1、1第十一章 计数原理、随机变量及其分布 第 1 讲 分类计数原理与分步计数原理练习 理基础巩固题组(建议用时：30 分钟)一、填空题1.从 3 名男同学和 2 名女同学中选 1 人主持本班某次主题班会，不同选法种数为_.解析 由分类加法计算原理知总方法数为 325(种).答案 52.从集合0，1，2，3，4，5，6中任取两个互不相等的数 a， b 组成复数 a bi，其中虚数有_个.解析 a bi 为虚数， b0，即 b 有 6 种取法， a 有 6 种取法，由分步乘法计数原理知可以组成 6636 个虚数.答案 363.集合 P x，1， Q y，1，2，其中 x， y1，2，3，9，且 PQ
2、.把满足上述条件的一对有序整数对( x， y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是_.解析 当 x2 时， x y，点的个数为 177(个).当 x2 时，由 PQ， x y. x 可从 3，4，5，6，7，8，9 中取，有 7 种方法.因此满足条件的点共有 7714(个).答案 144.(2016无锡质检)有 4 件不同颜色的衬衣，3 件不同花样的裙子，另有 2 套不同样式的连衣裙.“五一”节需选择一套服装参加歌舞演出，则有_几种不同的选择方式.解析 第一类：一件衬衣，一件裙子搭配一套服装有 4312 种方式，第二类：选 2 套连衣裙中的一套服装有 2 种选法.由分类加法计数原理，共有 12
3、214(种)选择方式.答案 145.(2016长沙二模)将字母 a， a， b， b， c， c 排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有_种.解析 先排第一列，由于每列的字母互不相同，因此共有 A 种不同排法.3再排第二列，其中第二列第一行的字母共有 2 种不同的排法，第二列第二、三行的字母只有 1 种排法.因此共有 A 2112(种)不同的排列方法.3答案 1226.从 8 名女生 4 名男生中，选出 3 名学生组成课外小组，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为_种.解析 从男生中抽 1 人有 4 种方法，从女生中抽两人有 C 28 种方法，
4、28由分步乘法计数原理，共有 284112 种方法.答案 1127.(2016连云港质检)如果把个位数是 1，且恰有 3 个数字相同的四位数叫作“好数” ，那么在由 1，2，3，4 四个数字组成的有重复数字的四位数中， “好数”共有_个.解析 当相同的数字不是 1 时，有 C 个；当相同的数字是 1 时，共有 C C 个，13 1313由分类加法计数原理知共有“好数”C C C 12(个).13 1313答案 128.如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有_个.解析 把与正八边形有公共边的三角形分为两类：第一类，有一条公共边的三角形共有 8432(个).
5、第二类，有两条公共边的三角形共有 8 个.由分类加法计数原理知，共有 32840(个).答案 40二、解答题9.电视台在“欢乐在今宵”节目中拿出两个信箱，其中放着竞猜中成绩优秀的观众来信，甲箱中有 30 封，乙箱中有 20 封，现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两箱中各确定一名幸运观众，有多少种不同结果？解 分两类：(1)幸运之星在甲箱中抽，选定幸运之星，再在两箱内各抽一名幸运观众有30292017 400(种).(2)幸运之星在乙箱中抽取，有 20193011 400(种).共有不同结果 17 40011 40028 800(种).10.有六名同学报名参加三个智力竞赛项目
6、，在下列情况下各有多少种不同的报名方法？(不一定六名同学都能参加)(1)每人恰好参加一项，每项人数不限；(2)每项限报一人，且每人至多参加一项；(3)每项限报一人，但每人参加的项目不限.解 (1)每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有 3 种不同选法，由分步乘法计数原理，知共有报名方法 36729(种).(2)每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有 6 种选法，3第二个项目有 5 种选法，第三个项目只有 4 种选法，由分步乘法计数原理，得共有报名方法 654120(种).(3)由于每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛，由分步乘法计数原理，
7、得共有不同的报名方法 63216(种).能力提升题组(建议用时：25 分钟)11.(2016衡水调研)用 0，1，9 十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为_.解析 0，1，2，9 共能组成 91010900(个)三位数，其中无重复数字的三位数有 998648(个)，有重复数字的三位数有 900648252(个).答案 25212.(2015镇江调研)4 位同学从甲、乙、丙 3 门课程中各选修 1 门，则恰有 2 人选修课程甲的不同选法有_种.解析 分三步，第一步先从 4 位同学中选 2 人选修课程甲.共有 C 种不同选法，第二步24给第 3 位同学选课程，有 2 种选法.第三步给第 4
8、 位同学选课程，也有 2 种不同选法.故共有 C 2224(种).24答案 2413.(2016广州模拟)回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如 22，121，3 443，94 249 等.显然 2 位回文数有 9 个：11，22，33 ，99.3 位回文数有 90 个：101，111，121，191，202，999.则(1)4 位回文数有_个；(2)2n1( nN *)位回文数有_个.解析 (1)4 位回文数相当于填 4 个方格，首尾相同，且不为 0，共 9 种填法，中间两位一样，有 10 种填法，共计 91090(种)填法，即 4 位回文数有 90 个.(2)根据回文数的定义，此
9、问题也可以转化成填方格.结合计数原理，知有 910n种填法.答案 (1)90 (2)910 n14.用 n 种不同颜色为下列两块广告牌着色(如图所示)，要求在 A、 B、 C、 D 四个区域中相邻(有公共边的)区域不用同一种颜色.4(1)若 n6，为着色时共有多少种不同的方法？(2)若为着色时共有 120 种不同的方法，求 n.解 (1)分四步：第 1 步涂 A 有 6 种不同的方法，第 2 步涂 B 有 5 种不同的方法，第 3 步涂 C 有 4 种不同的方法，第 4 步涂 D 有 4 种不同的方法.根据分步乘法计数原理，共有 6544480 种不同的方法.(2)由题意，得 n(n1)( n
10、2)( n3)120，注意到 nN *，可得 n5.1第十一章 计数原理、随机变量及其分布 第 2 讲 排列与组合练习 理基础巩固题组(建议用时：40 分钟)一、填空题1.(2016南京质检)某外商计划在 4 个候选城市中投资 3 个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过 2 个，则该外商不同的投资方案有_种.解析 法一(直接法) 若 3 个不同的项目投资到 4 个城市中的 3 个，每个城市一项，共A 种方法；若 3 个不同的项目投资到 4 个城市中的 2 个，一个城市一项、一个城市两项34共 C A 种方法.由分类加法计数原理知共 A C A 60(种)方法.2324 34 2324法二
11、(间接法) 先任意安排 3 个项目，每个项目各有 4 种安排方法，共 4364 种排法，其中 3 个项目落入同一城市的排法不符合要求共 4 种，所以总投资方案共43464460(种).答案 602.(2016石家庄质检)在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施 6 个程序，其中程序A 只能出现在第一或最后一步，程序 B 和 C 在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法共有_种.解析 程序 A 有 A 2(种)结果，将程序 B 和 C 看作元素集团与除 A 外的元素排列有 A A12 248(种)，由分步乘法计数原理，实验编排共有 24896(种)方法.4答案 963.我们把各位数字之和为 6 的
12、四位数称为“六合数”(如 2 013 是“六合数”)，则“六合数”中首位为 2 的“六合数”共有_个.解析 根据“六合数”的定义可知，当首位为 2 时，其余三位是数组(0，0，4)，(0，1，3)，(0，2，2)，(1，1，2)的所有排列，即共有 3A 3315(个).3答案 154.(2016青岛模拟)将甲、乙等 5 名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有_种.解析 一个路口有 3 人的分配方法有 C C A (种)；两个路口各有 2 人的分配方法有1323C C A (种).2323由分类加法计数原理，甲、乙在同一路口的分配方案为 C C A
13、C C A 36(种).1323 2323答案 365.(2016南京师大附中检测)某班班会准备从甲、乙等 7 名学生中选派 4 名进行发言，要求甲、乙两人至少有一人参加.当甲、乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻.那么不2同的发言顺序的种数为_.解析 当甲或乙只有一人参加时，不同的发言顺序的种数为 2C A 480，当甲、乙同时354参加时，不同的发言顺序的种数为 A A 120，则不同的发言顺序的种数为2523480120600.答案 6006.7 位身高均不等的同学排成一排照相，要求中间最高，依次往两端身高逐渐降低，共有_种排法.解析 先排最中间位置有一种排法，再排左边 3 个位置，由于
14、顺序一定，共有 C 种排法，36再排剩下右边三个位置，共一种排法，所以排法种数为 C 20(种).36答案 207.若把英语单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误方法共有_种.解析 把 g、o、o、d 4 个字母排一列，可分两步进行，第一步：排 g 和 d，共有 A 种排24法；第二步：排两个 o，共一种排法，所以总的排法种数为 A 12(种).其中正确的有一24种，所以错误的共 A 112111(种).24答案 118.(2016苏北四市质检)四名优等生保送到三所学校去，每所学校至少得一名，则不同的保送方案有_种.解析 分两步：先将四名优等生分成 2，1，1 三组，共有 C 种；
15、而后，对三组学生全排24三所学校，即进行全排列，有 A 种.依分步乘法计数原理，共有 NC A 36(种).3 243答案 36二、解答题9.现有 16 张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各 4 张，从中任取 3 张，要求这 3 张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多 1 张，不同的取法有多少种？解 分两类：第一类，含有 1 张红色卡片，共有不同的取法 C C 264(种)；1421第二类，不含有红色卡片，共有不同的取法 C 3C 22012208(种).312 34由分类加法计数原理知不同的取法有 264208472(种).10.由 1，2，3，4，5 五个数字组成的没有重复数字的
16、五位数排成一递增数列，则首项为12 345，第 2 项是 12 354，直到末项(第 120 项)是 54 321.问：43 251 是第几项？解 比 43 251 大的数有下列几类：万位数是 5 的有 A 24 个；4万位数是 4、千位数是 5 的有 A 6 个；3万位数是 4、千位数是 3、百位数是 5 的有 A 2 个；所以比 43 251 大的数共有 A A2 4A 32 个，3 2所以 43 251 是第 1203288 项.3(建议用时：25 分钟)11.(2016潍坊二模)某公司新招聘 5 名员工，分给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分给同一个部门；另三名电脑编程人
17、员不能都分给同一个部门，则不同的分配方案种数是_.解析 甲部门分一名电脑编程人员有 C C C 种分配方案，甲部门分两名电脑编程人员1312 3有 C C C 种分配方案.2312 2由分类加法计数原理，共有 C C C C C C 12(种)不同方案.1312 3 2312 2答案 1212.(2016长沙模拟)在 8 张奖券中有一、二、三等奖各 1 张，其余 5 张无奖.将这 8 张奖券分配给 4 个人，每人 2 张，不同的获奖情况有_种(用数字作答).解析 分两类：第一类：3 张中奖奖券分给 3 个人，共 A 种分法；34第二类：3 张中奖奖券分给 2 个人相当于把 3 张中奖奖券分两组
18、再分给 4 人中的 2 人，共有 C A 种分法.总获奖情况共有 A C A 60(种).2324 34 2324答案 6013.(2016镇江调研)将 A、 B、 C、 D、 E、 F 六个字母排成一排，且 A、 B 均在 C 的同侧，则不同的排法共有_种(用数字作答).解析 分两步：任意选 3 个空排 A、 B、 C，共有 C C A 种排法.排其余的 3 个字36 12 2母，有 A 种排法.所以由分步乘法计数原理，共有 C C A A 480(种)排法.3 36 12 2 3答案 48014.(1)现有 10 个保送上大学的名额，分配给 7 所学校，每校至少有 1 个名额，问名额分配的
19、方法共有多少种？(2)已知集合 A5， B1，2， C1，3，4，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，那么最多可确定多少个不同的点？解 (1)法一 每个学校至少一个名额，则分去 7 个，剩余 3 个名额分到 7 所学校的方法种数就是要求的分配方法种数.分类：若 3 个名额分到一所学校有 7 种方法；若分配到 2 所学校有 C 242(种)；27若分配到 3 所学校有 C 35(种).37共有 7423584(种)方法. 法二 10 个元素之间有 9 个间隔，要求分成 7 份，相当于用 6 块档板插在 9 个间隔中，共有 C 84 种不同方法.69所以名额分配的方法共有 84 种.(2)从集合 B 中取元素 2 时，确定 C A 个点.133当从集合 B 中取元素 1，且从 C 中取元素 1，则确定的不同点有 C 1C .13 134当从 B 中取元素 1，且从 C 中取出元素 3 或 4，则确定的不同点有 C A 个.123由分类加法计数原理，共确定 C A C C A 33(个)不同点.133 13 123
