1、第二章 解析函数,2.1 解析函数的概念,1 复变函数的导数,定义：,存在, 则称 f (z)在 z0可导, 此极限值就称为 f (z)在 z0的导数，记作,应该注意：上述定义中 的方式是任意的。,设,是邻域内任一点。若,在z0的某邻域内有定义，,从而有：,可导 可微 ；,可导 连续。,如果 f (z) 在区域D内处处可导, 就说 f (z) 在内可导。,例1 求 f (z) = z2 的导数。,解 因为,所以 f (z) = 2z .,复变函数的导数具有与实函数同样的求导法则 ：四则运算；复合求导；反函数求导等法则,（即f (z) = z2 在复平面处处可导。）,f 在 z0可导,例2 问
2、f (z) = x +ayi 是否可导(a为实常数)?,解 这里,所以 a=1时，f (z) =z 的导数在复平面上处处存在；,否则，f (z)在复平面上处处不可导（包括 ） .,例3 讨论,的可导性。,解：,所以,在复平面上除原点外处处不可导。,2. 解析函数的概念,函数在一点解析,在该点可导。,反之不一定成立。,在区域内：,例如 f (z) = z2,在整个复平面上解析；,仅在原点可导，故在整个复平面上不解析；,在整个复平面上不解析。,定义,否则称为奇点 。,Z0称为解析点，,例4 讨论函数 f (z)=1/z 的解析性.,解：,故 f (z)=1/z 除 z = 0外处处解析；,z =
3、0 是它的一个奇点。,解析函数的性质：,(1) 两个解析函数的和、差、积、商仍为解析函数； (2) 两个解析函数的复合函数仍为解析函数； (3) 多项式在复平面上处处解析，有理式除分母为零的点 外处处解析； (4) 一个解析函数不可能仅在一个点或一条曲线上解析；所有解析点的集合必为开集。,如何判别解析（可导）性？,定理2.2 f (z) = u(x, y) + iv(x, y) 在区域D内解析的充要条件是 u(x, y) 与 v(x, y) 在D内处处可微, 且满足C-R方程.,定理2.1 f (z) = u(x, y)+iv(x, y)在z =x+iy处可导的充要条件是: u(x, y)与v
4、(x, y)在点(x, y)处可微,且满足Cauchy-Riemann方程（ C-R方程）：,推论1：若 u，v 在点(x, y)处的一阶偏导数连续且满足C-R方程，则 f (z) = u(x, y)+iv(x, y)在z =x+iy 可导。,推论2：若 u，v 在区域D内的一阶偏导数处处连续且满足C-R方程，则 f (z) = u(x, y)+iv(x, y)在D内解析。,设,于是,Th2.1的证明,在z =x+iy处可导，,即 f (z) = u(x, y)+iv(x, y)在z =x+iy处可导 u(x, y) 与 v(x, y) 在(x, y)处可微, 并且满足C-R方程。,因,记,设
5、 u(x, y) 与 v(x, y) 在点 (x, y) 可微,于是,并且满足C-R方程。,即函数 f (z)在点 z = x + iy 处可导.,因,故,证毕.,例题1,解：,例题2,判断下列函数在何处可导, 在何处解析:,解：,得 u=x, v=-y, 所以,在复平面内处处不可导, 处处不解析；,2) 由w = z Re(z) = x2 + ixy, 得u = x2, v = xy, 所以,当且仅当 x = y = 0 时,因而函数仅在z = 0可导, 在复平面内处处不解析.,3) 因 u = excosy , v = exsiny, 故,从而函数在复平面内处处解析,且,解析函数退化为常数
6、的几个充分条件： (a) 函数在区域内解析且导数恒为零； (b) 解析函数的实部、虚部或模中有一个恒为常数； (c) 解析函数的共轭在区域内解析。,证：设 f (z) = u(x, y)+iv(x, y)在区域D内解析。,(b) 若,则由C-R条件知：,(c) 若g(z) = u(x, y)-iv(x, y)在D内解析,则：,2.2 解析函数和调和函数的关系,定义,则称u(x,y)为区域D内的调和函数。,定理2.3：,证明：,同样可得：,若实函数u(x,y)在区域D内有二阶连续偏导数，且满足调和方程（或Laplace方程）：,数，则u与v是区域D内的调和函数。,是区域D内的解析函,若,若f(z
7、)在D内解析，则f(z)的各阶导数均在D内解析，于是u, v在D内有任意阶连续偏导数，且,注：逆定理显然不成立，即,对区域D内的任意两个调和函数 u, v,不一定是解析函数 .,定义,若u与v是区域D内的调和函数且满足C-R方程，,则称v为u的共轭调和函数 .,定理2.4：,在区域D内解析,v为u的共轭调和函数 .,解析函数的虚部为实部的共轭调和数,例如：,是解析函数，,不是解析函数。,是调和函数（自证），,已知共轭调和函数中的一个，可利用 C-R 方程求得另一个，从而构成一个解析函数。,例题1,已知一调和函数,求一解析函数,解：,由 C-R 方程,于是,（法一）,从而,即为所求解析函数。,（
8、法二）,由微积分知：D为单连通域时，上式右端积分与路径无关，于是,（法三）, 2.3 初等函数(统一于指数函数!),1. 指数函数,定义：,性质：,2. 对数函数：指数函数的反函数,定义：称满足方程 的函数w=f(z)为对数函数，记为,记：,多值性,-主值支,例如：,性质：,(2) Ln z为无穷多值函数，每两个值相差2 i的整数倍 ，,(4) 除去原点与负实轴, ln z在复平面内处处解析：,今后我们应用对数函数Ln z时, 指的都是它在除去 原点及负实轴的平面内的某一单值分支.,问题：,3. 幂函数,定义：,- 单值函数,- n值函数,- n值函数,- 无穷多值函数,在除原点和负实轴复平面
9、内主值支及各分支解析，且,4. 三角函数,定义：,性质：,(1) Euler 公式仍然成立：,(2) 全平面解析，且,(3) 各种三角恒等式仍然成立(半角公式除外),(4) sin z为奇函数，cos z为偶函数,Euler 公式,例如,(7)定义其他的三角函数：,5. 反三角函数（三角函数的反函数）,多值函数！,定义：称满足方程 的函数w=f(z)为反正弦函数，记为 （余类推）。,表达式：,推导：解方程，如,6. 双曲函数与反双曲函数,定义：,(1) 解析性：,(2) 基本周期： 2pi（ shz, chz ）； pi（thz）.,(3) shz为奇函数, chz为偶函数。,(4) 与三角函数的关系：,例题,解方程,解：,
