1、模块复习专题一 空间几何体空间几何体是立体几何的基础 ,在高考中考查的重点是三视图 ,柱、锥、台、球的表面积和体积的求法 ,考查的形式以选择题、填空题为主 ,属容易题 ,对体积、表面积的考查 ,常与三视图相结合 ,有时在解答题中也会出现 ,解题时 ,注意等价转化思想的灵活运用 .三视图 考点一1.(2014高考湖南卷 )一块石材表示的几何体的三视图如图所示 ,将该石材切削、打磨 ,加工成球 ,则能得到的最大球的半径等于 ( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4B2.(2014高考北京卷 )某三棱锥的三视图如图所示 ,则该三棱锥最长棱的棱长为 . 表面积与体积 考点二C 【 温馨提示 】 割
2、补法是求体积的一种基本方法 ,其思路是以已知几何体为背景 ,将其补成或分割成熟悉的更易利用已知条件解决的简单几何体 .D 专题三 直线与方程直线是解析几何的重要基础 ,属于高考必考内容 ,从内容上看 ,主要有直线的倾斜角、斜率及其关系 ,证明点共线问题 ,直线方程的一般式、点斜式和斜截式 ,点线距离 ,利用斜率关系判断两直线的位置关系等 .从难度上看 ,以中低档题为主 ,即以考查基础知识和基本运算为主 .从考查的形式上看 ,多以选择题 ,填空题为主要题型 .在学习中 ,要重点掌握直线的基本概念和直线方程的应用 ,领会数形结合思想和转化与化归思想 .直线的倾斜角与斜率 考点一C2.(2015大连
3、二十中期末 )已知三点 A(1,-1),B(a,3),C(4,5)在同一直线上,则实数 a的值是 ( )(A)1 (B)3 (C)4 (D)不确定B直线的方程 考点二A 直线的交点坐标与距离公式考点三5.在平面直角坐标系内 ,到点 A(1,2),B(1,5),C(3,6),D(7,-1)的距离之和最小的点的坐标是 . 解析 :由题可知 A(1,2),B(1,5),C(3,6),D(7,-1),四边形 ABCD对角线的交点到四点距离之和最小 ,直线 AC的方程为 2x-y=0,直线 BD的方程为 x+y-6=0,所以其交点为 (2,4).答案 : (2,4)6.(2015江西上高二中月考 )过点
4、 P(0,1)且和 A(3,3),B(5,-1)距离相等的直线的方程是 ( )(A)y=1 (B)2x+y-1=0 (C)y=1或 2x+y-1=0 (D)2x+y-1=0或 2x+y+1=0C3.求点 P(7,-6)到直线 l:(3a+1)x+(1-2a)y+a-3=0的最大距离及相应的 a值 .专题二 点、直线、平面之间的位置关系本章高考考查的重点是点、线、面的位置关系和平行与垂直关系 ,点、线、面的位置关系一般以选择题或填空题的形式出现 ,属于简单题 ;平行与垂直的证明问题考查平行与垂直的相互转化 ,特别是判定定理和性质定理的灵活应用 ;空间角的问题是高考中的热点问题 ,线面角和面面角均
5、转化为线线角 ,放在合适的平面图形中解决 .点、直线、平面之间的位置关系 考点一1.(2014高考浙江卷 )设 m,n是两条不同的直线 , 是两个不同的平面 ( )(A)若 mn,n ,则 m (B)若 m, ,则 m(C)若 m,n,n ,则 m (D)若 mn,n, ,则 mC解析 :A,B,D中 m与平面 可能平行、相交或 m在平面 内 ;对于 C,若 m,n ,则 mn ,而 n ,所以 m .故选 C.2.(2014高考辽宁卷 )已知 m,n表示两条不同直线 , 表示平面 .下列说法正确的是 ( )(A)若 m,n ,则 mn(B )若 m,n ,则 mn(C)若 m,mn ,则 n
6、(D )若 m,mn ,则 n解析 :由题可知 ,若 m,n ,则 m与 n平行、相交或异面 ,所以 A错误;若 m,n ,则 mn ,故 B正确 ;若 m,mn ,则 n 或 n ,故 C错误 ;若 m,mn ,则 n 或 n 或 n与 相交 ,故 D错误 ,选 B.B空间角考点二C 【温馨提示】 空间角的求解问题 ,一般分三步完成 :作 (找 )、证、算 .直线、平面平行、垂直的判定及性质考点三专题四 圆与方程圆是高考的重点考查内容 ,从内容上看 ,主要有圆的标准方程和一般方程 ,直线和圆的位置关系 ,弦长的计算等 .其中考查利用待定系数法求圆的标准方程频率较高 .从形式上看 ,主要以选择
7、题、填空题为主 .在求圆的方程时 ,尽量借助圆的几何性质解题 ,另外要掌握数形结合法求解最值问题 .圆的方程考点一2.若圆 C经过坐标原点和点 (4,0),且与直线 y=1相切 ,则圆 C的方程是 . 直线、圆的位置关系考点二B 【 温馨提示 】 解直线与圆的相交问题时 ,通常情况下不求交点坐标 .利用半径、半弦和弦心距组成的直角三角形 ,由勾股定理来解决弦长问题 .B 5.(2014高考北京卷 )已知圆 C:(x-3)2+(y-4)2=1和两点 A(-m,0),B(m,0)(m0).若圆 C上存在点 P,使得 APB=90, 则 m的最大值为 ( )(A)7 (B)6 (C)5 (D)4B空
8、面直角坐标系考点三6.(2015江西崇义中学月考 )已知点 A(x,5,6)关于原点的对称点为 (-2,y,z),则 P(x,y)在平面直角坐标系的 ( )(A)第一象限 (B)第二象限(C)第三象限 (D)第四象限解析 :由题可知 ,x=2,y=-5,z=-6,故 P(x,y)在第四象限 .故选 D.DC第一章 空间几何体1.1 空间几何体的结构1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征 1.1.2 简单组合体的结构特征自主预习课堂探究自主预习1.了解多面体、旋转体以及简单组合体的概念及特征 .2.理解棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台以及球的概念 .3.概括并掌握柱体、锥体、台体、球的概念及结构
9、特征 ,并能利用这些特征来判断、描述现实生活中的实物模型 .课标要求知识梳理平面多边形 它所在平面内 封闭几何体 多边形 公共边 定直线 棱与棱 四边形 平行 两个互 相平行 其余各面 公共边 公共顶点 ABCD-ABCD 矩形的一边 轴 垂直于轴 平行于轴 母线 柱体 圆柱 OO 平行 多边形 三角形 多边形面 三角形面 公共顶点 公共边 S-ABCD 一条直角边 锥体 圆锥 SO 平行于棱锥底面 底面 截面 ABCD-ABCD 平行于圆锥底面 截面 圆台 台体 圆台 OO 直径 球体 球 球心 半径 直径 球 O 6.简单组合体的结构特征(1)简单组合体 :由 组合而成的几何体叫做简单组合
10、体 .(2)简单组合体的构成有两种基本形式 : 由简单几何体 而成 ; 由简单几何体 一部分而成 .简单几何体拼接截去或挖去自我检测1.(简单几何体的结构特征 )(2015大同一中高二 (上 )月考 )如图所示 ,观察四个几何体 ,其中判断正确的是 ( )(A) 是棱台 (B) 是圆台(C) 是棱锥 (D) 不是棱柱C2.(多面体的结构特征 )下列说法错误的是 ( )(A)多面体至少有四个面(B)九棱柱有 9条侧棱 ,9个侧面 ,侧面为平行四边形(C)长方体、正方体都是棱柱(D)三棱柱的侧面为三角形D3.(简单组合体的结构特征 )如图是由哪个平面图形旋转得到的 ( )D4.(旋转体的结构特征
11、)下列说法正确的是 ( )(A)圆锥的母线长等于底面圆直径(B)圆柱的母线与轴垂直(C)圆台的母线与轴平行(D)球的直径必过球心5.(棱柱的结构特征 )对棱柱而言 ,下列说法正确的序号是 . 有两个平面互相平行 ,其余各面都是平行四边形 . 所有的棱长都相等 . 棱柱中至少有 2个面的形状完全相同 . 相邻两个面的交线叫做侧棱 .答案 :D课堂探究简单几何体的结构特征题型一【 教师备用 】1.有两个面互相平行 ,其余各面是平行四边形的几何体是棱柱吗 ?提示 :不一定 .如图所示的几何体中 ,平面 ABC与平面 ABC 互相平行 .其余各面是平行四边形 ,但它不是棱柱 .反之 ,若一个几何体是棱
12、柱,则它有两个面互相平行 ,其余各面均是平行四边形是正确的 .2.若一个几何体有两个面互相平行 ,其余面均为梯形 ,那么它一定是棱台吗?提示 :不一定 .因为棱台是由棱锥得到 ,其侧棱延长应相交于一点 ,若侧棱延长后不相交于一点 ,则它不是棱台 .3.以直角三角形的一条边所在直线为旋转轴 ,旋转一周得到的旋转体是圆锥吗 ?提示 :不一定 .以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴 ,才能围成圆锥 ,若以斜边所在直线为旋转轴 ,则形成两个对底圆锥 .【 例 1】 (1)(2015嘉兴一中期中 )下列命题中 ,正确的命题是 ( ) 有两个面互相平行 ,其余各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 四棱锥的四
13、个侧面都可以是直角三角形 有两个面互相平行 ,其余各面都是梯形的多面体是棱台 四面体都是三棱锥 .(A) (B) (C) (D)(2)下列叙述正确的是 ( )(A)直角三角形围绕一边旋转而成的几何体是圆锥(B)用一个平面截圆柱 ,截面一定是圆面(C)圆锥截去一个小圆锥后 ,剩下的是一个圆台(D)通过圆台侧面上一点有无数条母线解析 :(1) 错误 ;反例 :将两个相同的斜平行六面体叠放 ; 正确 ,在长方体中可以截出 ; 错误 ,侧棱可能无法聚成一点 ; 正确 .故选 A.(2)直角三角形绕斜边所在直线旋转形成的是两个对底的圆锥 ,为组合体 ,故 A错 ;用平行于底面的平面去截圆柱 ,截面才是圆
14、面 ,故 B错 .通过圆台侧面上一点有且只有一条母线 ,故 D错 .C正确 .选 C.题后反思 解决该类题目需准确理解几何体的定义 ,把握几何体的结构特征 ,并且学会通过举反例进行辨析 .即时训练 1-1:(1)下列说法中 ,正确的是 ( )(A)有一个面为多边形 ,其余各面都是有一个公共顶点的三角形 ,由这些面所围成的几何体是棱锥(B)用一个平面去截棱锥 ,棱锥底面与截面之间的部分是棱台(C)棱柱的侧面都是平行四边形 ,而底面不是平行四边形(D)棱柱的侧棱都相等 ,侧面都是全等的平行四边形(2)有以下 5个命题 ,其中正确命题的序号是 . 三棱柱有 6个顶点 ; 圆柱上底面圆上任一点与下底面
15、圆上任一点的连线都是圆柱的母线 ; 一直角梯形绕下底 (较长边 )所在直线旋转一周 ,所形成的曲面围成的几何体是圆台 ; 圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面 ,圆锥的轴截面是等腰三角形 ,圆台的轴截面是等腰梯形 ; 到定点的距离等于定长的点的集合是球 .解析 : (1)由棱柱、棱锥的定义及其结构特征知 ,A正确 ,B、 C、 D错误 .(2) 正确 . 错 .由圆柱母线的定义知 ,圆柱的母线应平行于轴 . 错 .直角梯形绕下底 (较长边 )所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体 ,如图所示 . 正确 . 错 ,应为球面 .答案 : (1)A (2)折叠与展开问题题型二
16、【 例 2】 (2015九江一中月考 )如图所示平面图形沿虚线折起后 , 为 , 为 , 为 . 解析 :由图 知几何体各侧面是矩形 ,底面为四边形 .该几何体是四棱柱 ;由图 知几何体各侧面是三角形 ,底面是三角形 ,该几何体是三棱锥 ;由图 知几何体侧面是三角形 ,底面为四边形 ,故该几何体是四棱锥 .答案 : 四棱柱 三棱锥 四棱锥题后反思 (1)解答此类问题要结合多面体的结构特征发挥空间想象能力和动手能力 .(2)若给出多面体画其展开图时 ,常常给多面体的顶点标上字母 ,先把多面体的底面画出来 ,然后依次画出各侧面 .简单组合体的结构特征题型三【 例 3】 如图所示 ,已知梯形 ABC
17、D中 ,ADBC, 且 ADBC.当梯形 ABCD绕 AD所在直线旋转一周时 ,其他各边旋转围成一个几何体 ,试描述该几何体的结构特征 .解 :如图所示 ,旋转所得的几何体是由一个圆柱挖去两个圆锥后剩余部分而成的组合体 .题后 反思 本题是不规则图形的旋转问题 .对于不规则平面图形绕轴旋转问题 ,首先要对原平面图形作适当的分割 ,一般分割成矩形、梯形、三角形或圆 (半圆或四分之一圆 )等基本图形 ,然后结合圆柱、圆锥、圆台、球的形成过程进行分析 .解 :该奖杯是由球、四棱柱、四棱台三个几何体拼接而成 .【 备用例题 】 (2015安徽省蚌埠市五河高中期中 )一正方体内接于一个球 ,经过球心作一
18、个截面 ,则截面的可能图形为 (只填写序号 ). 解析 :当截面与正方体的一面平行时 ,截面图形如 ,当截面不与正方体的一面平行 ,截面图形如 .答案 :1.2 空间几何体的三视图和直观图1.2.1 中心投影与平行投影 1.2.2 空间几何体的三视图自主预习课堂探究自主预习1.了解中心投影与平行投影 .2.能画出简单的空间图形 (柱、锥、台、球及其组合体 )的三视图 .3.能识别三视图所表示的立体模型 .课标要求知识梳理1.投影(1)投影的定义由于光的照射 ,在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子 ,这种现象叫做投影 .其中 ,我们把 叫做投影线 ,把 叫做投影面 .(2)投影的分类
19、中心投影 :光由 散射形成的投影 . 平行投影 :在一束 照射下形成的投影 .当投影线 时 ,叫做正投影 ,否则叫做 .光线 留下物体影子的屏幕一点向外平行光线正对投影面 斜投影2.空间几何体的三视图三 视图 定 义正 视图 光 线 从几何体的 正投影 ,得到的投影 图 ,叫做几何体的正 视图 .侧视图 光 线 从几何体的 正投影 ,得到的投影图 ,叫做几何体的 侧视图 .俯 视图 光 线 从几何体的 正投影 ,得到的投影 图 ,叫做几何体的俯 视图 .前面向后面左面向右面上面向下面自我检测1.(投影 )一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等 ,那么这个几何体不可以是 ( )(A)球 (B)
20、三棱锥 (C)正方体 (D)圆柱D解析 :一般地 ,圆柱的正视图是矩形 ,侧视图是矩形 ,而俯视图是圆 .而球、正方体、三棱锥的三视图形状都相同 ,大小均相等是可以的 ,故选 D.2.(由几何体画三视图 )(2015蚌埠一中高二 (上 )期中 )如图所示的圆锥的俯视图为 ( )C3.(由三视图画三视图 )(2015江西九江外国语中学月考 )在一个几何体的三视图中 ,正视图和俯视图如图所示 ,则相应的侧视图可以为 ( )D4.(三视图的识别 )(2015太原五中高二 (上 )月考 )一个简单几何体的正视图 ,侧视图如图所示 ,则其俯视图不可能为 ( )(A)长方形 (B)直角三角形(C)圆 (D
21、)椭圆C5.(由三视图还原几何体 )已知某几何体的三视图如图所示 ,则该几何体为. 答案 :圆锥6.(与三视图有关的计算 )(2015陕西三元北城中学月考 )如图是某个几何体的三视图 ,由图中所标尺寸 ,得俯视图中圆的面积为 ,这个几何体的高线长为 . 答案 :9 4课堂探究简单几何体的三视图题型一【 教师备用 】正视图、侧视图、俯视图之间有怎样的关系 ?提示 :一个几何体的侧视图和正视图高度一样 ,俯视图与正视图长度一样 ,侧视图与俯视图宽度一样 .一般地 ,侧视图在正视图的右边 ,俯视图在正视图的下边 .【 例 1】 画出下列几何体的三视图 .解 :图 (1)的三视图如图所示图 (2)的三
22、视图如图所示题后反思 画几何体的三视图时需注意的问题(1)确定正视的方向 ,同一物体观察的角度不同 ,所画的三视图可能不同 ;(2)注意辨析分界线 ,以及轮廓线的实与虚 ;(3)正确摆放三个视图的位置 .即时训练 1-1:(1)(2015台州中学高二 (上 )期中 )将长方体截去一个四棱锥 ,得到的几何体如图所示 ,则该几何体的侧视图为 ( )(2)(2015河南开封实验高中月考 )一个几何体的三视图如图所示 ,则俯视图的面积是 . (1)解析 :被截去的四棱锥的三条可见棱中 ,有两条为长方体的面对角线 ,它们在右侧面上的投影与右侧面 (长方形 )的两条边重合 ,另一条为体对角线 ,它在右侧面
23、上的投影与右侧面的对角线重合 ,对照各图 ,只有 D符合 .故选 D.答案 : (1)D (2)6【 备用例 1】 (2015陕西三元北城中学月考 )三棱锥 D-ABC及其三视图中的正视图和侧视图如图所示 ,则棱 BD的长为 . 简单组合体的三视图题型二【 例 2】 如图 ,设所给的方向为物体的正前方 ,试画出它的三视图 .(单位:cm)解 :三视图如图 :题后反思 画简单组合体的三视图 ,首先确定组合体的组成形式 ,然后确定每个组成部分 ,最后画出三视图 .若相邻两个几何体的表面相交 ,表面的交线是它们的分界线 ,在三视图中 ,要将分界线按虚 (或实 )线画出 .解析 :该几何体是由圆柱中挖
24、去一个圆柱形成的几何体 ,三视图为 B.解析 :几何体的俯视图 ,轮廓是矩形 ,几何体的上部的棱都是可见线段,所以 C、 D不正确 ;几何体的上部的棱与正视图方向垂直 ,所以 A不正确 .故选 B.【 思维激活 】 (2014高考江西卷 )一几何体的直观图如图 ,下列给出的四个俯视图中正确的是 ( )由三视图还原几何体题型三【 例 3】 (2015吕梁学院附中高二 (上 )月考 )已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥 ,则不是该三棱锥的三视图是 ( )解析 :三棱锥的三视图均为三角形 ,四个答案均满足 ,且四个三视图均表示一个高为 3,底面为两直角边分别为 1,2的棱锥 ,A与 C中俯视
25、图正好旋转 180, 故应是从相反方向进行观察 ;而其正视图和侧视图中三角形斜边倾斜方向相反 ,满足实际情况 ,故 A、 C表示同一棱锥 ;设 A中观察的正方向为标准正方向 ,以 C表示从后面观察该棱锥 ;B与 D中俯视图正好旋转 180, 故应是从相反方向进行观察 ,但侧视图中三角形斜边倾斜方向相同 ,不满足实际情况 ,故 B,D中有一个不与其他三个一样表示同一个棱锥 ,根据 B中正视图与 A中侧视图相同 ,侧视图与 C中正视图相同 ,可判断 B是从左边观察该棱锥 .故选 D.题后 反思 (1)根据三视图还原几何体 ,要仔细分析和认真观察三视图并进行充分的想象 ,然后综合三视图的形状 ,从不
26、同的角度去还原 .(2)通常要根据俯视图判断几何体是多面体还是旋转体 ,再结合正视图和侧视图确定具体的几何结构特征 ,最终确定是简单几何体还是简单组合体 .解析 :由所给三视图可知该几何体是一个三棱柱 (如图 ).故选 B.(A)三棱锥 (B)三棱柱 (C)四棱锥 (D)四棱柱【 备用例 2】 (2013高考四川卷 )一个几何体的三视图如图所示 ,则该几何体的直观图可以是 ( )解析 :由俯视图易知 ,只有选项 D符合题意 ,故选 D.1.2.3 空间几何体的直观图自主预习课堂探究自主预习1.了解斜二测画法的概念并掌握斜二测画法的步骤 .2.会用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图
27、 .3.强化三视图、直观图、原空间几何体形状之间的相互转换 .课标要求知识梳理1.斜二测画法的规则(1)在已知图形中取 的 x轴和 y轴 ,两轴相交于 O.画直观图时 ,把它们画成对应的 x 轴和 y 轴 ,两轴交于点 O, 且使 xOy =,它们确定的平面表示水平面 .(2)已知图形中平行于 x轴或 y轴的线段 ,在直观图中分别画成平行于 或的线段 .(3)已知图形中平行于 x轴的线段 ,在直观图中保持原长度 ;平行于 y轴的线段 ,长度为原来的 .2.空间图形直观图的画法空间图形与平面图形相比多了一个 z轴 ,其直观图中对应于 z轴的是 z 轴 ,平面 xOy 表示水平平面 ,平面 yOz
28、 和 xOz 表示直立平面 .平行于 z轴的线段 ,在直观图中平行性和长度都不变 .互相垂直45( 或 135)x 轴y 轴不变一半自我检测1.(几何体的直观图画法 )利用斜二测画法画正方形的直观图 ,正确的是图中的 ()C2.(由直观图还原几何体 )(2015河南开封实验高中月考 )如图所示的水平放置的平面图形的直观图 ,所表示的图形 ABCD是 ( )(A)任意梯形 (B)直角梯形(C)任意四边形 (D)平行四边形B3.(斜二测画法规则 )(2015江西白鹭洲中学月考 )用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图 ,对其中两条线段结论错误的是 ( )(A)原来相交的仍相交 (B)原来垂直的仍
29、垂直(C)原来平行的仍平行 (D)原来共点的仍共点4.(由直观图还原几何体 )(2015安徽安庆五校联考 )ABC 是水平放置的 ABC的直观图 ,则在 ABC的三边及中线 AD中 ,最长的线段是 ( )(A)AB (B)AD(C)BC (D)ACBD5.(由直观图还原几何体 )如图甲所示为一个平面图形的直观图 ,则此平面图形可能是图乙中的 . 答案 :答案 :8 cm2课堂探究画水平放置的平面图形的直观图题型一【 例 1】 用斜二测画法画水平放置的等腰梯形 ABCD的直观图 ,如图所示 .名师导引 :如何建立坐标系才方便作图 ?(画直观图时 ,在平面图形上建立坐标系时 ,应使图形的顶点尽量多
30、的在坐标轴上 )解 :画法 :(1)如图所示 ,取 AB所在直线为 x轴 ,AB中点 O为原点 ,建立直角坐标系 ,画对应的坐标系 xOy , 使 xOy =45.(3)连接 BC,DA, 所得的四边形 ABCD 就是水平放置的等腰梯形 ABCD的直观图 .题后反思 画水平放置的平面图形的直观图的关键及注意点 :画图的关键是确定顶点的位置 ,画图时要注意原图和直观图中线段的长度关系是否发生改变 .即时训练 1-1:画一个锐角为 45 的平行四边形的直观图 .画空间几何体的直观图题型二【 例 2】 画出底面是正方形且侧棱均相等的四棱锥的直观图 .解 :画法 :(1)画轴 .画 Ox轴、 Oy轴、
31、 Oz轴 , xOy=45( 或135),xOz=90, 如图 (1).(2)画底面 .以 O为中心在 xOy平面内 ,画出正方形 ABCD的直观图 .(3)画顶点 .在 Oz轴上任取一点 P.(4)成图 .顺次连接 PA、 PB、 PC、 PD,并擦去辅助线 ,将被遮住的部分改为虚线 ,得四棱锥的直观图 (如图 (2).题后反思 (1)画空间几何体的直观图 ,可先画出底面的平面图形 ,然后画出竖轴 .此外 ,坐标系的建立要充分利用图形的对称性 ,以便方便、准确地确定顶点 ;(2)对于一些常见几何体 (如柱、锥、台、球 )的直观图 ,应该记住它们的大致形状 ,以便可以又快又准的画出 .解 :
32、(1)画轴 .如图 ,画出 x轴、 y轴、 z轴 ,三轴相交于点 O,使 xOy=45,xOz=90.(2)画底面 .作水平放置的三角形 (俯视图 )的直观图 ABC.(3)画侧棱 .过 A、 B、 C各点分别作 z轴的平行线 ,并在这些平行线上分别截取线段 AA=BB=CC, 且都与正视图或侧视图的高相等 .即时训练 2-1:由下列几何体的三视图画出直观图 .(4)成图 .顺次连接 A 、 B 、 C, 并加以整理 (擦去辅助线 ,将遮挡部分用虚线表示 ),得到的图形就是所求的几何体的直观图 .直观图还原为平面图形题型三【 例 3】 如图是一梯形 OABC的直观图 ,其直观图面积为 S,求梯
33、形 OABC的面积 .题后 反思 (1)还原图形的过程是画直观图的逆过程 ,关键是找与 x 轴、y 轴平行的直线或线段 .平行于 x 轴的线段长度不变 ,平行于 y 轴的线段还原时长度变为原来的 2倍 ,由此确定图形的各个顶点 ,顺次连接即可 .(2)求图形的面积 ,关键是能先正确画出图形 ,然后求出相应边的长度 ,利用公式求解 .1.3 空间几何体的表面积与体积1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积自主预习课堂探究自主预习1.通过对柱、锥、台体的研究 ,掌握柱、锥、台体的表面积的求法 .2.了解柱、锥、台体的表面积计算公式 ;能运用柱、锥、台的表面积公式进行计算和解决有关实际问题 .3.
34、培养空间想象能力和思维能力 .课标要求知识梳理1.柱体、锥体、台体的表面积(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积棱柱、棱锥、棱台是由多个平面图形围成的多面体 ,它们的表面积就是各个面的和 .面积底面半径 侧面母线长 底面半径 侧面母线长 上底面半径 下底面半径 侧面母线长 底面积 高 底面积 高 上、下底面面积 高 自我检测CA 3.(求体积 )(2015安庆市石化一中高二 (一 )期中 )圆锥的母线长为 5,底面半径为 3,则其体积为 ( )(A)15 (B)30 (C)12 (D)364.(求表面积 )(2015大同一中高二 (上 )月考 )圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3倍 ,母线长为
35、3,圆台的侧面积为 84, 则圆台较小底面的半径为 ( )(A)7 (B)6 (C)5 (D)3CA课堂探究空间几何体的表面积题型一【 教师备用 】1.三棱柱、三棱锥、三棱台的侧面展开图各是什么图形 ?提示 :三棱柱上、下底面是三角形 ,侧面展开图为矩形 ;三棱锥各面均是三角形 ;三棱台上、下底面是三角形 ,侧面为梯形 .2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图是什么 ?提示 :圆柱的侧面展开图是矩形 ,圆锥的侧面展开图是扇形 ;圆台的侧面展开图是扇环 .题后反思 (1)多面体的表面积转化为各面面积之和 .(2)解决有关棱台的问题时 ,常用两种解题思路 :一是把基本量转化到直角梯形中去解决 ;二是把棱
36、台还原成棱锥 ,利用棱锥的有关知识来解决 .(3)旋转体中 ,求面积应注意侧面展开图 ,上下面圆的周长是展开图的弧长 .圆台通常还要还原为圆锥 .空间几何体的体积题型二【 例 2】 (2015大同一中高二 (上 )月考 )如图 ,已知正四棱锥 V-ABCD中 ,底面 ABCD是正方形 ,AC与 BD交于点 M,VM是棱锥的高 ,若 AC=6 cm,VC=5 cm,求正四棱锥 V-ABCD的体积 .题后反思 (1)常见的求几何体体积的方法 公式法 :直接代入公式求解 . 等积法 :如四面体的任何一个面都可以作为底面 ,只需选用底面积和高都易求的形式即可 . 分割法 :将几何体分割成易求解的几部分
37、 ,分别求体积 .(2)求几何体体积时需注意的问题柱、锥、台的体积的计算 ,一般要找出相应的底面和高 ,要充分利用截面、轴截面 ,求出所需要的量 ,最后代入公式计算 .即时训练 2-1:(2015吕梁学院附中高二 (上 )月考 )如图所示 ,则这个几何体的体积等于 ( )(A)4 (B)6 (C)8 (D)12组合体的表面积与体积题型三【 例 3】 (2015吕梁学院附中高二 (上 )月考 )如图 ,已知某几何体的三视图如图(单位 :cm).(1)画出这个几何体的直观图 (不要求写画法 );(2)求这个几何体的表面积及体积 .解 :(1)这个几何体的直观图如图所示 .题后 反思 求组合体表面积
38、与体积时应注意的问题(1)首先应弄清它的组成 ,其表面有哪些底面和侧面 ,各个面应怎样求其面积,然后把这些面的面积相加或相减 ;求体积时也要先弄清组成 ,求出各简单几何体的体积 ,然后再相加或相减 .(2)在求组合体的表面积、体积时要注意 “ 表面 (和外界直接接触的面 )” 与“ 体积 (几何体所占空间的大小 )” 的定义 ,以确保不重复、不遗漏 .1.3.2 球的体积和表面积 自主预习课堂探究自主预习1.了解球的表面积和体积计算公式 .2.会求与球有关的简单组合体的体积和表面积 .课标要求知识梳理2.半径是 R的球的表面积为 S= .4R 2自我检测DCC4.(表面积体积 )(2015北京
39、市房山区高二 (上 )期中 )若两个球的表面积之比是 49, 则它们的体积之比是 . 答案 :8275.(球的切接问题 )(2015山西忻州高二期中联考 )一个长方体的各顶点均在同一球面上 ,且一个顶点上的三条棱的长分别为 1,2,3,则此球的表面积为 . 答案 :14课堂探究球的表面积与体积 题型一【 例 1】 圆柱、圆锥的底面半径和球的半径都是 r,圆柱、圆锥的高都是 2r,(1)求圆柱、圆锥、球的体积之比 ;(2)求圆柱、圆锥、球的表面积之比 .题后反思 球的表面积和体积仅与球半径有关 ,因此求球的表面积和体积的问题可转化为求球半径的问题解决 .由与球相关的三视图计算表面积与体积题型二答
40、案 : (1)D (2)3题后反思 由与球有关的三视图求简单组合体的表面积或体积时 ,最重要的是还原组合体 ,并弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含义 ,根据组合体的结构特征及数据计算其表面积或体积 .即时训练 2-1:(1)一个几何体的三视图 (单位 :m)如图所示 ,则该几何体的体积为 m3. (2)如图是一个几何体的三视图 ,则该几何体的表面积为 . 组合体的表面积与体积题型三【 教师备用 】1.若半径为 R的球内接一长、宽、高分别为 a、 b、 c的长方体 ,则球半径 R与 a、b、 c有何关系 ?2.若半径为 R的球内切于棱长为 a的正方体 ,则球半径 R与棱长 a有什么关系 ?提
41、示 :球的直径为正方体的棱长 ,即 2R=a.题后 反思 解决几何体与球相切或相接的策略 :(1)要注意球心的位置 ,一般情况下 ,由于球的对称性球心在几何体的特殊位置 ,比如 ,几何体的中心或长方体对角线的中点等 .(2)解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径 ,关键是根据 “ 切点 ” 和 “ 接点 ” ,作出轴截面图 ,把空间问题转化为平面问题来计算 .章末总结 网络建构主题串讲网络建构网络点拨1.一个思路 :空间问题平面化2.一种思想 :转化与化归思想3.两个图形 :三视图与直观图4.两种题型 :表面积与体积5.两种方法 :侧面展开与割补主题串讲一、空间几何体的结构
42、特征【 典例 1】 根据下列对几何体结构特征的描述 ,说出几何体的名称 .(1)由六个面围成 ,其中一个面是正五边形 ,其余各面是有公共顶点的三角形 ;(2)一个等腰梯形绕着两底边中点的连线所在的直线旋转 180 形成的封闭曲面所围成的图形 ;(3)一个直角梯形绕较长的底边所在的直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体 .解 : (1)由棱锥的几何特点知几何体是五棱锥 .(2)两底边中点的连线与两底垂直 ,因此旋转得到的几何体是圆台 .(3)绕较长的底边所在直线旋转一周形成的几何体是一圆柱与一圆锥组成的组合体 .规律方法 有关空间几何体的概念辨析问题 ,要紧紧围绕基本概念、结构特征逐条验证 ,且勿
43、想当然做出判断 .(2)(2015山西忻州高二期中 )如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为 45, 腰和上底均为 1的等腰梯形 ,那么原平面图形的面积是 . 规律方法 (1)由三视图还原几何体时 ,要根据几何体的正视图、侧视图、俯视图的几何特征 ,想象整个几何体的特征 ,从而判断三视图所描述的几何体.(2)有关直观图的计算问题 ,关键是把握直观图与原图形的联系 .规律方法 由几何体的三视图求几何体的体积、表面积问题 ,一般情况下先确定几何体的结构特征 ,再由三视图中的数据确定几何体中的相关数据,代入公式求解即可 .规律方法 (1)与球有关的组合体 ,一种是内切 ,一种是外接 ,解题
44、时要认真分析图形 ,充分发挥空间想象能力 ,做到以下几点 : 明确切点和接点的位置 ; 确定有关元素间的数量关系 ; 作出合适的截面图 .(2)一般地 ,作出的截面图中应包括每个几何体的主要元素 ,能反映出几何体与球体之间的主要位置关系和数量关系 ,将立体问题转化为平面问题解决 .第三章 直线与方程3.1 直线的倾斜角与斜率3.1.1 倾斜角与斜率自主预习课堂探究自主预习1.理解直线的倾斜角与斜率的概念 .2.掌握倾斜角与斜率的对应关系 .3.掌握过两点的直线的斜率公式 .课标要求知识梳理1.直线的倾斜角(1)直线 l的倾斜角的定义当直线 l与 x轴相交时 ,我们取 x轴作为基准 , 正向与直
45、线 l 方向之间所成的角 叫做直线 l的倾斜角 .(2)倾斜角的范围 :当直线 l与 x轴 时 ,我们规定它的倾斜角为 0. 因此 ,直线的倾斜角 的取值范围为 .x轴 向上平行或重合00时 , 的范围是 ;当 k0时 , 的范围是 . 题后反思 (1)根据定义求直线的倾斜角的关键是根据题意画出草图 ,则直线向上的方向与 x轴的正方向所成的角 ,即为直线的倾斜角 .(2)直线的斜率 k随倾斜角 增大时的变化情况 : 当 090 时 ,随 的增大 ,k在 0,+) 范围内增大 ; 当 90180 时 ,随 的增大 ,k在 (-,0) 范围内增大 .斜率公式的应用题型二【 教师备用 】斜率公式与两
46、点顺序有关吗 ?与 x轴或 y轴平行时 ,斜率公式适用吗 ?题后反思 利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项(1)运用公式的前提条件是 “ x1x 2”, 即直线不与 x轴垂直 ,因为当直线与 x轴垂直时 ,斜率是不存在的 ;(2)斜率公式与两点 P1,P2的先后顺序无关 ,也就是说公式中的 x1与 x2,y1与 y2可以同时交换位置 .即时训练 2-1:设 A(m,-m+3),B(2,m-1),C(-1,4),直线 AC的斜率等于直线 BC的斜率的 3倍 ,求实数 m的值 .【备用例 2】 求经过 A(m,3),B(1,2)两点的直线的斜率 ,并指出倾斜角 的取值范围 .直线的斜率的应用题型三
47、【 例 3】 已知直线 l过点 P(-1,2),且与以 A(-2,-3),B(3,0)为端点的线段相交 ,求直线 l的斜率的取值范围 .题后 反思 探究直线过定点旋转求直线的倾斜角或斜率的范围时 ,一般按以下规律求解 .直线绕定点由与 x轴平行 (或重合 )位置按逆时针方向旋转到与 y轴平行 (或重合 )时 ,斜率由 0逐渐增大到 +; 按顺时针方向时 ,斜率由 0逐渐减小到 -. 这种方法既可定性分析倾斜角与斜率的关系 ,也可以定量求解斜率和倾斜角的取值范围 .【 备用例 3】 已知三点 A(0,-1),B(1,2),C(2,5).求证 :三点在同一直线上 .3.1.2 两条直线平行与垂直的
48、判定 自主预习课堂探究自主预习1.理解两条直线平行或垂直的条件 .2.会利用斜率判断两条直线平行或垂直 .课标要求知识梳理设 两条不重合的直 线 l1、 l2的斜率分 别为 k1、 k2,若 l1l 2,则 k1 k2;反之 ,若 k1=k2,则 l1 l2.特 别 地 ,若两条不重合的直 线 的斜率不存在 ,则这两条直 线 也平行 .1.两条直线平行的判定2.两条直线垂直的判定如果两条直 线 都有斜率 ,且它 们 互相垂直 ,那么它 们 的斜率之 积 等于 ;反之 ,如果它 们 的斜率之 积 等于 ,那么它 们 互相垂直 ,即 l1l 2,l1l 2 .=-1-1 k1k2=-1k1k2=-
49、1自我检测BC B 已知直 线 l1,l2的斜率分 别为 k1,k2,且 k1=2,l1l 2,则k2= . 4.(两直线垂直关系 )答案 :2课堂探究两条直线的平行关系题型一【 教师备用 】1.两条直线平行其倾斜角什么关系 ?反之呢 ?提示 :两条直线平行其倾斜角相等 ;反之不成立 .2.有人说 :两条直线平行 ,斜率一定相等 .这种说法对吗 ?提示 :不对 ,若两直线平行 ,只有在它们都存在斜率时 ,斜率相等 ,若两直线都垂直于 x轴 ,虽然它们平行 ,但斜率都不存在 .根据下列 给 定的条件 ,判断直 线 l1与直 线 l2是否平行 .(1)l1经过 点 A(2,1),B(-3,5),l
50、2经过 点 C(3,-3),D(8,-7);(2)l1经过 点 E(0,1),F(-2,-1),l2经过 点 G(3,4),H(2,3);(3)l1的 倾 斜角 为 60,l 2经过 点 M(1, ),N(-2,-2);(4)l1平行于 y轴 ,l2经过 点 P(0,-2),Q(0,5).【 例 1】题后反思 判断两条不重合直线是否平行的步骤两条直线的垂直关系题型二【 教师备用 】如果两条直线垂直 ,则它们的斜率的积一定等于 -1吗 ?提示 :不一定 .若两条直线的斜率都存在 ,它们垂直时斜率之积是 -1,但若两条直线它们的斜率一个是 0,另一个不存在时 ,两条直线也互相垂直 ,但斜率的积不为
51、 -1.【 例 2】 已知 ABC三个顶点坐标分别为 A(-2,-4),B(6,6),C(0,6),求此三角形三边的高所在直线的斜率 .题后反思 使用斜率公式解决两直线垂直问题的步骤(1)首先查看所给两点的横坐标是否相等 ,若相等 ,则直线的斜率不存在 ,若不相等 ,则将点的坐标代入斜率公式 .(2)求值 :计算斜率的值 ,进行判断 .尤其是点的坐标中含有参数时 ,应用斜率公式要对参数进行讨论 .总之 ,l1与 l2一个斜率为 0,另一个斜率不存在时 ,l1l 2;l1与 l2斜率都存在时,满足 k1 k2=-1.已知直 线 l1经过 点 A(3,a),B(a-2,-3),直 线 l2经过 点
52、 C(2,3),D(-1,a-2),如果 l1l 2,则 a= . 即时训练 2-1:答案 :5或 -6直线平行与垂直关系的应用 题型三【 例 3】 已知长方形 ABCD的三个顶点的坐标分别为 A(0,1),B(1,0),C(3,2),求第四个顶点 D的坐标 .题后 反思 利用平行、垂直关系式的关键在于正确求解斜率 ,特别是含参数的问题 ,必须要分类讨论 ;其次要注意的是斜率不存在并不意味着问题无解 .即时训练 3-1:已知平行四边形 ABCD的三个顶点的坐标分别为 A(0,1),B(1,0),C(4,3),则顶点 D的坐标为 . 【 备用例 2】 已知 A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0)四点 ,若顺次连接A,B,C,D四点 ,试判定图形 ABCD的形状 .【 备用例 3】 如图所示 ,P是正方形 ABCD的对角线 BD上一点 ,四边形 PECF是矩形 ,求证 :PAEF.
