1、阶跃函数冲激函数 是两个典型的奇异函数。,阶跃函数和冲激函数,函数本身有不连续点(跳变点)或其导数与积分有不连续点的一类函数统称为奇异信号或奇异函数。,一、单位阶跃函数,下面采用求函数序列极限的方法定义阶跃函数。,选定一个函数序列n(t)如图所示。,1. 定义,2. 延迟单位阶跃信号,3. 阶跃函数的性质,（1）可以方便地表示某些信号,f(t) = 2(t)- 3(t-1) +(t-2),（2）用阶跃函数表示信号的作用区间,（3）积分,二单位冲激函数,单位冲激函数是个奇异函数，它是对强度极大，作用时间极短一种物理量的理想化模型。,狄拉克(Dirac)定义函数序列定义(t)冲激函数与阶跃函数关系
2、冲激函数的性质,1. 狄拉克(Dirac)定义,函数值只在t = 0时不为零；,积分面积为1；,t =0 时， ，为无界函数。,2.函数序列定义(t),对n(t)求导得到如图所示的矩形脉冲pn(t) 。,求导,高度无穷大，宽度无穷小，面积为1的对称窄脉冲。,3. (t)与(t)的关系,n,引入冲激函数之后，间断点的导数也存在,f(t) = 2(t +1)-2(t -1),f(t) = 2(t +1)-2(t -1),三 冲激函数的性质,取样性 冲激偶 尺度变换 复合函数形式的冲激函数,1. 取样性(筛选性),对于平移情况：,如果f(t)在t = 0处连续，且处处有界，则有,证明,举例,冲激函数
3、取样性质证明,分t = 0和t 0 两种情况讨论,当t 0 时，,(t)= 0，,f(t)(t)= 0，,(注意：当t 0 时),积分结果为0,当t = 0 时，,(t) 0，,f(t)(t)= f(0)(t) ，,(注意：当t =0 时),取样性质举例,0,(t),2.冲激偶,冲激偶的性质, f(t) (t) = f(0) (t) f (0) (t),证明,证明,(n)(t)的定义：,(t)的平移：,例,冲激偶积分证明,利用分部积分运算,3. 对(t)的尺度变换,证明,推论:,(1),(2t) = 0.5 (t),(2) 当a = 1时,所以， ( t) = (t) 为偶函数，( t) = (t)为奇函数,举例,冲激信号尺度变换的证明,从 定义看：,p(t)面积为1， 强度为1,p(at)面积为 ， 强度为,举例,已知f(t)，画出g(t) = f (t)和 g(2t),冲激函数的性质总结,（1）取样性,（2）奇偶性,（3）比例性,（4）微积分性质,（5）冲激偶,
