1、1第 30 课 正弦定理与解三角形(本课时对应学生用书第 页)自主学习 回归教材1.(必修5 P7例1改编)设锐角三角形 ABC的内角 A， B， C的对边分别为 a， b， c，若 a=2bsin A，则角 B= .【答案】6【解析】由正弦定理，可得sin A=2sin Bsin A，sin B=12.由 B为锐角，得 B=6.2.(必修5 P8练习1改编)在 ABC中，已知 BC=12， A=60， B=45，那么 AC= .【答案】4 6【解析】利用正弦定理CBsin= ，得 AC=4 6.3.(必修5 P11习题6改编)在 ABC中，若 a=2， b=3， C=，则 ABC的面积为 .
2、【答案】32【解析】 S ABC=1absin C= 2231=32.4.(必修5 P7例2改编)在 ABC中，若 a=4 ， c=4， C=30，则角 A= .【答案】60或120【解析】由正弦定理 sinA=cC，得sin A=sinc=1432= ，所以角 A=60或120.25.(必修5 P10练习5改编)在 ABC中，若 A=60， a= 3，则 sinabAB= .【答案】2【解析】由正弦定理 sina=bB=2R，得 sinbB=2R=32=2.1.利用平面几何知识及三角函数知识可以证明正弦定理.正弦定理： sinaA=bB=sincC=2R(其中 R为 ABC的外接圆的半径，下
3、同).变式：(1) a=2Rsin A， b=2Rsin B， c=2Rsin C； (2)sin A= 2，sin B= ，sin C= ；(3)a b c=sin Asin Bsin C； (4)sin= =sin= sinabc(合比性质).2.利用正弦定理，可以解决以下两类解斜三角形的问题：(1)已知两角与任一边，求其他两边和一角；(2)已知两边与其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角).对于“已知两边与其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角)”的题型，可能出现多解或无解的情况.验证解的情况可用数形结合法.如：已知 a， b和 A，用正弦定理求
4、B时解的情况如下：若 A为锐角，则ab 一解3.由正弦定理，可得三角形面积公式：S ABC=12absin C= bcsin A=12acsin B= 4cR=12r(a+b+c)(r为内切圆半径).4.三角形内角定理的变形：由 A+B+C=，知 A=-( B+C)，可得出：sin A=sin(B+C)，cos A=-cos(B+C).而 2=-，有sin 2=cos，cos 2A=sinBC.【要点导学】要点导学 各个击破利用正弦定理判断三角形的形状4例1 在 ABC中，已知 b=asin C， c=asin B，试判断 ABC的形状.【思维引导】减少角或边的个数，本题可减少边 a；边角化为
5、同一形式，如题中可把边化为角；高次可降次，如题中的单角化为倍角等.【解答】由 b=asin C， c=asin B，得 c=sin.由正弦定理得sin= =is，所以sin 2B=sin2C.所以1-cos=-，所以cos 2 B=cos 2C.又 B， C是三角形的内角，所以2 B=2C，所以 B=C.由 b=asin C，得sin B=sin Asin C，所以sin A=1，所以 A=2，所以 ABC是等腰直角三角形.【精要点评】三角形形状的判断方向主要有等腰、等边、直角、锐角、钝角三角形等；主要的判断方法是借助三角函数中的各个定理及运算公式，考查边角的等量关系等.变式 在 ABC中，已
6、知 a=2bcos C，求证： ABC为等腰三角形.【解答】因为 a=2bcos C，所以由正弦定理，得2 Rsin A=4Rsin Bcos C，所以2cos Csin B=sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C.所以sin Bcos C-cos Bsin C=0，即sin( B-C)=0，所以 B-C=k( k Z).又 B， C是三角形的内角，所以 B=C，即 ABC为等腰三角形.5利用正弦定理解三角形例2 在 ABC中，根据下列条件解三角形： (1)c= 6， A=45， a=2；(2)c= ， A=45， a=2；(3)c=3， A=45， a=2.
7、【思维引导】三小题均属于“已知两边及其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他边和角)”的题型，要先求sin C.【解答】(1)因为 c= 6， A=45， a=2，所以由 sina= ，得sin C=32.所以 C=60或 C=120.当 C=60时， B=75， b=sinc=06i75= 3+1；当 C=120时， B=15， b=is=0si1= -1.(2)同(1)可得sin C=12，所以 C=30或 C=150.又因为 C+A1，所以此三角形无解.【精要点评】解三角形问题首先要判断是否会出现多解或无解的情况：对于“已知两角与任一边，求其他两边和一角”的题型不可能有多个解，
8、也不可能无解；对于“已知两边与其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他边和角)”的题型，可能出现多解或无解的情况.验证解的情况可用数形结合法.例3 (2015湖南卷)设 ABC的内角 A， B， C的对边分别为 a， b， c，若 a=btan A.6(1)求证：sin B=cos A；(2)若sin C-sin Acos B=34，且 B为钝角，求 A， B， C.【思维引导】(1)由题根据正弦定理结合所给已知条件可得sincoA= B，所以sin B=cos A；(2)根据两角和公式化简所给条件可得sin C-sin Acos B=cos Asin B=34，进而可得sin 2B
9、=34，结合所给角 B的范围可确定角 B的大小，进而可得角 A的大小，由三角形内角和可得角 C的大小.【解答】(1)由 a=btan A及正弦定理，得sinco=ab=siB，所以sin B=cos A.(2)因为sin C-sin Acos B=sin180-(A+B)-sin Acos B=sin(A+B)-sin Acos B=sin Acos B+cos Asin B-sin Acos B=cos Asin B，所以cos Asin B=34.由(1)知sin B=cos A，因此sin 2B=34.又因为 B为钝角，所以sin B= ，故 B=120，由cos A=sin B=32知
10、 A=30，从而 C=180-(A+B)=30.综上所述， A=30， B=120， C=30.【精要点评】解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷.如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；当以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.7变式 设 ABC的内角 A， B， C的对边分别为 a， b， c，已知cos( A-C)+cos B=1， a=2c，求角 C的大小.【解答】由 B=-( A+C)，得cos B=-cos(A+C).于是cos( A-C)+cos B=
11、cos(A-C)-cos(A+C)=2sin Asin C，由已知得sin Asin C=12. 由 a=2c及正弦定理得sin A=2sin C. 由得sin 2C= 4，于是sin C=-1(舍去)或sin C=12.又因为 a=2c，所以 C=6.利用正弦定理解三角形的面积问题例4 (2015徐州、连云港、宿迁三检)在 ABC中，角 A， B， C的对边分别为a， b， c，已知cos C=13，sin A= 2cos B.(1)求tan B的值；(2)若 c= 5，求 ABC的面积 .【解答】(1)因为cos C=13， C(0，)，所以sin C=2.因为 A+B+C=，所以sin
12、A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C=13sin B+2cos B，所以13sin B+2cos B= 2cos B，8即13sin B=2cos B，所以tan B= .(2)由(1)知tan B= 2，所以sin B=63，cos B=3.由正弦定理得 sinb=cC，所以 b=6352=1.又因为sin A= cos B=63，所以 ABC的面积为 S=12bcsin A= 152 63=524.变式 (2014南京一调)在 ABC中， a， b， c分别为角 A， B， C所对的边，且 c=-3bcos A，tan C=34.(1)求tan B的值；(2)若
13、 c=2，求 ABC的面积.【解答】(1)由正弦定理得sin C=-3sin Bcos A，即sin( A+B)=-3sin Bcos A.所以sin Acos B+cos Asin B=-3sin Bcos A.从而sin Acos B=-4sin Bcos A.因为cos Acos B0，所以tan=-4. 又tan C=-tan(A+B)=tan-1=34，9将变形代入得 23tan41B= ，解得tan B=1.(2)由(1)得sin B=5，tan A=-2，所以sin A=2，由tan C=34，得 sin C=35.由正弦定理得 a=sincA=235=4.所以 ABC的面积为
14、S=12acsin B= 25=43.1.(2015福建卷)在 ABC中，已知 AC= 3， A=45， C=75，则 BC= .【答案】 2【解析】由题意得 B=180-A-C=60，由正弦定理得 sinB= A，则 BC=sinCAB，所以BC=32= .2.在锐角三角形 ABC中，角 A， B所对的边分别为 a， b.若2 asinB= 3b，则角 A= .10【答案】3【解析】因为2 asin B= 3b，所以 2sin Asin B= 3sin B.因为sin B0，所以sin A=32，又因为 A为锐角，所以 A=.3.若sina=coBb=sC，则 ABC的形状是 .【答案】等腰
15、直角三角形【解析】由正弦定理得 a=2Rsin A， b=2Rsin B， c=2Rsin C，代入所给等式，可得tan B=tan C=1，注意到 A， B， C是 ABC的内角，所以 B=C=4，从而 ABC是等腰直角三角形.4.设 ABC的内角 A， B， C的对边分别为 a， b， c，若 b=2， B= 6， C=4，则 ABC的面积为 .【答案】1+ 3【解析】在 ABC中，由正弦定理得 c=sinbCB=21=2 .又因为 A=-( B+C)=-6- 4=712，所以sin A=264， S ABC= 2bcsin A= 22 264= 3+1.5.(2015山东卷)在 ABC中
16、，角 A， B， C所对的边分别为 a， b， c.已知cos B= ，sin( A+B)=69， ac=2 3，求sin A和 c的值.【解答】在 ABC中，由cos B=3，得sin B=63.11因为 A+B+C=，所以sin C=sin(A+B)=69，因为sin Cb，则角B= .6.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为 a， b， c.已知 bcos C+ccos B=2b，则 = .7.在ABC中，AB= 3，AC=1 ，B=30，则ABC的面积等于 . 8.已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为 a， b， c，若 bcosC+ccosB=asinA，则ABC的形状为 .二
17、、 解答题9.(2014全国卷)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为 a， b， c.已知3 acos C=2ccos A，tan A=13，求角B的大小.10.已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为 a， b， c，且 acos B-bcos A=35c，求tanAB的值.11.已知 a， b， c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，且 acos C+ 3asin C-b-c=0.(1)求角A的大小；(2)若 a=2，ABC的面积为 3，求 b+c.14三、 选做题(不要求解题过程，直接给出最终结果)12.在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为 a， b， c，若os-3cACB=-
18、ab，则sinA的值为 .13.在ABC中，已知A=3，BC=3 ，则ABC的周长的最大值为 .【检测与评估答案】第五章 解三角形第30课 正弦定理与解三角形1. 45 【解析】由正弦定理，可得 sinaA=bB，即sin B=sinbAa=2，注意到内角和为180，且 ab，所以 B=45.2. 钝角三角形3. 72【解析 】由正弦定理及 3a=2b得2sin-BA=2-ba=23-a=29-=7.4. 60或120 【解析】在 ABC中，由正弦定理可得 sinA=cC，即 02sin45=3iC，解得sin C=32，所以 C=60或120 .155. 6【解析 】由正弦定理及 asinB
19、cosC+csinBcosA=12b，得sin B(sinAcosC+sinCcosA)=12sinB，即sin 2B=1sin B，故 sinB=12.又因为 ab，所以 AB， B=6.6. 2 【解析】利用正弦定理，将 bcos C+ccos B=2b化简得sin Bcos C+sin Ccos B=2sin B，即sin( B+C)=2sin B.因为sin( B+C)=sin A，所以sin A=2sinB，利用正弦定理化简得 a=2b，故ab=2.7. 3或 4 【解析】由正弦定理有 sinACB= ，得 sin C=32，即 C=60或120，则A=90或30，所以 ABC的面积
20、为32或 4.8. 直角三角形 【解析】由 bcosC+ccosB=asinA结合正弦定理得sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA，即sin A=1，所以 A=90.9. 由题设及正弦定理得3sin Acos C=2sin Ccos A，故3tan A=2tan C.因为tan A=13，所以tan C= 2，所以tan B=tan180-(A+C)=-tan(A+C)=tan-1=-1.因为 B(0，180)，所以 B=135.10. 由 acos B-bcos A=35c及正弦定理得sin Acos B-sin Bcos A= sin C， 即sin Acos B-sin B
21、cos A=35sin(A+B)，即5(sin Acos B-sin Bcos A)=3(sin Acos B+sin Bcos A)，16即sin Acos B=4sin Bcos A，因此tan A=4tan B，所以tanA=4.11. (1) 由正弦定理及已知得sin Acos C+ 3sin Asin C=sin B+sin Csin Acos C+ 3sin Asin C=sin(A+C)+sin Csin A-cos A=1 sin(A-30)=12A=60或180(舍去) .(2) S=12bcsin A= 3bc=4.a2=b2+c2-2bccos A b+c=4.12. 3
22、 【解析】由正弦定理 sina=bB=sincC，得cos-ACB=-cb=3-iA，即(cos A-3cos C)sin B=(3sin C-sin A)cos B，化简可得，sin( A+B)=3sin(B+C)，又知 A+B+C=，所以sin C=3sin A，因此sin=3.13. 9 【解析】由正弦定理得 sinBC= =sin=3=2 ，所以 AB=2 3sin C， AC=23sin B，所以 ABC的周长 y=AB+AC+BC=2 (sin B+sin C)+3=22sin-3+3=6sin6+3.因为0 B，所以 6B+5，所以1sin 61，所以 ymax=9.1第 31
23、课 余弦定理与解三角形(本课时对应学生用书第 页)自主学习 回归教材1.(必修5 P16练习1改编)在 ABC中，若 a b c=234，则cos C= .【答案】- 4【解析】直接利用余弦定理，可得cos C=-14.2.(必修5 P15练习1改编)在 ABC中，若 a=2， b=2， c=2 2，则角 A= .【答案】45【解析】由余弦定理，得cos A=2，所以角 A=45.3.(必修5 P17练习6改编)在 ABC中，已知( a+b+c)(b+c-a)=3bc，那么角 A= .【答案】60【解析】由( a+b+c)(b+c-a)=3bc，得 b2+c2-a2=bc，所以cos A=2-
24、cab=1.因为0c.若 BA =2，cos B=13， b=3.(1)求 a和 c的值；(2)求cos( B-C)的值.【解答】(1)由 A =2，得 cacos B=2.又因为cos B=13，所以 ac=6.由余弦定理，得 a2+c2=b2+2accos B，又 b=3，所以 a2+c2=9+22=13.联立2613， ，解得 a=2， c=3或 a=3， c=2.因为 ac，所以 a=3， c=2.(2)在 ABC中，sin B=21-cos= 21-3= ，5由正弦定理，得sin C=cbsin B=23 =429.因为 a=bc，所以 C为锐角，所以cos C=21-sin=24-
25、9=7.所以cos( B-C)=cos Bcos C+sin Bsin C=379+ 4=327.结合正、余弦定理解三角形的面积问题例3 (2015陕西卷)已知 ABC的内角 A， B， C所对的边分别为 a， b， c，向量 m=(a，b)与 n=(cos A，sin B)平行 .(1)求角 A的大小；(2)若 a= 7， b=2，求 ABC的面积.【解答】 (1)因为 m n，所以 asin B- 3bcos A=0.由正弦定理，得sin Asin B- 3sin Bcos A=0，又因为sin B0，所以tan A= ，由于00，所以 c=3.故 ABC的面积 S=12bcsinA=3.
26、6方法二：由正弦定理，得7sin3=2B，从而sin B=217.又由 ab知 AB，所以cos B=27，故sin C=sin(A+B)=sin3=sin Bcos 3+cos Bsin 3=214，故 ABC的面积 S=12absin C= .【精要点评】(1)本题考查解三角形和求三角形的面积，利用正弦定理进行边角互化，继而求出角 A的大小.利用余弦定理求出 c的值，代入到三角形面积公式中求解计算.(2)高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，其中关键是三角变换，而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，核心是 “变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三
27、角公式.变式 (2014安徽卷)设 ABC的内角 A， B， C所对的边分别为 a， b， c，且b=3， c=1， ABC的面积为 2，求cos A和 a的值.【解答】由三角形面积公式，得S ABC=12bcsin A=3sin A= ，所以sin A= .因为sin 2A+cos2A=1，所以cos A= 1-sin=3.2 当cos A=3时，由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccos A=32+12-21313=8，所以a=2 .7当cos A=-13时，由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccos A=32+12-2131-3=12，所以a=2 .1.(2014福建卷)在 ABC中
28、，若 A=60， AC=2， BC= 3，则 AB= .【答案】1【解析】由余弦定理得cos A=22-CB，即1=22-(3)4AB，解得 AB=1.2.(2014苏北四市期末)在 ABC中，已知 AB=3， A=120，且 ABC的面积为154，那么 BC边的长为 .【答案】7【解析】由题意得 S ABC=12ABACsin A=34AC=153，所以 AC=5.由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2ABACcos 120=9+25-235-2=49，解得 BC=7.3.在 ABC中，内角 A， B， C所对的边分别为 a， b， c.已知 b-c=14a，2sin B=3sin C，则c
29、os A= .【答案】-14【解析】因为 2sin B=3sin C，所以 2 b=3c.又因为 b-c= 4a，所以 a=2c， b=32c，所以cos A=2-abc=229-43c=-1.84.(2015广东卷)设 ABC的内角 A， B， C的对边分别为 a， b， c.若 a=2， c=2 3，cos A=32，且 bc，则 b= .【答案】2【解析】由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccos ，所以2 2=b2+(2 3)2-2b2 3 2，即 b2-6b+8=0，解得 b=2或 b=4，因为 bc，所以 b=2.5.在 ABC中，内角 A， B， C所对的边分别为 a， b，
30、c，且 a+b+c=8.(1)若 a=2， b=52，求cos C的值；(2)若sin Acos2 +sin Bcos2 =2sin C，且 ABC的面积 S=92sin C，求 a和 b的值.【解答】(1)由题意可知 c=8-(a+b)=72.由余弦定理得cos C=2-cab=257-=-15.(2)由sin Acos2B+sin Bcos2A=2sin C，可得sin A1cos2B+sin B1cos2A=2sin C，化简，得sin A+sin Acos B+sin B+sin Bcos A=4sin C.因为sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B)=sin C，
31、所以sin A+sin B=3sin C.由正弦定理可知 a+b=3c.又 a+b+c=8，所以 a+b=6.由于 S=12absin C=9sin C，所以 ab=9，联立解得 a=3， b=3.9【融会贯通】融会贯通 能力提升已知 ABC的周长为4( 2+1)，且sin B+sin C= 2sin A.(1)求边长 a的值；(2)若 S ABC=3sin A，求角 A的余弦值.【思维引导】【规范答题】(1)根据正弦定理可将sin B+sin C= 2sin A化为 b+c= 2a3分联立方程组4(21)abc，解得 a=46分所以边长 a=47分(2)因为 S ABC=3sin A，所以1
32、2bcsin A=3sin A，则 bc=610分又由(1)可知 b+c=4 2，所以cos A=-a=2()-cba=1313分所以角 A的余弦值为1314分10趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成配套检测与评估中的练习第6162页.【检测与评估】第31课 余弦定理与解三角形一、 填空题1.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为 a， b， c.若 a=2，B=6， c=2 3，则 b= . 2.在ABC中，若 a2-c2+b2= 3ab，则角C的大小为 .3.已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为 a， b， c.若23cos 2A+cos2A=0， a=7， c=6，则 b
33、= .4.(2014江西卷)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为 a， b， c.若 c2=(a-b)2+6，C=3，则ABC的面积为 .5.在ABC中， a， b， c分别为角A，B，C所对的边，若lg( a+c)+lg(a-c)=lg b-lg1c，则角A= .6.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为 a， b， c.若( a2+c2-b2)tan B= 3ac，则角B的大小为 .7.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为 a， b， c.若 a2+b2=2c2，则cos C的最小值为 .118.已知ABC的一个内角为120，并且三边长构成公差为4的等差数列，那么ABC的面积为 .二
34、、 解答题9.(2015天津卷)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为 a， b， c，已知ABC的面积为315， b-c=2， cos A=-14.(1)求 a和sin C的值；(2)求cos26A的值.10.(2015浙江卷)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为 a， b， c.已知tan4A=2.(1)求 2sinco的值；(2)若B=4， a=3，求ABC的面积 .11.在ABC中， a2+c2=2b2，其中 a， b， c分别为角A，B，C所对的边.(1)求证：B3；(2)若B= 4，且 A为钝角，求角 A的大小.三、 选做题(不要求解题过程，直接给出最终结果)1212.有一解
35、三角形的题目因纸张破损有一个条件不清，具体如下：在ABC中，已知a= 3，2cos 2AC=( -1)cos B， c= ，求角A.(答案提示：A=60，请将条件补充完整)13.已知 a， b， c分别为ABC三个内角A，B，C的对边， a=2，且(2+ b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C，则ABC面积的最大值为 .【检测与评估答案】第31课 余弦定理与解三角形1. 2 【解析】直接用余弦定理得 b=2.2. 30 【解析】由余弦定理可得cos C=2-abc=3a= 2，所以 C=30.3. 54. 2 【解析】由余弦定理得 c2=a2+b2-2abcos C，再根据题意得
36、 -2ab+6=-ab，即 ab=6，因此 ABC的面积为1absin C=3 = .5. 120 【解析】由题意得lg( a+c)(a-c)=lgb(b+c)，所以( a+c)(a-c)=b(b+c).所以b2+c2-a2=-bc，所以cos A=2-bca=-1，所以 A=120.136. 3或2【解析】由余弦定理，得2-acb=cos B，结合已知等式得cos Btan B=，所以sin B=3，所以 B=或 3.7. 12【解析 】cos C=2-abc2-cab=1-2= .8. 15 3 【 解析】由题意可设三边长分别为 a-4， a， a+4，则由余弦定理得( a+4)2=a2+
37、(a-4)2-2a(a-4)cos 120，解得 a=10，则 S ABC=12a(a-4)sin 120=15 3.9. (1) 在 ABC中，由cos A=- 4，得sin A=54，由 bcsin A=3 15，得 bc=24.又由 b-c=2，解得 b=6， c=4.由 a2=b2+c2-2bccos A，可得 a=8.再由 sinaA=cC，得sin C= 8.(2) cosA=cos 2Acos6-sin 2Asin6=3(2cos2A-1)-sin Acos A=15-736.10. (1) 由tan 4=2，得tan A=13，所以sin2coA= 2sincoA=tan=25
38、.(2) 由tan A=13，可得sin A=10，cos A=310.又 a=3， B=4， 由正弦定理知 b=3 5.又sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=2，所以 S ABC=12absin C= 33 525=9.1411. (1) 由余弦定理得cos B=2-acb=24ca. 因为 a2+c22 ac，所以cos B1.又由0 B，得 B 3. (2) 由正弦定理得sin 2A+sin2C=2sin2B. 因为 B= 4，故 2sin2B=1，于是sin 2A=cos2C.因为 A为钝角，所以sin A=cos C=cos3-4A=sin-4，
39、解得 A=58.12. 62【解析】由题知1 +cos(A+C)=( 2-1)cos B，所以1 -cos B=( 2-1)cos B，解得cos B= ，所以 B=45.又 A=60，所以 C=75.根据正弦定理，得 03sin6= 0i75c，解得 c=62.故应填62.13. 3 【解析 】由正弦定理，可得 (2+b)(a-b)=(c-b)c，因为 a=2，所以 a2-b2=c2-bc，即b2+c2-a2=bc.由余弦定理，得cos A=2-bca=1，所以 sin A=3.又由 b2+c2-bc=4，得b2+c2=4+bc.因为 b2+c22 bc，即4 +bc2 bc，所以 bc4，
40、所以 S ABC=1bcsin A 3，即(S ABC)max= 3.1第 32 课 正弦定理与余弦定理的综合应用(本课时对应学生用书第 页)自主学习 回归教材1.(必修5 P16练习1改编)在 ABC中，若sin Asin Bsin C=7813，则cos C= .【答案】- 2【解析】由正弦定理知 a b c=7813，再由余弦定理得cos C=227-138=- .2.(必修5 P24复习题1改编)在 ABC中，内角 A， B， C的对边分别为 a， b， c.若 a2-b2= 3bc，sin C=2 3sinB，则角 A= .【答案】6【解析】由sin C=2 3sinB得 c=2 3
41、b，代入 a2-b2= 3bc得 a2-b2=6b2，所以 a2=7b2， a= 7b，所以cos A=2-bca= ，所以角 A=6.3.(必修5 P20练习3改编)如图，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔 P的南偏西75方向、距塔68 n mile的 M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的 N处，则这只船的航行速度为 n mile/h.(第3题)【答案】176224.(必修5 P26本章测试7改编)设 ABC的内角 A， B， C的对边分别为 a， b， c.若 asin A+csin C-2asin C=bsin B，则角 B= .【答案】45【解析】由正弦定理得 a2+c2-
42、 ac=b2，再由余弦定理得 b2=a2+c2-2accos B，故cos B=2，因此 B=45.5.(必修5 P19例4改编)在 ABC中，角 A， B， C所对的边分别为 a， b， c，若 a， b， c成等比数列，则角 B的取值范围为 .【答案】03，【解析】因为 a， b， c成等比数列，所以 b2=ac，所以cos B=2-acb=2-ca1，因为0 ，故甲船没有危险.以 E为圆心，半径为 的圆截直线 BD所得的弦长为 l=221-rd=2，所以乙船遭遇危险持续时间 t=230=15(h).答：甲船没有危险，乙船有危险，且在遭遇危险开始持续 15 h后脱险.解三角形中的不等关系1
43、0微课9 典型示例例4 如图，在等腰直角三角形 OPQ中， POQ=90， OP=2 2，点 M在线段 PQ上.(例4)(1)若 OM= 5，求 PM的长；(2)若点 N在线段 MQ上，且 MON=30，问：当 POM取何值时， OMN的面积最小?并求出面积的最小值.【思维导图】【规范解答】(1)在 OMP中， P=45， OM= 5， OP=2 2.由余弦定理，得 OM2=OP2+PM2-2OPPMcos 45，得 PM2-4PM+3=0，解得 PM=1或 PM=3.(2)设 POM=，060，在 OMP中，由正弦定理，得 sinOMP=sinOPM，所以 OM=0sin45()，同理 ON
44、=0sin45(7)OP，故 S OMN=12OMONsin MON= 400sin45i()(7)OP11=0001sin(45)si(3)=0001si()sin(45)cos(45)22 =20003sin()si()cs()=0011-cos(9)sin(92)44=31sin2cos=013si(3)2.因为060，所以302+30150.所以当=30时，sin(2+30)取得最大值为1，此时 OMN的面积取得最小值，即 POM=30时， OMN的面积最小，其最小值为8-4 3. 总结归纳(1)求最值首先选择适当的变量作为自变量，若动点在圆上，则选择圆心角为自变量，三角形(特别是直角
45、三角形)中常选择一锐角为自变量，最关键的是列出解析式.(2)若角是自变量，常把解析式化为 f(x)=Asin( x+)+ B的形式，求得最值. 题组强化1.若 ABC的内角满足sin A+ 2sin B=2sin C，则cos C的最小值是 .【答案】6-24【解析】由sin A+ sin B=2sin C及正弦定理可得 a+ 2b=2c，12所以cos C=2-abc=22-ab=23-8ab6-28ab=6-24，当且仅当3 a2=2b2，即 = 3时等号成立，所以cos C的最小值为6-24.2.在锐角三角形 ABC中，已知 A=2B，则ab的取值范围是 .【答案】( 23， )【解析】
46、因为 A+B+C=180， A=2B， ABC为锐角三角形，所以303时， d(t)=220)1o6tt=27t；当140， y0. APQ的面积 S=12xysin 120=34xy.16因为 xy2xy=10 000，当且仅当 x=y=100时取等号.所以当 AP=AQ=100 m时，可使三角形地块 APQ的面积最大.(2)由题意得100(1 x+1.5y)=20 000，即 x+1.5y=200.在 APQ中， PQ2=x2+y2-2xycos 120=x2+y2+xy，即 PQ2=(200-1.5y)2+y2+(200-1.5y)y=1.75y2-400y+40 000，其中00，则c
47、os A=2-bca0，因为0 3.因此角 A的取值范围是3，.1第五章 解三角形【知识网络】【考情分析】年份 试题 知识点 备注2013 第1，15，18题三角函数的性质，同角三角函数基本关系，正、余弦定理求值、求角问题，考查运算求解能力2014 第14题 正、余弦定理 结合基本不等式的运用22015 第15题 正、余弦定理，二倍角公式 求值，考查运算求解能力对三角函数、三角恒等变换、解三角形这三部分知识的考查，热衷于将三部分内容进行有效的融合.在三角形知识的背景下，去解决求值、化简与证明等问题.问题的解决大多以三角函数的基础知识为依据，以应用三角形知识及三角函数公式为主要手段，考查考生的化
48、归能力、判断求解能力及分析问题、解决实际问题的能力.【备考策略】1.有效解决学习三角知识的困难，应首先理顺三角公式的逻辑顺序，搞清内在的知识结构，要自主体验公式推导过程，从而加深对公式的记忆；其次关注三角形中的隐藏条件，如A+B+C=，sin( A+B)=sin C，cos( A+B)=-cos C，以及在 ABC中， ABsin Asin B等.2.运用正、余弦定理求解三角形时，要分清条件与目标；熟练掌握边角的互化，最好转化为只有边或只有角的问题，并注意式子的结构形式与正、余弦定理的关系.3.从已知条件出发，寻求题目条件与结论之间角或者边的差异，联想已学过的法则、定理、公式，盯住目标设法实施有效的转化，借助余弦定理或者正弦定理在条件和结论之间搭起一座合理化归的桥梁，以达到消除差异的目的.
