1、第一章,分析基础,函数,极限,连续, 研究对象, 研究方法, 研究桥梁,函数与极限,第一章,二、映射,三、函数,一、集合,第一节,映射与函数,一、 集合,1. 定义,具有某种特定性质的事物的总体称为集合. 通常用英文大写字母表示.,注: M 为数集,表示 M 中排除 0 的集 ;,表示 M 中排除 0 与负数的集 .,2. 数集,p 与 q 互质,不含任何元素的集合称为空集 ,记作 .,3. 关系,4. 运算,补集,直积,或,并集,5. 区间,开区间,闭区间,无限区间,半开区间,6. 邻域,点的 邻域,其中, a 称为邻域中心 , 称为邻域半径 .,去心 邻域,左 邻域 :,右 邻域 :,设
2、X , Y 是两个非空集合,若存在一个对应规,则 f ,使得,有唯一确定的,与之对应,则称,f 为从 X 到 Y 的映射,记作,元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的像,记作,元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的原像 .,集合 X 称为映射 f 的定义域 ;,Y 的子集,称为 f 的 值域 .,二、 映射,1. 定义,2. 满射、单射、双射,对映射,若, 则称 f 为满射;,若,有,则称 f 为单射;,若 f 既是满射又是单射,则称 f 为双射 或一一映射.,X (数集 或点集 ),说明:,在不同数学分支中有不同的惯用,X ( ),Y (数集),f 称为X 上的泛函,X ( ),X,f
3、称为X 上的变换,R,f 称为定义在 X 上的函数,映射又称为算子.,名称. 例如,定义域,三、函数,1. 定义,设数集,则称映射,为定义,在D 上的函数 ,记为,称为值域,函数图形:,自变量,因变量,点集,(对应规则),(值域),(定义域),例如, 反正弦主值,定义域,对应规律的表示方法:,解析法,、图像法,、列表法,使表达式或实际问题有意义的自变量集合.,定义域,值域,又如, 绝对值函数,定义域,值 域,对实际问题, 书写函数时必须写出定义域；,2. 函数的几种特性,设函数,且有区间,(1) 有界性,使,称,使,称,说明: 还可定义有上界、有下界、无界 .,(2) 单调性,为有界函数.,在
4、 I 上有界.,使,若对任意正数 M , 均存在,则称 f ( x ) 无界.,称 为有上界,称 为有下界,当,称,为 I 上的,称,为 I 上的,单调增函数 ;,单调减函数 .,(见 P11 ),(3) 奇偶性,且有,若,则称 f (x) 为偶函数;,若,则称 f (x) 为奇函数.,说明: 若,在 x = 0 有定义 ,为奇函数时,则当,必有,例如,奇函数,双曲正弦,记,再如,奇函数,双曲正切,记,说明: 给定,则,偶函数,奇函数,偶函数,双曲余弦,记,又如,(4) 周期性,且,则称,为周期函数 ,若,称 l 为周期,( 一般指最小正周期 ).,周期为 ,周期为,注: 周期函数不一定存在最
5、小正周期 .,例如, 常量函数,狄利克雷函数,x 为有理数,x 为无理数,3. 反函数与复合函数,(1) 反函数的概念及性质,若函数,为单射,则存在一新映射,习惯上,的反函数记成,称此映射,为 f 的反函数 ., 其反函数,(减),(减) .,1) yf (x) 单调递增,且也单调递增,性质:,使,其中,2) 函数,与其反函数,的图形关于直线,对称 .,例如 ,对数函数,互为反函数 ,它们都单调递增,指数函数,(2) 复合函数,则,设有函数链,称为由, 确定的复合函数 ,u 称为中间变量.,注意: 构成复合函数的条件,不可少.,例如, 函数链 :,但可定义复合函数,时, 虽不能在自然域 R下构
6、成复合函数,可定义复合函数,当改,两个以上函数也可构成复合函数.,例如,可定义复合函数:,约定: 为简单计, 书写复合函数时不一定写出其定义域,默认对应的函数链顺次满足构成复合函数的条件.,4. 初等函数,(1) 基本初等函数,幂函数、,指数函数、,对数函数、,三角函数、,反三角函数,(2) 初等函数,由常数及基本初等函数,否则称为非初等函数 .,例如 ,并可用一个式子表示的函数 ,经过有限次四则运算和复合步,骤所构成 ,称为初等函数 .,可表为,故为初等函数.,又如 , 双曲函数也是初等函数 .,非初等函数举例:,符号函数,当 x 0,当 x = 0,当 x 0,取整函数,当,其中 表示不超过x的最大整数部分.,(见 P9 ),内容小结,1. 集合及映射的概念,定义域 对应规律,3. 函数的特性,有界性, 单调性, 奇偶性, 周期性,4. 初等函数的结构,2. 函数的定义及函数的二要素,第二节,
