1、1第 45 课 一元二次不等式(含分式不等式)(本课时对应学生用书第 页)自主学习 回归教材1.(必修5 P75例1改编)不等式-3 x2+6x2的解集为 .【答案】3|-x【解析】将不等式-3 x2+6x2转化为3 x2-6x+20的解集是 x|30对于任意的 x2，+)恒成立，则实数 k的取值范围是 .2【答案】(-，- 2)( ，+)【解析】由 x2-2x+k2-20，得 k2-x2+2x+2，设 f(x)=-x2+2x+2， f(x)=-(x-1)2+3，当 x2，可求得 f(x)max=2，则 k2f(x)max=2，所以 k 或 k0或 ax2+bx+c0 =0 0)的图象一元二次
2、方程ax2+bx+c=0(a0)的根有两个相异实数根x1， x2(x10(a0)的解集x|xx2 |-Rax2+bx+c0)的解集 x|x10(ab.4.二次不等式 ax2+bx+c0的解集为R的条件是0，.二次不等式 ax2+bx+c0，方程6 x2+5x-1=0的解为 x1= 6， x2=-1.根据y=6x2+5x-1的图象，可得原不等式的解集为|-1或.4(2)原不等式变形为1x-30，即2-1x0，所以原不等式的解集为|0或.【精要点评】(1)可通过解相应一元二次方程的根，再画出相应二次函数的图象，求出不等式的解集；(2)遇到分式不等式一般有两种方法：方法一是转化变形为-xab0(a-
3、2；(2)x2-(a2+a)x+a30).【解答】(1)解不等式 x-3 -2，可得 x2或 2，得 x4；由 4或0 xa，即 a1时，不等式的解集为 x|a1，即02时，解集为|1xa；当 a=0时，解集为 x|x1；当 a1.三个“二次”的关系例2 已知函数 f(x)=2x2+bx+c(b， cR)的值域为0，+)，若关于 x的不等式 f(x)0 的解集.【解答】(1)由题设可知不等式 x2-ax-b0，即为-6 x2-5x-10，不等式-6 x2-5x-10可化为6 x2+5x+10恒成立，求实数 m的取值范围.【解答】令 t=3x(t1)，则由已知得函数 f(t)=t2-mt+m+1
4、(t(1，+)的图象恒在 x轴的上方，即=(- m)2-4(m+1)0)的零点为2和3，那么不等式 ax2-bx+c0)的零点为2和3，所以 f(x)=a(x-2)(x-3)，进而函数g(x)=ax2-bx+c=a(x+2)(x+3).又因为 a0，所以不等式 ax2-bx+cf(k)，则实数 k的取值范围为 .【答案】( lo12g9，4)【解析】由题设知 f(x)=20-1)x， ， ，所以 f(f(-2)=f(4)=9.所以原不等式等价于 f(k)0.设 f(x)=ax2+x-2a，因为 f(0)=-2a0.若 a1，则 f(1)=1-a0，矛盾.所以假设错误，故00的解集为 .(用区间
5、表示)2.不等式 2-1x0的解集为 x|-14x+a-3恒成立的 x的取值范围是 .8.(2014苏州期末)已知函数 f(x)=20-x， ， ，那么不等式 f(x2-x+1)0；命题 q：实数 x满足 x2-4x+30.(1)若 a=1，且 p q为真，求实数 x的取值范围；(2)若 p是 q成立的必要不充分条件，求实数 a的取值范围.1110.国家为了加强对烟酒的生产管理，实行征收附加税政策.现知某种酒每瓶70元，不征收附加税时，每年大约销售100万瓶.若政府征收附加税，每销售100元征税R元(叫作税率R%)，则每年产销量将减少10R万瓶.要使每年在此项经营中所收附加税不少于112万元，
6、R应怎样确定?11.(2015大同期末)已知关于 x的不等式 ax2+(a-2)x-20， aR.(1)已知不等式的解集为(-，-12，+)，求实数 a的值；(2)若不等式 ax2+(a-2)x-22 x2-3对 xR恒成立，求实数 a的取值范围.(3)解关于 x的不等式 ax2+(a-2)x-20.三、 选做题(不要求解题过程，直接给出最终结果)12.当 x(-，-1时，不等式( m-m2)4x+2x+10恒成立，则实数 m的取值范围是 .13.(2015南京三模)已知 a， t为正实数，函数 f(x)=x2-2x+a，且对任意的 x0， t，都有f(x)- a， a.若对每一个正实数 a，
7、记 t的最大值为 g(a)，则函数 g(a)的值域为 .【检测与评估答案】第八章 不 等 式第45课 一元二次不等式(含分式不等式)1.(-4，1) 【解析】由 -x2-3x+40，得 -40的解集为( -4，1) .2.0，3.0 【解析】因为解集为( -1，2)，所以由韦达定理可得-12ba，解得-1，所以a+b=0.124.(2，3) 【解析】由题意知 A=a-1， a+1， B=(- ，14， + ).因为 A B=，所以a+11，即2 0，所以 a(x-1)+x2-4x+30，令 f(a)=a(x-1)+x2-4x+3，则函数 f(a)=a(x-1)+x2-4x+3表示一条直线，所以
8、要使 f(a)=a(x-1)+x2-4x+30，则有 f(0)0， f(4)0，即 x2-4x+30且 x2-10，解得 x3或 x0，得 a0时， -12a；所以( x+1)(ax-2)0 x -1，综上可得，当 a=0时，原不等式的解集为 x|x -1；当 a0时，原不等式的解集为2|-xa或；当 -20恒成立，所以 m-m2-14x.设 t= 2x，因为x( - ， -1，所以 t2，所以 m-m2-t2-t，令 g(t)=-t2-t(t2)， g(t)=- +14 -6，所以 m-m2-6，解得 -2m3.13.(0，1)2 【解析】因为 f(x)=(x-1)2+a-1，且 f(0)=
9、f(2)=a.当 a-1 -a，即 a12时，此时恒有 a-1， a-a， a，故 t(0，2，从而它的最大值为2；当 a-1-a，即0 a 时，此时 t(0，1)且 t2-2t+a -a在 a10，时恒成立，即 t1 +-2a(不成立，舍去)或 t1 - 1a，由于0 a ，故 t(0，1) .综上， g(a)的值域为(0，1)2 .1第 46 课 简单的线性规划(本课时对应学生用书第 页)自主学习 回归教材1.(必修5P95习题11改编)若实数 x， y满足不等式组1-02xy， ，则 z=x2+y2的最小值是 .(第1题)【答案】5【解析】作出可行域如图中阴影部分所示， z=x2+y2的
10、最小值表示阴影部分(包含边界)中的点到原点的距离的最小值的平方，由图可知直线 x-y+1=0与直线 x=1的交点(1，2)到原点的距离最近，故 z=x2+y2的最小值为1 2+22=5.2.(必修5P94习题8改编)若变量 x， y满足约束条件-1325xy， ，则 z=2x+y的最大值为 .【答案】3【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，可得直线 y=x与直线3 x+2y=5的交点A(1，1)为最优解点，所以当 x=1， y=1时， zmax=3.2(第2题)3.(必修5P90习题6改编)若变量 x， y满足约束条件4-12xy， ，则 z=x+y的最小值是 .(第3题)【答案】2【解析】画
11、出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.由 z=x+y，得 y=-x+z.令 z=0，画出 y=-x的图象，当它的平行线经过A(2，0)时， z取得最小值，最小值为 zmax=2.4.(必修5P90习题6改编)若变量 x， y满足约束条件10-2yx， ，则 z=x-2y的最大值为 .【答案】3【解析】画出可行域如图中阴影部分所示，由 z=x-2y，得 y=12x- z，由图可知，当直线经过点A(1，-1)时， z最大，且最大值为 zmax=1-2(-1)=3.3(第4题)1.线性规划及其相关概念(1)目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量 x， y的解析式称为目标函数.关于 x， y
12、的一次目标函数称为线性目标函数.(2)约束条件：由 x， y的不等式(或方程)组成的不等式组称为 x， y的约束条件.关于 x， y的一次不等式或方程组成的不等式组称为 x， y的线性约束条件.(3)可行解：满足线性约束条件的解( x， y)称为可行解.(4)可行域：所有可行解组成的集合称为可行域.(5)最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解称为最优解.(6)求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题称为线性规划问题.2.解线性规划问题的步骤(1)画，即画出线性约束条件所表示的可行域；(2)移，即在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或
13、最小的直线；(3)求，即通过解方程组求最优解；(4)答，即给出答案.【要点导学】4要点导学 各个击破简单的线性规划问题例1 (2015天津卷)设变量 x， y满足约束条件-208xy， ， ，则目标函数 z=3x+y的最大值为 .【思维引导】先根据约束条件画出可行域，将 z=3x+y转化成直线 y=-3x+z，得到 z的几何意义是纵截距.通过平移直线来求出 z的最大值.(例1)【答案】9【解析】方法一：作出约束条件表示的平面区域如图中的阴影部分所示，根据目标函数的几何意义可知，目标函数在点A(2，3)处取得最大值，且 zmax=9.方法二： z=3x+y=52(x-2)+1(x+2y-8)+9
14、9，当 x=2， y=3时取得最大值.【精要点评】(1)线性规划是高考中常考的知识点，一般以客观题形式出现，基本题型是给出约束条件求目标函数的最值.(2)解决此类问题常利用数形结合， 根据约束条件画可行域时，准确作出图形是解决问题的关键.(3)要弄清与 z有关的量的几何意义.常见的结合方式有：纵截距、斜率、两点间的距离、点到直线的距离.(4)在直线平移过程中要注意目标直线的斜率与可行域中各直线斜率的比较.5变式 (2015全国卷)若变量 x， y满足约束条件-201xy， ，则 z=3x+y的最大值为 .(变式)【答案】4【解析】作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，当目标函数线平移至经
15、过可行域的顶点A(1，1)时，目标函数 z取得最大值，故 zmax=31+1=4.非线性目标函数的最值问题例2 已知变量 x， y满足约束条件-43521xy， ，试求解下列问题.(1)z=2的最大值和最小值；(2)z=yx的最大值和最小值；(3)z=|3x+4y+3|的最大值和最小值.【思维引导】(1) z的几何意义是区域中的点( x， y)到原点(0，0)的距离；(2) z的几何意义是指区域中的点( x， y)与点(-2，0)连线的斜率；(3) 5z的几何意义是表示区域中的点(x， y)到直线3 x+4y+3=0的距离.6(例2)【解答】作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，易得A(
16、1，1)，B(5，2)，C215，.(1)z=2xy表示的几何意义是可行域中的点( x， y)到原点(0，0)的距离，如图所示，zmax= 9， zmin= .(2)z= 2x表示区域中的点( x， y)与点M(-2，0)连线的斜率，如图所示.zmax=kMC=15， zmin=kMB= 7.(3)z=|3x+4y+3|=5|34|5xy，而|34|5xy表示区域中的点( x， y)到直线3x+4y+3=0的距离，如图所示， zmax=26， zmin=10.【精要点评】(1)此题中与 z有关量的几何意义不再是纵截距，而是与点到点的距离、斜率、点到直线的距离.(2)在第(3)问中 5才是点到直
17、线的距离 .变式 (2015四川卷)设实数 x， y满足约束条件21046xy，则 xy的最大值为 .【答案】257(变式)【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，在ABC区域中结合图象可知当动点在线段AC上时 xy取得最大，此时2 x+y=10.xy=12(2xy)2xy=5，当且仅当 x=52， y=5时取等号，对应点5，落在线段AC上，故最大值为5.可转化为线性规划的问题例3 已知正数 a， b， c满足5-34-lnlabc，则 a的取值范围是 .【答案】 e，7【解析】条件5-34-lnlcabc，可化为354eacbb，设ac=x， =y，则题目转化为：已知变量 x， y满足354e
18、0xy， ，求 的取值范围.8(例3)作出( x， y)所在的平面区域如图中阴影部分所示.假设在 y=ex上一点P( x0， y0)处 取得最小值.则0= ，设 g(x)=e， g(x)= 2(-1)ex，易知 x=1时， g(x)取得最小值，故此时0yx=e.当( x， y)对应点C时，y取得最大值7.所以y的取值范围为 e，7，即ba的取值范围是 e，7.变式 若变量 a， b满足约束条件318ab， ，求 u=2a的最大值.【解答】将不等式组两边同时取以3为底的对数得33log0l4ba， ，再令x=log3a， y=log3b，得04xy， ，同时令 z=log3u=2log3a-lo
19、g3b=2x-y，题目就转化为：若x， y满足约束条件 4xy， ，求 z=2x-y的最大值.9(变式)作出可行域如图中阴影部分所示，将 z=2x-y化为 y=2x-z，平移直线 y=2x-z，当直线过点A时， z取得最大值，联立34xy，解得A(1，1)，此时 zmax=21-1=1， umax=3.线性规划的实际应用问题例4 (2015陕西卷)某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1 t每种产品需原料及每天原料的可用限额如下表所示，如果生产1 t甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，求该企业每天可获得最大利润.甲 乙 原料限额A(t) 3 2 12B(t) 1 2 8【思
20、维引导】设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为 x t， y t，表示利润为 z=3x+4y，列出约束条件为0328xy， ， ，将语言文字通过建模转化为线性规划问题.10(例4)【解答】设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为 x t， y t，则利润 z=3x+4y，由题意可列不等式组03218xy， ， ，其表示的可行域如图中阴影部分所示.当直线3 x+4y-z=0过点A(2，3)时， z取得最大值 zmax=32+43=18，所以该企业每天可获得最大利润为18万元.【精要点评】(1)应用题建模是难点，线性规划类型题往往容易多了不等式或者漏了不等式.(2)在线性规划建模过程中，要注意实际应用问
21、题对定义域的要求.1.若实数 x， y满足( x+y-1)(x-y+1)0且 x-1，1，则 x+y的最大值为 .【答案】3(第1题)【解析】因为( x+y-1)(x-y+1)0，所以-10，或0，作出可行域如图中阴影部分所示.令 x+y=z，则 y=-x+z，当直线 y=-x+z平移经过点A(1，2)时， x+y取得最大值为3.2.(2015广东卷)若变量 x， y满足约束条件204xy，则 z=2x+3y的最大值为 .11(第2题)【答案】5【解析】作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，作直线 l0：2 x+3y=0，再作一组平行于 l0的直线 l：2 x+3y=z，当直线 l经过点
22、时， z=2x+3y取得最大值，由24，得4-1xy，所以点的坐标为(4，-1)，所以 zmax=24+3(-1)=5.3.已知实数 x， y满足约束条件-130xy， ，那么 z=x2+y2-2x的最小值是 .(第3题)【答案】1【解析】记目标函数为 z=x2+y2-2x=(x-1)2+y2-1.表示可行域中的点与A(1，0)的距离 d的平方减去1，易知 dmin= ，所以 z的最小值为1.124.(2014安徽卷)已知变量 x， y满足约束条件-20.xy，若 z=y-ax取得最大值的最优解不唯一，则实数 a的值为 .【答案】2或-1(第4题)【解析】方法一：画出可行域如图中阴影部分所示，
23、可知点A(0，2)，B(2，0)，C(-2，-2)，则 zA=2， zB=-2a，zC=2a-2.要使对应最大值的最优解有无数组，只需 zA=zBzC或 zA=zCzB或 zB=zCzA，解得 a=-1或2.方法二：画出可行域如图中阴影部分所示， z=y-ax可变形为 y=ax+z，令 l0： y=ax，则由题意知l0AB或 l0AC，故 a=-1或2.趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成配套检测与评估中的练习第9192页.【检测与评估】第46课 简单的线性规划一、 填空题131.在平面直角坐标系中，ABC的三个顶点为A(3，-1)，B(-1，1)，C(1，3)，则由ABC围成的区域所表示
24、的二元一次不等式组为 .2.(2015湖南卷)若变量 x， y满足约束条件1-xy，则 z=2x-y的最小值为 .3.(2015辽宁育才中学一模)已知实数 x， y满足约束条件1-0yax， ，若目标函数 z=x+y的最大值为4，则实数 a的值为 .4.已知实数 x， y满足不等式组2-043xy， ，则32xy的取值范围是 .5.(2015福建卷)已知变量 x， y满足约束条件0-2xym， ，若 z=2x-y的最大值为2，则实数 m的值为 .6.若实数 x， y满足约束条件-2045xy，则 z=|x+2y-4|的最大值为 .7.(2015南京、盐城一模)若变量 x， y满足约束条件2-0
25、3xy， ，则2 x+y的最大值为 .148.(2014福建卷)已知圆C：( x-a)2+(y-b)2=1，平面区域：-703.xy，若圆心C，且圆C与 x轴相切，则 a2+b2的最大值为 .二、 解答题9.给出的平面区域是ABC内部及边界(如图中阴影部分所示)，若目标函数 z=ax+y(a0)取得最大值的最优解有无穷多个，求 a的值及 z的最大值.(第9题)10.已知实数 x， y满足不等式组0-2.xy， ，(1)求 z1=x2+y2的最小值；(2)求 z2=-的取值范围.11.为保增长、促发展，某地计划投资甲、乙两个项目，根据市场调研知，甲项目每投资100万元需要配套电能2万千瓦时，可提
26、供就业岗位24个，GDP增长260万元；乙项目每投资100万元需要配套电能4万千瓦时，可提供就业岗位36个，GDP增长200万元.已知该地为甲、乙两个项目最多可投资3 000万元，配套电能100万千瓦时，若要求两个项目能提供的就业岗位不少于840个，问：如何安排甲、乙两个项目的投资额，才能使GDP增长得最多?15三、 选做题(不要求解题过程，直接给出最终结果)12.(2015重庆卷)若不等式组-20xym， ，表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则实数 m的值为 .13.(2015苏北四市期末)若实数 x， y满足 x+y-40，则 z=x2+y2+6x-2y+10的最小值为 .【检测与
27、评估答案】第46课 简单的线性规划1.2-05xy，【解析】如图，直线 AC的方程为2 x+y-5=0，直线 BC的方程为 x-y+2=0，直线AB的方程为 x+2y-1=0.在三角形的内部任取一点，如点(1，1)，代入上述三条直线方程的左边得2 1+1-50，1 +21-10.又因为含有边界，所以 ABC围成的区域所表示的二元一次不等式组为 -5.xy，(第1题)162.-1 【解析】根据约束条件1-xy，作出可行域如图中阴影部分所示，由图可知，当直线z=2x-y过点 A时， z取得最小值 .联立 -1xy，解得0x，所以 A(0，1)，所以 z=2x-y在点 A处取得最小值为 -1. (第
28、2题)3.2 【解析】作出不等式组1-0xya， ，所表示的可行域如图中阴影部分如示 .联立 -0yax， ，解得xy，即点 A(a， a).作直线 l： z=x+y，则 z为直线 l在 y轴上的截距，当直线 l经过可行域上的点 A(a， a)时，直线 l在 y轴上的截距最大，此时 z取最大值，即zmax=a+a=2a=4，解得 a=2.(第3题)4.539，【解析】由条件知，可行域是以点 A48， B(3，6)， C(3，1)为顶点组成的三角形及其内部(如图中阴影部分所示)，而目标函数可化为 z=2xy+2，其中 minyx=17max13y， =2，设 f(t)=t2+ ， f(t)=2t
29、- = 32(-1)t，其中 t 123， ，故当 t=1时， f(t)min=3.又 f =59， f(2)=5，故 f(t)max=59，即所求取值范围为59，.(第4题)5.1 【解析】将目标函数变形为 y=2x-z，当 z取最大值，则直线纵截距最小，故当 m0时，不满足题意；当 m0时，画出可行域如图中阴影部分所示，其中 B2-1，.显然 O(0，0)不是最优解，故只能 B2-1m，是最优解，代入目标函数得4- =2，解得 m=1.(第5题)6.21 【解析】作出可行域如图中阴影部分所示 .由 z=|x+2y-4|= 5 2|-4|1xy，知z=|x+2y-4|表示在可行域内取一点到直
30、线 x+2y-4=0的距离的 倍，由图知点 C(7，9)到直线x+2y-4=0的距离最大，所以 zmax=|7+29-4|=21.18(第6题)7.8 【解析】作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示 .直线2 x-y=0与直线 x-2y+3=0的交点为(1，2)，代入目标函数 m=x+y得到最大值为3，由函数 y=2m为增函数，得2 x+y的最大值为23=8.(第7题)8.37 【解析】作出不等式组-03xy，表示的平面区域 如图中阴影部分所示(含边界)，圆 C：( x-a)2+(y-b)2=1的圆心坐标为( a， b)，半径为1 .由圆 C与 x轴相切，得 b=1.解方程组-701xy，
31、得6xy，即直线 x+y-7=0与直线 y=1的交点坐标为 P(6，1) .又点 C ，则当点 C与 P重合时， a取得最大值，所以 a2+b2的最大值为6 2+12=37.(第8题)9. 直线 z=ax+y(a0)是斜率为 -a，在 y轴上的截距为 z的直线族，从图上可以看出，当 -a小于直线 AC的斜率时，目标函数 z=ax+y(a0)取得最大值的最优解是(5，2)；当 -a大于直线 AC的斜率19时，目标函数 z=ax+y(a0)取得最大值的最优解是(1，4)；只有当 -a等于直线 AC的斜率时，目标函数 z=ax+y(a0)取得最大值的最优解才有无穷多个，线段 AC上的所有点都是最优解
32、 .直线 AC的斜率为 -12，所以 a= 时， z的最大值为121+4=9.10.首先画出可行域，如图中阴影部分所示 .(第10题)(1) z1=x2+y2表示的是可行域内任意一点( x， y)到点(0，0)的距离的平方 .由图可知，点A(x， y)到点 O(0，0)的距离最小，点 A的坐标是(1，0)，所以 z1 min=12+02=1.(2) z2=-表示的是可行域内任意一点( x， y)与点 B(-1，1)连线的斜率 .由图可知点 A(1，0)与点 B(-1，1)连线的斜率最小， z2 min=0-1=- 2， z2 max=1(取不到)，所以 z2的取值范围是2，.11.设甲项目投资
33、 x万元，乙项目投资 y万元，增长的GDP为 z万元，则投资甲、乙两个项目可增长的GDP为 z=2.6x+2y.依题意，知 x， y满足3041680xy， ，作出此不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示 .20(第11题)把 z=2.6x+2y变形为 y=-1.3x+0.5z，其在 y轴上的截距为0 .5z.由图可知当直线 y=-1.3x+0.5z经过可行域上的点 B时，其纵截距取得最大值，也即 z取得最大值 .由 0.24.684xy， ，得 x=2 000， y=1 000，即点 B的坐标为(2 000，1 000)，故当甲项目投资2 000万元、乙项目投资1 000万元时，GDP增
34、长得最多 .12.1 【解析】如图，作出不等式组-20xym， ，所表示的平面区域为 ABC，且其面积等于43，再注意到直线 AB： x+y-2=0与直线 BC： x-y+2m=0互相垂直，所以 ABC是直角三角形，易知， A(2，0)， B(1-m，1 +m)， C-43， D(-2m，0)，从而 SABC=12|2+2m|m+1|- |2+2m|m= ，化简得( m+1)2=4，解得 m=-3或 m=1，检验知当m=-3时，已知不等式组不能表示一个三角形区域，故舍去，所以 m=1.(第12题)13.18 【解析】先画出不等式 x+y-40表示的平面区域如图中阴影部分所示，21则 z=(x+
35、3)2+(y-1)2表示不等式 x+y-40表示的平面区域内的点( x， y)与定点( -3，1)距离的平方，可求得 zmin=2|-314|=18.(第13题)1第 47 课 基本不等式及其应用(本课时对应学生用书第 页)自主学习 回归教材1.(必修5P98例1改编)若 x0，则 x+4的最小值为 .【答案】4【解析】因为 x0，所以 x+ 4，当且仅当 x= ，即 x=2时取等号.2.(必修5P98例1改编)设 a， b均为正数，则ba+ 的最小值为 .【答案】2【解析】因为 a， b为正数，所以 + 2b=2，当且仅当ba= ，即 a=b时取等号.3.(必修5P105习题10改编)函数
36、y=x+1(x-1)的值域为 .【答案】1，+)【解析】因为 x-1，所以 x+10，所以 y=x+ 1=x+1+ -12-1=1，当且仅当 x=0时取等号，所以函数 y=x+1(x-1)的值域为1，+).4.(必修5P105习题9改编)函数 y=2-x-4(x0)的最大值为 .【答案】-22【解析】因为 x0，所以 y=2-x-4=2- x2-24x=2-4=-2，当且仅当 x=4，即 x=2时取等号.5.(必修5P106习题16改编)已知正数 x， y满足 x+2y=1，那么1x+ y的最小值为 .【答案】3+2 2【解析】因为 x0， y0， x+2y=1，所以1+ =(x+2y)=1+
37、2+2+x3+22yx=3+2 ，当且仅当 x2=2y2时取得最小值3+2 2.1.基本不等式的定理表达式为 ab 2(a0， b0)，当且仅当 a=b时取“=”.2.应用基本不等式求最值时应注意的问题是一正；二定；三相等.3.与基本不等式相关的重要不等式：(1)a2+b22 ab(a， bR)；(2) + 2( ab0)；(3)2ab (a， bR).4.基本不等式 2(a0， b0)的两个等价变形：(1)abab(当且仅当 a=b时取“=”)；(2)a+b2 (当且仅当 a=b时取“=”).3【要点导学】要点导学 各个击破利用基本不等式证明例1 已知 a0， b0， c0，求证：bca+
38、+ a+b+c.【思维引导】先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质相加得到.【解答】因为 a0， b0， c0，所以bc+ 2 =2c；a+ c2 ab=2b； +a2 cab=2a.以上三式相加得2c2( a+b+c)，即bca+ + a+b+c，当且仅当 a=b=c时取等号.【精要点评】利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题.利用基本不等式求最值微课11 问题提出4从本质上看，基本不等式反映了两个正数和与积之间的不等关系，所以在求积的最值、和的最值时，基本不等式焕发
39、出强大的生命力，它是解决最值问题的强有力工具.我们结合例2谈谈运用基本不等式求最值有哪些方法技巧. 典型示例例2 (2015南通期末)如图所示，已知函数 y=ax+b0)的图象经过点P(1，3)，则4-1a+b的最小值为 .(例2) 【思维导图】【答案】92【规范解答】方法一：(基本不等式法)由图可知 a1，点(1，3)在函数 y=ax+b的图象上，所以 a+b=3，且12+ 2=5. ，所以 u9.当 a=7， b= 时，u=4-a+b= 2，所以 a+b的最小值为9.方法三：(三角代换法)由方法一可知 a+b=3，且10，则 + a2( 当且仅当 a=b时取“=”).6若 ab0，则ab2
40、，即a+b2或 + a-2(当且仅当 a=b时取“=”).(4)若 a， bR，则22(当且仅当 a=b时取 “=”). 题组强化1.已知 x0，所以 y=2+x+4=2-4(-)x2-24(-)x=-2，当且仅当- x=4，即 x=-2时取等号，所以 y=2+x+ 的取大值为 -2.2.(2015福建卷)若直线 a+ b=1(a0， b0)过点(1，1) ，则 a+b的最小值为 .【答案】4【解析】依题意有1a+b=1，所以 a+b=(a+b)1=1+ + +12+2 a=4，当且仅当 a=b=2时等号成立.3.(2014重庆卷改编)若log 4(3a+4b)=log2 ，则 a+b的最小值
41、是 【答案】7+4 3【解析】由log 4(3a+4b)=log2 ，得3 a+4b=ab，则4+3=1，所以 a+b=(a+b)=7+ + 7+2=7+4 ，当且仅当4ba=3，即 a=4+2 3， b=2 +3时等号成立，故其最小值是 7+4 374.(2015无锡期末)已知正实数 a， b满足9 a2+b2=1，则 3ab的最大值为 .【答案】21【解析】方法一： 3ab 2=362ab29= 1，当且仅当3 a=b时等号成立，又因为9 a2+b2=1， a0， b0，所以当 a= ， b= 时，ab取得最大值为21.方法二：令3cosin，02，则 3=1sinco.令 t=cos +
42、sin =2sin4.因为0，所以+34，则sin214，所以 t(1， 2，所以 3ab=12(cosin)-= 62-t= （ t- ）.因为 y=t-1在 t(1， 上单调递增，所以当 t= 2时， 3ab取得最大值为21.5.(2015重庆卷)设 a0， b0， a+b=5，则 1+ 的最大值为 .【答案】3 2【解析】( 1+ 3)2=a+b+4+2 b9+222(1)(3)ab=9+a+b+4=18，当且仅当 a+1=b+3且 a+b=5，即 a=7， b=3时等号成立，所以 1+ 33 2.8利用基本不等式解恒成立问题例3 已知对一切实数 x，不等式 x2+a|x|+10恒成立，
43、求实数 a的取值范围.【解答】因为对一切实数 x，不等式 x2+a|x|+10恒成立，所以 a-1|x恒成立，而|x|+1|2，-1|x-2，所以 a-2，即实数 a的取值范围为 a|a-2.【精要点评】分离参数是处理此类问题的首选方法，一般转化为基本不等式求最值或某个函数的最值问题.变式 (1)设 k0，若关于 x的不等式 kx+4-1x5在(1，+)上恒成立，则 k的最小值为 .(2)已知 xln x-(a+1)x+10对任意的 x2，恒成立，那么实数 a的取值范围为 .【答案】(1)1 (2)(-，0【解析】(1)原不等式变为 k(x-1)+4-15- k，因为 x1，所以 x-10，所
44、以 k(x-1)+ 4 ，所以4 k5- k，即( )2+4 -50，解得 k1，所以 k1，即 k的最小值为1.(2)原不等式等价于 ax1- x+xln x， x12，所以 a1-x+ln x.令 f(x)=1-+ln x， x，则 f(x)= 2，当 x，时， f(x)0，9所以当 x=1时， f(x)min=f(1)=0，所以 a0.【精要点评】(1)恒成立问题常常用分离参数的方法转化问题；(2)通过构造新函数求最值，从而求出参数的取值范围.1.若 x-3，则 x+23的最小值为 .【答案】2 -3【解析】因为 x-3，所以 x+30， x+23=x+3+ -322(3)x-3=2 -
45、3.2.(2015苏锡常镇二模)已知常数 a0，函数 f(x)=x+ -1a(x1)的最小值为3，则 a的值为 .【答案】1【解析】因为 f(x)=x-1+ -1+1，且 x-10，所以 f(x)2 a+1=3，当且仅当 x-1= a，即 x= +10时取等号，此时 a=1.3.(2015天津卷)已知 a0， b0， ab=8， 则当 a的值为 时，log 2alog2(2b)取得最大值.【答案】4【解析】log 2alog2(2b)22logl()ab=14log2(2ab)2=14(log216)2=4，当 a=2b时取等号，结合 a0， b0， ab=8，可得 a=4， b=2.4.(2
46、015湖南卷)若实数 a， b满足1+2= ，则 ab的最小值为 .10【答案】2【解析】方法一：由题设得1a+2b= ab， ab =b+2a2 2b，当且仅当 b=2a=542时，等号成立，所以 ab2 2.方法二： =1+ 2 ab，即 ab2 ，当且仅当 b=2a=542时，等号成立.5.(2015苏州期末)已知 a， b为正实数，且 a+b=2，则2+21b的最小值为 .【答案】2+23【解析】设 b+1=c，则 b=c-1， a+c=3，且01时，函数 y=x+1-的最小值是 .2.已知正数 x， y满足 x+y=1，那么 x+4y的最小值为 .3.若 x+2y=1，则2 x+4y
47、的最小值为 .4.(2015宿迁一模)若 a2-ab+b2=1， a， b是实数，则 a+b的最大值是 .5.(2014扬州中学)设 x， y均为正实数，且32x+ y=1，则 xy的最小值是 .6.某公司一年购买某种货物200 t，分成若干次均匀购买，每次购买的运费为2万元，一年存储费用(单位：万元)恰好为每次的购买吨数.若要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次应购买 t.7.设二次函数 f(x)=ax2-4x+c(xR)的值域为0，+)，则1c+9a的最大值为 .138.(2015南通、扬州、泰州、淮安三调)已知正实数 x， y满足 x+2+3y+4=10，则 xy的取值范围为 .二
48、、 解答题9.已知变量 x， y满足约束条件3-602xy，若目标函数 z=ax+by(a0， b0)的最大值为12，求2a+3b的最小值.10.如图，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园AMPN，要求点B在AM上，点D在AN上，且对角线MN过点C.已知AB=3 m，AD=2 m.(1)当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小?并求最小面积.(2)若AN的长度不少于6 m，则当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小?并求最小面积.(第10题)11.(2015苏锡常镇二模)已知 a， bR， a0，曲线 y=2ax， y=ax+2b+1，若两条曲线在区间3，4上至少有一个公共点，
49、求 a2+b2的最小值.三、 选做题(不要求解题过程，直接给出最终结果)1412.(2015南京、盐城一模)若实数 x， y满足 xy0，且log 2x+log2y=1，则2-xy的最小值为 .13.(2015镇江期末)已知正数 x， y满足1+ =1，则4-1x+9y的最小值为 .【检测与评估答案】第47课 基本不等式及其应用1.3 【解析】因为 x1，所以 y=x+1-x=(x-1)+ -x+121(-)x+1=3，当且仅当 x-1= -x，且 x1，即 x=2时等号成立，故函数 y的最小值为3 .2.9 【解析】 x+4y=(x+y)=1+ x+4y+45 +24yx=5+22=9，当且
50、仅当x=13， y= 时取等号 .3.2 【解析】易知2 x+4y=2x+22y2 2xy=2 xy=2 ，当且仅当 x=12， y= 4时，等号成立 .4.2 【解析】方法一：因为 a2-ab+b2=1，即( a+b)2-3ab=1，从而3 ab=(a+b)2-123()4ab，即( a+b)24，所以 -2 a+b2，所以( a+b)max=2.方法二：令 u=a+b，与 a2-ab+b2=1联立消去 b得3 a2-3au+u2-1=0，由于此方程有解，从而有= 9u2-12(u2-1)0，即 u24，所以 -2 u2，所以( a+b)max=2.155.16 【解析】因为 x， y均为正
51、实数，32x+ y=1，所以8 +x+y=xy， xy2 xy+8，(xy-4)( +2)0， 4， xy16，即 xy的最小值是 16.6. 20 【解析】设每次都购买 x t，则需要购买20x次，则一年的总运费为20x2=4(万元)，一年的存储费用为 x万元，则一年的总费用为+x20x=40，当且仅当40=x，即 x=20时等号成立，故要使一年的总运费与总存储费用之和最小，每次应购买20 t .7.65【解析 】由二次函数特点可知，在定义域 R上其值域为 0， + )，则 a0，且 = 16-4ac=0，即 ac=4.欲求1c+9a的最大值，利用前面关系，建立 f(a)=1c+9=98(1
52、)ca=1+536，由 f(a)=1+5361 +53621= ，当且仅当36=a，即 a=6时取等号 .8.13，【解析】方法一：令 t=xy，则 x=ty，于是t+2y+3y+4=10，所以10=2ty+(t+4)1y223(4)t，解得1 t8.当3ty=(t+4) 时，得 y2= t.当 t=1时， y=1， x=1；当 t=3时， y=4， x=2.所以1 t8为所求 .16方法二：令 t=xy，则 y=tx，于是 x+2+3tx+4x=10，可得41tx2-10x+2+3t=0，由 = 100-441t(2+3t)0，得1 t8.9.作出可行区域如图中阴影部分所示，当直线 z=ax
53、+by(a0， b0)过直线 x-y+2=0与直线3 x-y-6=0的交点 A(4，6)时，目标函数z=ax+by(a0， b0)取得最大值12，即4 a+6b=12，即2 a+3b=6，而 2a+3b=236ab=136+ba136+2=5，当且仅当ba= ，即 a=b= 5时取等号 .故2+ 的最小值为 .(第9题)10.(1) 设 AN=x m(x2)，则 ND=(x-2)m.因为NDC=AM，即-23x= ，所以 AM=3-x.所以 S矩形 AMPN=2=2(-)1(-)2x=3(x-2)+1-x+122 36+12=24，当且仅当 x=4时取等号，即当 AN=4 m时，矩形 AMPN
54、的面积最小，为24 m 2.17(2) 由(2)知 S矩形 AMPN=3(x-2)+12-x+12(x6)，令 x-2=t(t4)，则 f(t)=3t+12t+12.因为 f(t)=3- 21t，当 t4 时， f(t)0，所以 f(t)=3t+1t+12在区间4， + )上单调递增，所以 f(t)min=f(4)=27，此时 x=6.即当 AN=6 m时，矩形 AMPN的面积最小，为27 m 2.11. 令2ax=ax+2b+1，可得 ax2+(2b+1)x-a-2=0.方法一：把等式看成关于 a， b的直线方程( x2-1)a+2xb+x-2=0，由于直线上一点( a， b)到原点的距离大
55、于等于原点到直线的距离，即222|-(1x，所以 a2+b22(-)x=215-4x，因为 x-2+5-x在 x3，4是减函数，上述式子在 x=3， a=- 25， b=-30时取等号，故 a2+b2的最小值为10.方法二：令 a2+b2=t2(t0)，所以 a=tcos ， b=tsin .因为 x=ax+2b+1，所以 ax2+(2b+1)x-(a+2)=0，所以 tcos x2+2xtsin +x-t cos - 2=0，所以( tx2-t)cos + 2xtsin = 2-x，所以2-)(txtsin(+ )=2-x，所以 |sin(+ )|=22|-()(xtt1，所以 t22|(-1)4x=|-(1=|-x.下同方法一 .1812.4 【解析】因为log 2x+log2y=log2xy=1，所以 xy=2.因为 xy0，所以 x-y0，所以2-xy=2()-xy=x-y+4-2 =4，当且仅当 x-y=2，即 x= 3+1， y= -1时取等号 .13.25 【解析】因为1y=1- x，所以4-1+9y= -x+1=4-+9x=4+ -1x+9(x-1)+9=13+4-1x+9(x-1).又因为 =1- 0，所以 x1，同理 y1，所以13 + +9(x-1)13 +2 9=25，当且仅当 x=53时取等号，所以4-x+y的最小值为25 .
