1、第三章 向量组与向量空间, 3.1 向量组的线性相关性,3.2 向量组的极大线性无关组,3.3 向 量 空 间,3.4 内积与向量组的正交化,定义：有序数组,称为一个n维向量.,维向量写成一行，称为行向量，也就是行 矩阵，通常用 等表示，如：,维向量写成一列，称为列向量，也就是列 矩阵，通常用 等表示，如：,时， 维向量没有直观的几何形象,前面虽然已将向量作为了矩阵的一种特例，,向量本身是独立于矩阵之外的，它有自己的一套完整,的内容体系，具有自己独特的一些性质。,但事实上，,特殊向量：,零向量：,负向量：,n维单位向量组（e为基本向量）：,注意：,行向量和列向量总被看作是两个不同的向量；,行向
2、量和列向量都按照矩阵的运算法则进行运算；,当没有明确说明是行向量还是列向量时，都当作列向量.,向量与矩阵的联系：,方程组的向量式：,方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应,一、线性组合, 3.1 向量组的线性相关性,引例 设,求,解：,称,是,的一个线性组合；,或称,可由,线性表示（表出）。,定义：对于n维向量,线性表示（表出）。,将 b 表示为向量组 的线性组合。,例,设,即,求解得,故,是,的一个线性组合；,例,（齐次方程组至少有一个零解）,二、线性相关性（相关与无关）,定义 对于n维向量组,若存在一组不全为零的数,使得,成立，则称,线性相关；,否则，称,注1：相关:,不全为零;,线性无关
3、。,注2：无关:,齐次线性方程组,（有非零解）,（只有零解）,证明：,例1 判断向量组的线性相关性,解：,则有,另解,无关,证：,定理1 (相关性与线性组合间的关系),三、性质,其中至少有一个向量可由其余m-1个向量表示。,线性相关的充要条件是,其余m-1个向量的线性组合,不妨设,使,则有不全为零的系数,中的系数不全为零,不妨设,km 0,则有,反之,假定,若向量组中有部分向量相关，则整个向量组相关；,若向量组无关，则它的任何部分向量组都无关。,若向量组相关，则去掉一些分量后的向量组仍相关；,若向量组无关，则增加一些分量后的向量组仍无关。,定理2（向量个数增减）,定理3（向量分量增减）,则向量
4、组 线性无关。,则向量组 线性无关。,定理4（相关性与唯一线性表示）,证（）,（）设,(1),由题设得，,已知 线性相关，有,则.,例,相关与唯一组合：,若,线性相关，,线性无关，,可由,则,唯一线性表示。,复习向量间的线性关系,一、线性组合：定义、判定法（解非齐次线性方程组）,二、线性相关性：定义、判定法（解齐次线性方程组）,三、线性相关性质：,1.单个向量：零向量相关；非零向量无关。,2.两个向量：对应分量成比例相关；否则无关。,相关与组合关系：存在组合必相关；相关必存在组合。,个数增减：部分相关，整体相关；整体无关，部分无关。,分量增减：部分无关，增加无关；增加相关，部分相关。,相关与行
5、列式：n 个n维向量相关充要条件是行列式为零。,3.2 向量组的极大线性无关组,上一节讨论了向量组的线性相关与线性无关的概念，其,中线性无关也称为线性独立。,系数及右端项构成行向量，则线性相关与线性无关的概念实,反映了线性方程组中各个方程是否关联或是否独立。,本节将讨论如果一个给定的向量组线性相关，那么，,(1) 该向量组中到底有多少个向量是独立的？,(2) 具体哪些向量是独立的？,(3) 其余的向量是如何由这些独立向量组合出来的？,如果以线性方程组中各方程的,引例 判定向量组,解：,及其部分组的线性相关性。,全部线性无关。,线性相关；,不成比例，线性无关；,对应分量,三个向量的向量组全部线性
6、相关；,等价定义,一 极大无关组概念,注意 ：仅有零向量的组无极大无关组；,一个线性无关向量组本身就是极大无关组；,含非零向量的向量组必有极大无关组； 一般极大无关组不唯一。,的极大线性无关组是：,引例中，向量组：,进一步，,定义,二 向量组的等价,设有两个向量组,即,定理2,推论1,注意,向量组与其极大无关组的关系,定理1 向量组与其任一极大无关组等价。,推论 向量组的任意两个极大无关组等价。,证明定理2：,=0,=0,因为 s t,该方程组有非零解,证：,由,代入 得：,推论2,证明：,推论3 等价无关向量组所含向量个数相等。,注意：同一向量组的极大无关组可能不唯一；但极大无关组所含的向量
7、个数唯一。,证明：由推论1可得。,推论4 向量组的极大无关组所含向量个数相等。,（n+1个n维向量必线性相关）,三 向量组的秩,定义 向量组的极大无关组所含的向量个数r称为该向量组的秩。记为,显然,定理3 等价向量组秩相等。,则,线性无关（相关）。,（逆命题不成立。）,四、矩阵秩与向量组秩的关系,定义 A的行（列）向量组的秩称为A的行（列）秩。,例如,定理1：初等行（列）变换不改变矩阵列（行）向量间的线性关系和线性组合关系.,定理2：矩阵A的行秩=列秩=矩阵A的秩。,推论,设A为mn矩阵,秩r(A)=r,证明,连接,证明：若,返回,步骤三：,步骤四：,（初等行变换不改变矩阵列向量间的线性关系）,步骤二：,步骤一：,最简行阶梯形,应用题型：,例1,解：将向量列排构成行分块矩阵，再作行变换。,T,T,T,T,练习,解：将向量列排构成行分块矩阵，再作行变换。,
