 的方程为 y=kx+m(k0)，M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2).由 得(2k 2+1)x2+4km
28、x+2m2-2=0.y=+,2+22=2由 =16k 2m2-4(2k2+1)(2m2-2)0，得 m20，f(x)在(e，+)上单调递增.所以 x=e 时，f(x)取得极小值 f(e)=lne+ =2，e所以 f(x)的极小值为 2.(2)由题设 g(x)=f(x)- = - - (x0)，x31m2x3令 g(x)=0，m=- x3+x(x0)，设 (x)=- x3+x(x0)，13 13则 (x)=-x 2+1=-(x-1)(x+1)，当 x(0，1)时，(x)0，(x)在(0，1)上单调递增；当 x(1，+)时，(x) 时，函数 g(x)无零点；23当 m= 时，函数 g(x)有且只有
29、一个零点；23当 0 时，函数 g(x)无零点；当 m= 或 m0 时，函数 g(x)有且只有一个零点；23 23当 0b0)的焦点到直线 x-3y=0 的距离为 ,离心率为 ,抛物线x22y22 105 255G:y2=2px(p0)的焦点与椭圆 E 的焦点重合;斜率为 k 的直线 l 过 G 的焦点与 E 交于 A,B,与G 交于 C,D.(1)求椭圆 E 及抛物线 G 的方程.(2)是否存在常数 ,使 + 为常数,若存在,求 的值,若不存在,说明理由.1|【解析】(1)设 E,G 的公共焦点为 F(c,0),由题意是 = , = .c1+32 105 c255联立解得 c=2,a= ,b
30、=1.5所以椭圆 E: +y2=1,抛物线 G:y2=8x.x25(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4).7直线 l 的方程为 y=k(x-2),与椭圆 E 的方程联立 得(1+5k 2)x2-x25+2=1,=(2),20k2x+20k2-5=0.=400k 4-20(5k2+1)(4k2-1)=20(k2+1)0.x1+x2= ,x1x2=2021+52 20251+52|AB|= |x1-x2|1+2= 1+2(1+2)2412= .25(2+1)1+52直线 l 的方程为 y=k(x-2),与抛物线 G 的方程联立 y2=8,=(2),得 k2x2-(4k2+8)x+4k2=0.x3+x4= .42+82|CD|=x3+x4+4= .8(2+1)2+ = +1|1+5225(2+1) 28(2+1)= .(20+5)2+485(2+1)要使 + 为常数,则 20+ =4,得 =- .1| 5 16558故存在 =- ,使 + 为常数.1655 1|
