1、高 等 数 学,E-mail:,主讲：杨莉,第五节,一、有向曲面及曲面元素的投影,二、对坐标的曲面积分的概念与性质,三、对坐标的曲面积分的计算法,四、两类曲面积分的联系,机动 目录 上页 下页 返回 结束,对坐标的曲面积分,第十一章,观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的),曲面分上侧和下侧,曲面分内侧和外侧,一、有向曲面及曲面元素的投影,曲面的分类:,1.双侧曲面;,2.单侧曲面.,典型双侧曲面,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,其方向用法向量指向,方向余弦, 0 为右侧 0 为左侧,封闭曲面, 0 为前侧 0 为后侧, 0 为上侧 0 为下侧,外侧 内侧,侧的规定,指定了侧的曲面叫有向曲面,表示:
2、（上前右取正！下后左取负。）,机动 目录 上页 下页 返回 结束,曲面法向量的指向决定曲面的侧.,类似地可定义,设 为有向曲面,面积,在 xoy 面上的投影记为,的面积为,则规定,如果,是一平面图形，其面积仍记为,当,是一曲面图形时，在微小的情况下，可以“以平,，则,在P点的方向余弦为,则,取,平代曲”，,1.实例: 流向曲面一侧的流量.,二、 对坐标的曲面积分的概念与性质,1) 大化小,则该点流速为 .,法向量为 .,3) 近似和,4)取极限,积分曲面,被积函数,有向面积元,类似可定义,组合形式:,存在条件:,物理意义:,性质:,由定义可知对坐标的曲面积分具有与 对坐标的曲线积分相类似的性质
3、,1 可加性,2 反向性,三、对坐标的曲面积分的计算法,注意:对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧.,这就是把对坐标的曲面积分化成二重积分的计算公式,概括为：,代：将曲面的方程表示为二元显函数，然后代入被积函数，将其化成二元函数,投：将积分曲面投影到与有向面积元素（如dxdy） 中两个变量同名的坐标面上（如xoy 面）,定号： 由曲面的方向，即曲面的侧确定二重积分的正负号,一代、二投、三定号,注,积分曲面的方程必须表示为单值显函数否则分片计算，结果相加,确定正负号的原则：曲面取上侧、前侧、右侧时为正曲面取下侧、后侧、左侧时为负,例1 计算,所截得的在第一卦限的部分的前侧,解,解,例2,思考:
4、 下述解法是否正确:,例2. 计算曲面积分,其中 为球面,外侧在第一和第八卦限部分.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3 计算,平面 x = 0 , y = 0 , z = 0 , x + y + z = 1 所围成的 空间区域的整个边界曲面的外侧,o,x,y,z,解,分成四个部分,左侧,下侧,后侧,上侧,同理,同理,注,对坐标的曲面积分的对称性,被积表达式具有轮换对称性，即将被积表达式中的所有字母按,x,y,z,顺序代换后原式不变,积分曲面及其侧具有对称性，这是指曲面在各坐标面上的投影区域均相同，且配给的符号也相同,四、两类曲面积分之间的联系,两类曲面积分之间的联系,例4,解,注,此例
5、的解法具有普遍性,内容小结,定义:,1. 两类曲面积分及其联系,机动 目录 上页 下页 返回 结束,性质:,联系:,思考:,的方向有关,上述联系公式是否矛盾 ?,两类曲线积分的定义一个与 的方向无关, 一个与 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 常用计算公式及方法,面积分,第一类 (对面积),第二类 (对坐标),二重积分,统一积分变量,代入曲面方程 (方程不同时分片积分),确定积分域,把曲面积分域投影到相关坐标面,注：二重积分是第一类曲面积分的特殊情况.,转化,机动 目录 上页 下页 返回 结束,当,时，,（上侧取“+”, 下侧取“”),类似可考虑在 yoz 面及 zox 面上的二重积分转化公式.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考题,思考题解答,此时 的左侧为负侧，,而 的左侧为正侧.,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,
