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概率论与数理统计第六章 统计量,样本及抽样分布.ppt

1、数理统计学是一门应用性很强的学科. 它是研究怎样以有效的方式收集、 整理和分析带有随机性的数据,以便对所考察的问题作出推断和预测.,由于大量随机现象必然呈现它规 律性,只要对随机现象进行足够多次 观察,被研究的规律性一定能清楚地 呈现出来.,客观上, 只允许我们对随机现象 进行次数不多的观察试验 ,我们只 能获得局部观察资料.,第一节 随机样本,在数理统计中,不是对所研究的对象全体 ( 称为总体)进行观察,而是抽取其中的部分(称为样本)进行观察获得数据(抽样),并通过这些数据对总体进行推断.,数理统计方法具有“部分推断整体”的 特征 .,在数理统计研究中,人们往往研究有关对象的某一项(或几项)

2、数量指标和为此,对这一指标进行随机试验,观察试验结果全部观察值,从而考察该数量指标的分布情况.这时,每个具有的数量指标的全体就是总体.每个数量指标就是个体.,一个统计问题总有它明确的研究对象.,1.总体,研究对象的全体称为总体,,总体,一、总体和样本,总体中所包含的个体的个数称为总体的容量.,总体中每个成员称为个体,,总体,有限总体,无限总体,因此在理论上可以把总体与概率分布等同起来.,我们关心的是总体中的个体的某项指标(如人的身高、灯泡的寿命,汽车的耗油量) .,由于每个个体的出现是随机的,所以相应的数量指标的出现也带有随机性 . 从而可以把这种数量指标看作一个随机变量X ,因此随机变量X的

3、分布就是该数量指标在总体中的分布.,总体就可以用一个随机变量及其分布来描述.,例如:研究某批灯泡的寿命时,关心的数量指标就是寿命,那么,此总体就可以用随机变量X表示,或用其分布函数F(x)表示.,X:某批 灯泡的寿命,总体,寿命 X 可用一概率分布 (如指数分布)来刻划,鉴于此,常用随机变量的记号 或用其分布函数表示总体. 如 说总体X或总体F(x) .,类似地,在研究某地区中学生的营养状况时 ,若关心的数量指标是身高和体重,我们用X 和Y 分别表示身高和体重,那么此总体就可用二维随机变量(X,Y)或其联合分布函数 F(x,y)来表示.,统计中,总体这个概念的要旨是:总体就是一个概 率分布.,

4、参数的分布,为推断总体分布及各种特征,按一定规则从总体中抽取若干个体进行观察试验,以获得有关总体的信息 ,这一抽取过程称为 “抽样”,所抽取的部分个体称为样本. 样本中所包含的个体数目称为样本容量.,2. 样本,从国产轿车中抽5辆进行耗油量试验,样本容量为5,抽到哪5辆是随机的,总体分布一般是未知,或只知道是包含未知,一旦取定一组样本X1, ,Xn ,得到n个具体的数 (x1,x2,xn),称为样本的一次观察值,简称样本值 .,n称为这个样本的容量.,最常用的一种抽样叫作“简单随机抽样”,其特点:,1. 代表性: X1,X2,Xn中每一个与所考察的总体有相同的分布.,2. 独立性: X1,X2

5、,Xn是相互独立的随机变量.,定义:,由简单随机抽样得到的样本称为简单随机样本,它可以用与总体独立同分布的n个相互独立的随机变量X1,X2,Xn表示.,=F(x1) F(x2) F(xn),=f(x1) f(x2) f(xn),若总体的分布函数为F(x)、概率密度函数为f(x),则其简单随机样本的联合分布函数为,其简单随机样本的联合概率密度函数为,事实上我们抽样后得到的资料都是具体的、确定的值. 如我们从某班大学生中抽取10人测量身高,得到10个数,它们是样本取到的值而不是样本. 我们只能观察到随机变量取的值而见不到随机变量.,3. 总体、样本、样本值的关系,统计是从手中已有的资料-样本值,去

6、推断总体的情况-总体分布F(x)的性质.,总体分布决定了样本取值的概率规律,也就是样本取到样本值的规律,因而可以由样本值去推断总体.,样本是联系二者的桥梁,总体:研究对象的全体称为总体,个体:总体中每个成员称为个体,由简单随机抽样得到的样本称为简单随机样本,它可以用与总体X独立同分布的n个相互独立的随机变量 X1,X2,Xn表示, n为样本容量, 其观察值为,统计模型:,小结,第三节 样本及抽样分布,统计量 统计三大抽样分布 几个重要的抽样分布定理,由样本值去推断总体情况,需要对样本值进行“加工”,这就要构造一些样本的函数,它把样本中所含的(某一方面)的信息集中起来.,1. 统计量,这种不含任

7、何未知参数的样本的函数 称为统计量. 它是完全由样本决定的量,其取值(观察值)是,一、统计量,几个常见统计量,样本平均值,它反映了总体均值 的信息,样本方差,它反映了总体 方差的信息,样本标准差,常用的统计量,它反映了总体k 阶矩的信息,样本k阶原点矩,样本k阶中心矩,k=1,2,它反映了总体k 阶 中心矩的信息,请注意 :,二、统计三大抽样分布,定义: 设 相互独立, 都服从正态分布 N(0,1), 则称随机变量:,分布是由正态分布派生出来的一种分布.,概率密度函数为:,由定义可见,,3、F分布,F(n2,n1),三、几个重要的抽样分布定理,定理 1 (样本均值的分布),n取不同值时样本 均值 的分布,请注意 :,定理 2 (样本方差的分布),n取不同值时 的分布,定理 3 (样本均值的分布),常用的统计量,样本平均值,样本方差,样本标准差,样本k阶原点矩,小结,抽样分布,t 分布,F分布,抽样分布定理,样本均值的分布,样本方差、均值的分布,

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