1、1【步步高】 （江苏专用）2017 版高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数 I 2.1 函数及其表示 理1函数与映射函数 映射两集合A、 B设 A， B 是两个非空数集 设 A， B 是两个非空集合对应法则f： A B如果按某种对应法则 f，对于集合 A 中的每一个元素 x，在集合B 中都有唯一的元素 y 和它对应如果按某种对应法则 f，对于 A中的每一个元素，在 B 中都有唯一的元素与之对应名称这样的对应叫做从集合 A 到集合B 的一个函数称对应 f： A B 为从集合 A 到集合 B 的映射记法 y f(x)(x A) f： A B2.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域在函
2、数 y f(x)， x A 中，其中所有 x 组成的集合 A 称为函数 y f(x)的定义域；将所有 y组成的集合叫做函数 y f(x)的值域(2)函数的三要素：定义域、对应法则和值域(3)函数的表示法表示函数的常用方法有列表法、解析法和图象法3分段函数在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式，这样的函数，通常叫做分段函数分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数4常见函数定义域的求法类型 x 满足的条件， nN *2nf x f(x)02与 f(x)01f xf(x)0logaf(x)(a0， a1) f(x)0
3、logf(x)g(x) f(x)0，且 f(x)1， g(x)0tan f(x) f(x) k ， kZ 2【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)对于函数 f： A B，其值域是集合 B.( )(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数( )(3)映射是特殊的函数( )(4)若 AR， B x|x0， f： x y| x|，其对应是从 A 到 B 的映射( )(5)分段函数是由两个或几个函数组成的( )(6)若函数 f(x)的定义域为 x|1 x2 或 00 时，每一个 x 的值对应两个不同的 y 值，因此不是函数图象，中当 x x0时， y 的值有两
4、个，因此不是函数图象，中每一个 x 的值对应唯一的 y 值，因此是函数图象题型二 函数的定义域命题点 1 求给定函数解析式的定义域例 2 (1)函数 f(x) 的定义域为_1 2x1x 3(2)函数 f(x) 的定义域是_lg x 1x 1答案 (1)(3,0 (2)(1,1)(1，)解析 (1)由题意知Error!解得30 且 x10，得 x1，且 x1.lg x 1x 1命题点 2 求抽象函数的定义域5例 3 (1)若函数 y f(x)的定义域是1,2 016，则函数 g(x) 的定义域是f x 1x 1_(2)若函数 f(x21)的定义域为1,1，则 f(lg x)的定义域为_答案 (1
5、)0,1)(1,2 015 (2)10,100解析 (1)令 t x1，则由已知函数的定义域为1，2 016，可知 1 t2 016.要使函数f(x1)有意义，则有 1 x12 016，解得 0 x2 015，故函数 f(x1)的定义域为0，2 015所以使函数 g(x)有意义的条件是Error!解得 0 x1) (2)2 x7 (3) 2x 1 23x 13解析 (1)(换元法)令 t 1( t1)，则 x ，2x 2t 1 f(t)lg ，即 f(x)lg (x1)2t 1 2x 1(2)(待定系数法)设 f(x) ax b(a0)，则 3f(x1)2 f(x1)3 ax3 a3 b2 a
6、x2 a2 b ax5 a b，即 ax5 a b2 x17 不论 x 为何值都成立，Error! 解得Error! f(x)2 x7.(3)(消去法)在 f(x)2 f( ) 1 中，用 代替 x，1x x 1x得 f( )2 f(x) 1，1x 1x将 f( ) 1 代入 f(x)2 f( ) 1 中，1x 2f xx 1x x可求得 f(x) .23x 13思维升华 函数解析式的求法(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法；(2)换元法：已知复合函数 f(g(x)的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(3)配凑法：由已知条件 f(g(x) F(
7、x)，可将 F(x)改写成关于 g(x)的表达式，然后以 x 替代 g(x)，便得 f(x)的解析式；(4)消去法：已知 f(x)与 f 或 f( x)之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个(1x)7等式组成方程组，通过解方程组求出 f(x)(1)已知 f( 1) x2 ，则 f(x)_.x x(2)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x1)2 f(x)若当 0 x1 时， f(x) x(1 x)，则当1 x0 时， f(x)_.(3)定义在(1,1)内的函数 f(x)满足 2f(x) f( x)lg( x1)，则 f(x)_.答案 (1) x21( x1) (2) x(x1)12(
8、3) lg(x1) lg(1 x) (10，所以 f( )log 2x，则 f(x)log 2 log 2x.1x 1x6已知函数 f(x)log 2 ， f(a)3，则 a_.1x 1答案 78解析 由题意可得 log2 3，所以 2 3，解得 a .1a 1 1a 1 787已知函数 y f(2x)的定义域为1,1，则 y f(log2x)的定义域是_答案 ，42解析 函数 f(2x)的定义域为1,1，101 x1， 2 x2.12在函数 y f(log2x)中， log 2x2，12 x4.28(2015浙江)已知函数 f(x)Error!则f(f(3)_， f(x)的最小值是_答案 0
9、 2 32解析 f(3)lg(3) 21lg 101， f(f(3) f(1)0，当 x1 时， f(x) x 32 3，当且仅当 x 时，取等号，此时 f(x)2x 2 2min2 30；2当 x1 时， f(x)lg( x21)lg 10，当且仅当 x0 时，取等号，此时 f(x)min0. f(x)的最小值为 2 3.29已知 f(x)是二次函数，若 f(0)0，且 f(x1) f(x) x1，求函数 f(x)的解析式解 设 f(x) ax2 bx c (a0)，又 f(0)0， c0，即 f(x) ax2 bx.又 f(x1) f(x) x1. a(x1) 2 b(x1) ax2 bx
10、 x1.(2 a b)x a b( b1) x1，Error! 解得Error! f(x) x2 x.12 1210根据如图所示的函数 y f(x)的图象，写出函数的解析式解 当3 x1 时，函数 y f(x)的图象是一条线段(右端点除外)，设 f(x) ax b(a0)，将点(3,1)，(1，2)代入，可得 f(x) x ；32 72当1 x1 时，同理可设 f(x) cx d(c0)，将点(1，2)，(1,1)代入，可得 f(x) x ；32 12当 1 x2 时， f(x)1.所以 f(x)Error!11B 组 专项能力提升(时间：20 分钟)11若函数 y 的定义域为 R，则实数 a
11、 的取值范围是_ax 1ax2 2ax 3答案 0,3)解析 因为函数 y 的定义域为 R，ax 1ax2 2ax 3所以 ax22 ax30 无实数解，即函数 y ax22 ax3 的图象与 x 轴无交点当 a0 时，函数 y 的图象与 x 轴无交点；13当 a0 时，则 (2 a)243 a0，解得 0a3.综上所述， a 的取值范围是0,3)12若函数 f(x) ，则x2 1x2 1(1) _；f 2f 12(2)f(3) f(4) f(2 017) f( ) f( ) f( )_.13 14 12 017答案 (1)1 (2)0解析 (1) f(x) f( ) 0，1x x2 1x2
12、1 1 x21 x2 1( x1)， 1.f xf 1xf 2f 12(2) f(3) f( )0， f(4) f( )0，13 14f(2 017) f( )0，12 017 f(3) f(4) f(2 017) f( ) f( )0.13 12 01713已知函数 f(x) 1 的定义域是 a， b，( a， bZ)，值域是0,1，则满足条件4|x| 2的整数数对( a， b)共有_个答案 5解析 由 0 11，即 1 2，得 0| x|2，满足条件的整数数对有4|x| 2 4|x| 2(2,0)，(2,1)，(2,2)，(0,2)，(1,2)，共 5 个1214具有性质： f f(x)的
13、函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：(1x) y x ； y x ； yError!1x 1x其中满足“倒负”变换的函数是_答案 解析 对于， f(x) x ， f x f(x)，满足；1x (1x) 1x对于， f x f(x)，不满足；(1x) 1x对于， f Error!(1x)即 f Error!(1x)故 f f(x)，满足(1x)综上可知，满足“倒负”变换的函数是.15如图 1 是某公共汽车线路收支差额 y 元与乘客量 x 的图象(1)试说明图 1 上点 A、点 B 以及射线 AB 上的点的实际意义；(2)由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议，如图
14、 2、3 所示你能根据图象，说明这两种建议的意义吗？(3)此问题中直线斜率的实际意义是什么？(4)图 1、图 2、图 3 中的票价分别是多少元？解 (1)点 A 表示无人乘车时收支差额为20 元，点 B 表示有 10 人乘车时收支差额为 0 元，线段 AB 上的点表示亏损， AB 延长线上的点表示赢利(2)图 2 的建议是降低成本，票价不变，图 3 的建议是提高票价(3)斜率表示票价(4)图 1、2 中的票价是 2 元图 3 中的票价是 4 元1【步步高】 （江苏专用）2017 版高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数 I 2.2 函数的单调性与最值 理1函数的单调性(1)单调函数的
15、定义增函数 减函数一般地，设函数 y f(x)的定义域为 A，区间 IA，如果对于区间I 内的任意两个值 x1， x2定义当 x1f(x2)，那么就说函数 f(x)在区间 I 上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数 y f(x)在区间 I 上是单调增函数或单调减函数，那么就说函数 y f(x)在区间 I上具有单调性，区间 I 叫做 y f(x)的单调区间2函数的最值前提 设函数 y f(x)的定义域为 A，如果存在 x0 A，使得条件 对于任意的 x A，都有 f(x) f(x0) 对于任意的 x A，都有 f(x) f(x0)结论 f(x
16、0)为最大值 f(x0)为最小值【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)在增函数与减函数的定义中，可以把“任意两个值 x1， x2”改为“存在两个值x1， x2”( )(2)对于函数 f(x)， x D，若 x1， x2 D 且( x1 x2)f(x1) f(x2)0，则函数 f(x)在 D 上是增函数( )(3)函数 y f(x)在1，)上是增函数，则函数的单调递增区间是1，)( )(4)函数 y 的单调递减区间是(，0)(0，)( )1x2(5)所有的单调函数都有最值( )(6)对于函数 y f(x)，若 f(1)0， x110 时， f(x1) f(x2)0，即
17、f(x1)f(x2)，函数 f(x)在(1,1)上递减；当 a0 时， f(x)在(1,1)上单调递减；当 a0)，则 f(x)在(1,1)上的单调性如何？axx2 1解 设10， x1x210，( x 1)( x 1)0.21 2又 a0， f(x1) f(x2)0，函数在(1,1)上为减函数思维升华 确定函数单调性的方法：(1)定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法和导数法；(2)复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减” ；(3)图象法，图象不连续的单调区间不能用“”连结已知 a0，函数 f(x) x (x0)，证明：函数 f(x)在(0， 上是减函数，ax a在 ，)上是增函数
18、a证明 方法一 任意取 x1x20，则f(x1) f(x2) (x1ax1) (x2 ax2)5( x1 x2) ( x1 x2)(ax1 ax2) a x2 x1x1x2( x1 x2) .(1ax1x2)当 x1x20 时， x1 x20,1 0)在(0， 上为减函数；ax a当 x1x2 时， x1 x20,1 0，aax1x2有 f(x1) f(x2)0，即 f(x1)f(x2)，此时，函数 f(x) x (a0)在 ，)上为增函数；ax a综上可知，函数 f(x) x (a0)在(0， 上为减函数，在 ，)上为增函数ax a a方法二 f( x)1 ，令 f( x)0，则 1 0，a
19、x2 ax2解得 x 或 x0，00 恒成立，试求实数 a 的取值范围解 (1)当 a 时， f(x) x 2 在1，)上为增函数， f(x)min f(1) .12 12x 72(2)f(x) x 2， x1，)ax当 a0 时， f(x)在1，)内为增函数最小值为 f(1) a3.要使 f(x)0 在 x1，)上恒成立，只需 a30，即 a3，所以30， a3，所以 00， x0)，若 f(x)在 上的值域为 ，2，则 a_.1a 1x 12， 2 12答案 (1)2 (2)25解析 (1)当 x1 时，函数 f(x) 为减函数，所以 f(x)在 x1 处取得最大值，为 f(1)1x1；当
20、 x0， x0)在 上单调递增，1a 1x 12， 2所以Error! 即Error!解得 a .25题型三 函数单调性的应用命题点 1 比较大小例 4 已知函数 f(x)log 2x ，若 x1(1,2)， x2(2，)，则 f(x1)11 x_0， f(x2)_0.(判断大小关系)答案 解析 函数 f(x)log 2x 在(1，)上为增函数，且 f(2)0，11 x当 x1(1,2)时， f(x1)f(2)0，即 f(x1)0.命题点 2 解不等式例 5 已知函数 f(x)为 R 上的减函数，则满足 f 0 成立，那么 a 的取值范f x1 f x2x1 x2围是_答案 (1) (2) ，
21、2)14， 0 32解析 (1)当 a0 时， f(x)2 x3，在定义域 R 上是单调递增的，故在(，4)上单调递增；当 a0 时，二次函数 f(x)的对称轴为 x ，1a因为 f(x)在(，4)上单调递增，所以 a0，ax 1故 00 时，恒有 f(x)1.(1)求证： f(x)在 R 上是增函数；(2)若 f(3)4，解不等式 f(a2 a5)0，当 x0 时， f(x)1， f(x2 x1)1.2 分f(x2) f(x2 x1) x1 f(x2 x1) f(x1)1，4 分 f(x2) f(x1) f(x2 x1)10 f(x1)0 时， f(x)1，构造不出 f(x2) f(x1)
22、f(x2 x1)1 的形式，便找不到问题的突破口第二个关键应该是将不等式化为 f(M)f(x2)”的是_(填序号)答案 解析 由题意知 f(x)在(0，)上是减函数中， f(x) 满足要求；1x10中， f(x)( x1) 2在0,1上是减函数，在(1，)上是增函数；中， f(x)e x是增函数；中， f(x)ln( x1)在(0，)上是增函数2已知函数 ylog 2(ax1)在(1,2)上单调递增，则实数 a 的取值范围是_答案 1，)解析 要使 ylog 2(ax1)在(1,2)上单调递增，则 a0 且 a10， a1.3已知函数 y f(x)的图象关于 x1 对称，且在(1，)上单调递增
23、，设a f ， b f(2)， c f(3)，则 a， b， c 的大小关系为_(12)答案 b1)是增函数，故 a1，所以 a12的取值范围为 10 且 f(x)在(1，)上单调递减，求 a 的取值范围(1)证明 任设 x10， x1 x20， x2 x10，要使 f(x1) f(x2)0，只需( x1 a)(x2 a)0 在(1，)上恒成立， a1.综上所述， a 的取值范围是(0,110设函数 y f(x)是定义在(0，)上的函数，并且满足下面三个条件：对任意正数x， y，都有 f(xy) f(x) f(y)；当 x1 时， f(x)1， f 0，试确定 a 的取值范围解 (1)由 x
24、20，得 0，ax x2 2x ax当 a1 时， x22 x a0 恒成立，定义域为(0，)，当 a1 时，定义域为 x|x0 且 x1，当 01 1 a 1 a(2)设 g(x) x 2，当 a(1,4)， x2，)时，axg( x)1 0 恒成立，ax2 x2 ax2所以 g(x) x 2 在2，)上是增函数ax所以 f(x)lg 在2，)上是增函数(xax 2)所以 f(x)lg 在2，)上的最小值为 f(2)lg .(xax 2) a2(3)对任意 x2，)恒有 f(x)0，即 x 21 对 x2，)恒成立ax所以 a3x x2，令 h(x)3 x x2，而 h(x)3 x x2 2
25、 在 x2，)上是减函数，(x32) 94所以 h(x)max h(2)2，所以 a2.1【步步高】 （江苏专用）2017 版高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数 I 2.3 函数的奇偶性与周期性 理1.函数的奇偶性奇偶性 定义 图象特点偶函数如果对于任意的 x A，都有f( x) f(x)，那么称函数y f(x)是偶函数 .关于 y 轴对称奇函数一般地，设函数y f(x)的定义域为 A如果对于任意的 x A，都有f( x) f(x)，那么称函数y f(x)是奇函数.关于原点对称2.周期性(1)周期函数：对于函数 y f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何
26、值时，都有 f(x T) f(x)，那么就称函数 y f(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期(2)最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点( )(2)若函数 y f(x a)是偶函数，则函数 y f(x)关于直线 x a 对称( )(3)函数 f(x)在定义域上满足 f(x a) f(x)，则 f(x)是周期为 2a(a0)的周期函数( )(4)若函数 y f(x b)是奇函数，则函数 y f(x)关于点(
27、b,0)中心对称( )(5)如果函数 f(x)， g(x)为定义域相同的偶函数，则 F(x) f(x) g(x)是偶函数( )(6)若 T 是函数的一个周期，则 nT(nZ， n0)也是函数的周期( )1(2015福建改编)下列函数中， y ； y|sin x|； ycos x； ye xe xx2为奇函数的是_(填函数序号)答案 解析 对于， f(x)e xe x的定义域为 R， f( x)e xe x f(x)，故 ye xe x为奇函数而 y 的定义域为 x|x0，不具有对称性，故 y 为非奇非偶函数 y|sin x|和x xycos x 为偶函数2已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数
28、， f(x1)是偶函数，则 f(1) f(2) f(3) f(4)_.答案 0解析 由 f(x1)是偶函数得 f( x1) f(x1)，又 f(x)是定义在 R 上的奇函数，所以f( x1) f(x1)，即 f(x1) f(x1)，所以 f(x2) f(x)，即 f(x) f(x2)0，所以 f(1) f(3)0， f(2) f(4)0，因此 f(1) f(2) f(3) f(4)0.3(2015天津)已知定义在 R 上的函数 f(x)2 |x m|1( m 为实数)为偶函数，记a f(log0.53)， b f(log25)， c f(2m)，则 a， b， c 的大小关系为_答案 c a
29、b解析 由函数 f(x)2 |x m|1 为偶函数，得 m0，所以 f(x)2 |x|1，当 x0 时， f(x)为增函数，log0.53log 23，所以 log25|log 23|0，所以 b f(log25) a f(log0.53) c f(2m) f(0)4(2014天津)设 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的函数，当 x1,1)时， f(x)Error!则 f( )_.32答案 1解析 函数的周期是 2，所以 f( ) f( 2) f( )，32 32 12根据题意得 f( )4( )221.12 125(教材改编)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，
30、f(x) x(1 x)，则 x0， f( x)( x)(1 x)又 f(x)为奇函数， f( x) f(x)( x)(1 x)， f(x) x(1 x)3题型一 判断函数的奇偶性例 1 判断下列函数的奇偶性：(1)f(x) x3 x；(2)f(x)( x1) ；1 x1 x(3)f(x)Error!解 (1)定义域为 R，关于原点对称，又 f( x)( x)3( x) x3 x( x3 x) f(x)，函数为奇函数(2)由 0 可得函数的定义域为(1,11 x1 x函数定义域不关于原点对称，函数为非奇非偶函数(3)当 x0 时， x0， f(x) x2 x， f( x)( x)2 x x2 x
31、( x2 x) f(x)对于 x(，0)(0，)，均有 f( x) f(x)函数为奇函数思维升华 (1)利用定义判断函数奇偶性的步骤：(2)分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内 x 取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x 的范围取相应的解析式化简，判断 f(x)与 f( x)的关系，得出结论，也可以利用图象作4判断(1) 设函数 f(x)， g(x)的定义域都为 R，且 f(x)是奇函数， g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是_(填序号) f(x)g(x)是偶函数；| f(x)|g(x)是奇函数； f(x)|g(x)|是奇函数；| f(x)g(x)|是奇函数(2)函数 f(x)log a(
32、2 x)， g(x)log a(2 x)(a0 且 a1)，则函数 F(x) f(x) g(x)，G(x) f(x) g(x)分别是_(填奇偶性)答案 (1) (2)偶函数，奇函数解析 (1)易知 f(x)|g(x)|定义域为 R， f(x)是奇函数， g(x)是偶函数， f( x)|g( x)| f(x)|g(x)|， f(x)|g(x)|为奇函数(2)F(x)， G(x)定义域均为(2,2)，由已知 F( x) f( x) g( x)log a(2 x)log a(2 x) F(x)，G( x) f( x) g( x)log a(2 x)log a(2 x) G(x)， F(x)是偶函数，
33、 G(x)是奇函数题型二 函数的周期性例 2 (1)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x6) f(x)，当3 x0)1f x设函数 f(x)(x R)满足 f(x) f(x)sin x当 0 x0 时， f(x) x24 x，则不等式 f(x)x 的解集用区间表示为_答案 (1) (2)(5,0)(5，)32解析 (1)函数 f(x)ln(e 3x1) ax 是偶函数，故 f( x) f(x)，即 ln(e3 x1) axln(e 3x1) ax，化简得 ln 2 axln e2ax，即 e 2ax，整理得1 e3xe3x e6x 1 e3xe3x e6xe3x1e 2ax3 x(e3x
34、1)，所以 2ax3 x0，解得 a .32(2) f(x)是定义在 R 上的奇函数， f(0)0.又当 x0， f( x) x24 x.又 f(x)为奇函数， f( x) f(x)， f(x) x24 x (x0 时，由 f(x)x 得 x24 xx，解得 x5；当 x0 时， f(x)x 无解；当 xx 得 x24 xx，解得5x 的解集用区间表示为(5,0)(5，)2忽视定义域致误典例 (1)若函数 f(x) 在定义域上为奇函数，则实数 k_.k 2x1 k2x(2)已知函数 f(x)Error!则满足不等式 f(1 x2)f(2x)的 x 的取值范围是_易错分析 (1)解题中忽视函数
35、f(x)的定义域，直接通过计算 f(0)0 得 k1.(2)本题易出现以下错误：由 f(1 x2)f(2x)得 1 x22x，忽视了 1 x20 导致解答失误8解析 (1) f( x) ，k 2 x1 k2 x k2x 12x k f( x) f(x) k 2x 2x k k2x 1 1 k2x 1 k2x 2x k . k2 1 22x 1 1 k2x 2x k由 f( x) f(x)0 可得 k21， k1.(2)画出 f(x)Error!的图象，由图象可知，若 f(1 x2)f(2x)，则Error!即Error!得 x(1， 1)2答案 (1)1 (2)(1， 1)2温馨提醒 (1)已
36、知函数的奇偶性，利用特殊值确定参数，要注意函数的定义域(2)解决分段函数的单调性问题时，应高度关注：对变量所在区间的讨论保证各段上同增(减)时，要注意左、右段端点值间的大小关系弄清最终结果取并集还是交集方法与技巧1判断函数的奇偶性，首先应该判断函数定义域是否关于原点对称定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件2利用函数奇偶性可以解决以下问题求函数值；求解析式；求函数解析式中参数的值；画函数图象，确定函数单调性3在解决具体问题时，要注意结论“若 T 是函数的周期，则 kT(kZ 且 k0)也是函数的周期”的应用失误与防范1 f(0)0 既不是 f(x)是奇函数的充分条件，也不是必要条件应
37、用时要注意函数的定义域并进行检验2判断分段函数的奇偶性时，要以整体的观点进行判断，不可以利用函数在定义域某一区间上不是奇、偶函数而否定函数在整个定义域的奇偶性. 9A 组 专项基础训练(时间：40 分钟)1下列函数中， ylog 2|x|； ycos 2x； y ； ylog 2 ，既是偶函2x 2 x2 2 x x数又在区间(1,2)上单调递增的是_答案 解析 对于，函数 ylog 2|x|是偶函数且在区间(1,2)上是增函数；对于，函数 ycos 2x 在区间(1,2)上不是增函数；对于，函数 y 不是偶函数；对于，函数2x 2 x2ylog 2 不是偶函数2 x2 x2已知函数 f(x)
38、ln( 3 x)1，则 f(lg 2) f _.1 9x2 (lg12)答案 2解析 设 g(x)ln( 3 x) f(x)1，1 9x2g( x)ln( 3 x)ln g(x)1 9x211 9x2 3x g(x)是奇函数， f(lg 2)1 f 1 g(lg 2) g 0，(lg 12) (lg 12)因此 f(lg 2) f 2.(lg 12)3已知 f(x)在 R 上是奇函数，且满足 f(x4) f(x)，当 x(0,2)时， f(x)2 x2，则 f(2 019)_.答案 2解析 f(x4) f(x)， f(x)是以 4 为周期的周期函数， f(2 019) f(50443) f(3
39、) f(1)又 f(x)为奇函数， f(1) f(1)21 22，即 f(2 019)2.4定义在 R 上的偶函数 f(x)，对任意 x1， x20，)( x1 x2)，有21， f(3)f(a)，则实数 a 的取值范围是_答案 (2,1)解析 f(x)是奇函数，当 xf(a)，得 2 a2a，解得20，所以 f( x)( x)22( x) x22 x.又 f(x)为奇函数，所以 f( x) f(x)于是 x0，那么实数 m 的取值范围是_12答案 (1，53)解析 f(x)是定义域为(1,1)的奇函数，10 可转化为f(m2) f(2m3)， f(m2) f(2 m3)， f(x)是减函数，
40、 m22 m3，Error!1 m .5312设 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数，在区间1,1上， f(x)Error!其中a， bR.若 f f ，则 a3 b 的值为_(12) (32)答案 10解析 因为 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数，所以 f f ，(32) ( 12)且 f(1) f(1)，故 f f ，(12) ( 12)从而 a1，12b 212 1 12即 3a2 b2.由 f(1) f(1)，得 a1 ，b 22即 b2 a.由得 a2， b4，从而 a3 b10.13已知 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数，且当 0 x2 时， f
41、(x) x3 x，则函数y f(x)的图象在区间0,6上与 x 轴的交点个数为_答案 7解析 因为当 0 x2 时， f(x) x3 x，又 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数，且 f(0)0，所以 f(6) f(4) f(2) f(0)0.又 f(1)0，所以 f(3) f(5)0.故函数 y f(x)的图象在区间0,6上与 x 轴的交点个数为 7.14定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x1) f(x)，且在1,0上是增函数，给出下列13关于 f(x)的结论： f(x)是周期函数； f(x)的图象关于直线 x1 对称； f(x)在0,1上是增函数； f(x)在1,2上是减
42、函数； f(2) f(0)其中正确结论的序号是_答案 解析 对于， f(x2) f(x1) f(x) f(x)，故 2 是函数 f(x)的一个周期，故正确；对于，由于函数 f(x)是偶函数，且函数 f(x)是以 2 为周期的函数，则 f(2 x) f(x2) f(x)，即 f(2 x) f(x)，故函数 f(x)的图象关于直线 x1 对称，故正确；对于，由于函数 f(x)是偶函数且在1,0上是增函数，根据偶函数图象的性质可知，函数 f(x)在0,1上是减函数，故错误；对于，由于函数 f(x)是以 2 为周期的函数且在1,0上为增函数，由周期函数的性质知，函数 f(x)在1,2上是增函数，故错误
43、；对于，由于函数 f(x)是以 2 为周期的函数，所以 f(2) f(0)，故正确综上所述，正确结论的序号是.15函数 f(x)的定义域为 D x|x0，且满足对于任意 x1， x2 D，有 f(x1x2) f(x1) f(x2)(1)求 f(1)的值；(2)判断 f(x)的奇偶性并证明你的结论；(3)如果 f(4)1， f(x1)2，且 f(x)在(0，)上是增函数，求 x 的取值范围解 (1)对于任意 x1， x2 D，有 f(x1x2) f(x1) f(x2)，令 x1 x21，得 f(1)2 f(1)， f(1)0.(2)f(x)为偶函数证明：令 x1 x21，有 f(1) f(1) f(1)， f(1) f(1)0.12令 x11， x2 x 有 f( x) f(1) f(x)， f( x) f(x)， f(x)为偶函数(3)依题设有 f(44) f(4) f(4)2，由(2)知， f(x)是偶函数， f(x1)2 f(|x1|) f(16)又 f(x)在(0，)上是增函数0| x1|16，解之得15 x17 且 x1. x 的取值范围是 x|15 x17 且 x1.
