1、魅力数模 美丽师大浙江师范大学“同梦杯”第十一届数学建模竞赛自信 创新 合作 快乐A B论文题目 最佳促销策略 编 号 51 评 分 监 制：浙江师范大学数学建模研究会（2012年5月10日）（说明：评分一栏为评阅人填写，请参赛者不要填写）最佳促销策略摘 要本文通过某个市场的数据调查分析，分析了顾客流量和商业利润的关系以及促销手段和商业利润的关系，并因此建立了相应的模型进行具体阐述。对于问题1，通过收集整理现有的主要商业促销手段。如商业规模、消费水平、宗教信仰、当地经济发展水平等，建立客流量与随机客流量以及促销效果因数的模型，使得在商业利益最大化的前提下，给出最佳促销手段。对于问题2，采用的是
2、回归分析和方差分析的方法，并用Excel画出相应表格，得出促销方式对该产品的销售量有显著影响，进而给出了顾客的最佳选择。问题3是通过顾客从打折促销所获得的日平均节省额作图分析，得到日平均节省额是显著增长，但日平均节省率却显著递减，从而分析得到经营者的最佳促销策略和顾客的最佳消费策略。关键字：消费策略；促销策略；方差分析；回归分析; 动态优化模型1.问题重述1.1.问题提出的背景 中国市场经济的建立，一方面推动了我国经济的飞速发展，同时也加大了市场竞争，巨大的市场竞争带给了经营者极大的压力，为了在现有的市场得到更多的份额，商家纷纷采取各种促销手段，用以吸引顾客的青睐，从而获得较高商业利益。现代市
3、场营销要求企业开发适销对路的产品，制定有吸引力的价格，通过合适的渠道使标顾客易于得到他们所需要的产品，加强企业与社会公众的信息交流和沟通工作，即进行促销活动。1.2.相关促销知识 （1）促销成交比例=参与促销的单品成交数/整店成交数； （2）促销转化率比例=促销时段转化率/日均转化率1.3.问题的提出每逢“黄金周”，商家都会抛出促销方案，以吸引更多的顾客光临，从而达到增加销售额，提高经济效益的目的；如果促销策略不当，可能会适得其反。但由于顾客选择商场具有一定的随机性，因而商家很难估计到这些促销策略带给企业的效益。建立数学模型，分析顾客流量与商业利润的关系；收集整理现有的主要商业促销手段。由于促
4、销手段与商业规模、消费水平、宗教信仰、当地经济发展水平等因素有着直接或间接的关系。请建立模型，在商业利益最大化的前提下，给出最佳促销手段；消费者面对众多的促销手段，眼花缭乱。请建立模型，在顾客消费额度一定的前提下，给出顾客的最佳选择；写出一个不超过800字的报告，阐明经营者的最佳促销策略和顾客的最佳消费策略。2.问题的分析2.1.顾客流量和商业利润的关系 顾客构成增加销售额主要是从增加顾客人数、检讨促销效果及扩展顾客需求等项目着手。 增加顾客数量，表面来讲无非就是增加商场来客的顾客不吻合。一些商场管理者一谈到商场来客数低的绝招就是拼价格，虽然这种方法在短时间内会使来客数剧增，很多门店的销售曲线
5、证明，促销单从单品价格上的吸引力来说是极其有限的。所以，要想增加门店的来客数，首先得对我们的商圈顾客加以研究，只有在了解顾客的基础上才能提高商业利润。2.2促销手段和商业利润的关系任何企业行使管理的目的，是使目标达到最优化。传统的选择上平促销方式和促销策略，往往带有较大的盲目性和被动性，不能确定哪一种促销策略是最优的，容易给企业经营管理带来风险。促销策略就是选择和组合应用这几种促销方式，促进和扩大商品销售，为企业创造良好经济效益。促销策略的选择受人口、经济、社会文化、自然、科学技术和政治与法律等因素的影响，并与目标顾客、供应商、竞争者等有一个直接对联系。如何从众多的促销方式中选取一个最优的促销
6、策略，是传统促销策略没有涉及的。在以顾客主导市场的作用下，每个行业都存在着广阔的市场空间，而生产厂商众多、竞争十分激烈，厂商要想保持其长久的竞争力，稳固并拓展自己的市场份额就要根据市场的状况和自身的资源，有针对性地了解消费者行为，以制定有效的促销策略。然而，营销的终极 目标是消灭促销，而促销又是在商品流通当中真实存在的。促销是4PS中主要的一环，少了促销就如一张凳子少了一个脚，就不能使市场健康稳步发展；正因为企业有了促销策略的实施丰富了市场活力与内涵。促销的目的在于刺激与创造需求促成销售，排除销售阻碍，达到企业销售效果，改善企业销售利润曲线。那么企业在研究是否需要开展促销活动时，一方面要取决于
7、企业现行的经营目标与市场占有率，如果企业要实现短期的营业利润或考虑到要快速打开市场缺 口从而提高知名度，这就需要有效的促销行为与方法。 3.模型的假设（1）潜在的顾客总量单纯受到经济发展水平、经济人口和商场所处商业地段等环境因素的影响；（2）区域的总需求稳定，不会因为促销活动而显著下降；（3）顾客人群的总体行为符合概率模型；（4）商业基本成本（管理、员工工资、环境投资等）在促销行为期间固定不变； (5)将商家销售的所有商品视为一种理想化的标准商品，其原始价格等于市场平均价格，且没有质量和品牌的差异； (6)商家在促销前准备充足，有足够的流动资金，促销商品不会断货、缺货； (7)商家严格按照理想
8、化的促销手段实施促销行为。4.模型的建立与求解4.1.问题一模型的建立与求解4.1.1建立模型1 顾客构成增加销售额主要是从增加顾客人数、检讨促销效果及扩展顾客需求等项目着手。 增加顾客数量，表面来讲无非就是增加商场来客数，准确地说是增加进店顾客的有效交易次数。如果顾客进店而没有产生消费或交易，就等于是无效进店顾客或可理解成商场的经营定位、商品宽深度和我们的顾客不吻合。一些商场管理者一谈到商场来客数低的绝招就是拼价格，鸡蛋2角钱一个、泰国香米1元钱一斤虽然这种方法在短时间内会使来客数剧增，很多门店的销售曲线证明，促销单从单品价格上的吸引力来说是极其有限的。再者，这种方法你会用，竞争对手也会复制
9、，还有可能比你搞得更加疯狂，双方头破血流顾客也不会感谢任何一方。所以，要想增加门店的来客数，首先得对我们的商圈顾客加以研究。只有在了解顾客的基础上才能把顾客大把的钱赚到我们手上来，这样竞争对手也不至于那么容易能够对门店的竞争力进行模仿了。客流量与随机客流量模型如下： 随机客流量是全部消费人群做出的符合概率分布的行为选择，预约客流量是由特殊的促销手段获得的稳定客源（其消费有必然性）：如商场使用发放会员卡、代金券等促销手段带来的回头客。在模型中将预约客流量简化为代金券的发放数量。在一定的经济发展水平、商业地段和商场规模条件下，随机客流量与潜在顾客总量和促销投入有关。顾客单价代表进入商场的每个顾客的
10、平均消费额，顾客单价与顾客对商品的关注率和购买率，以及商品售价有关，即：；4.2.问题二模型的建立与求解4.2.1.建立模型2设所考察的因子为，有个不同的水平（状态），对因子的每个水平分别进行几次独立的观测，得到个所研究变量的观测值为，其中，表示因子的哥哥水平；，表示各次观察。则观测数据的结构模型为：，其中，为平均效应，为因子的第个水平对观测变量影响的效应，表示随机误差，并且，亦即。 假定某企业现在每周的销售量为，时间为，在将来的销售量为，时间为。则促销策略的效果为：（表明仅以促销策略带来的效果）。而不能表示促销策略的效果，它表示某企业受多方面不可控因素（随机因素），如市场变动、商品购买力变化
11、、消费心理、季节变动、循环变动等影响和促销策略共同作用下的效果，不能用来检验促销策略的真正效果，而方差分析法可以用来解决这个问题，并找出最优的促销策略。模型参数的无偏估计变量：方差分析表及其构造：为检验各水平效应若记为各水平的总体均值，则上述检验等价于： 构造检验统计量： 给定显著性水平，若由观测变量值计算出的值大于其分布表中的临界值：即则应该拒绝原假设，认为各水平的效应是不同的，或者说各种促销方式对商品销售量的影响是显著的。否则，就应该接受原假设，把上述结果列于下表，即为方差分析表：的的置信区间： 或的置信区间： 若该区间覆盖着零，就认为与无显著差异；若该区间不包括零，就应该认为与存在显著差
12、异。4.2.2.模型2求解某企业为了扩大市场占有率，促进商品销售，拟开展一场产品促销活动。为此改成决策部门拟定了三种促销方式：电台广告，降价销售，改换包装，并选择了三个人口规模、经济发展水平、文化、自然、科学技术以及该企业产品过去销售量都类似的地区，随机地把三种促销方式安排在其中一个地区进行试验，共试验了六周，其数据资料如表一建立方差分析表：给定显著性水平，则由分布表查处临界值为,故,所以，应该拒绝原假设，即认为三种不同的促销方式对该产品的销售量有显著影响。模型参数的点估计量： 由上述计算结果可知，改换包装这种促销方式的效应估计值最大，降价销售次之，而在电台播出广告这种促销方式的效应估计值最小
13、。4.2.3建立模型3假设：某医药公司有一大批保健品。根据以往统计资料，零售价增高，则销售量减少，若做广告，可使销售量增加。现在已知该保健品的进价是每盒40元，请帮助决策一下，如何确定保健品的价格和花多少广告费，使公司获利最大。1.问题的分析 利润是销售收入与支出之差,销售收入是零售单价与实际销售量之积,而销售量与零售单价有关,实际销售量又与预期销售量及广告后销售量的提高有关。在这个问题中,涉及多个随机变量,一般可用统计的方法来建立数学模型,首先,预期销售量与价格的高低相关,价高量少,价低量大,其相关关系,可根据以往的统计资料或市场销售经验分析求得其次销售量的提高与广告费用也是相关的,做广告,
14、可扩大商品品牌的知名度,进而提高销售量,其销售量增加的程度可用售量提高因子来表示,这种售量提高因子与广告费用的关系,也可根据以往的统计资料或销售经验。 为建立模型,引入以下记号：x销售单价；y预期销售量；z广告费； k售量提高因子；c成本单价；S实际销售量；P利润。2.模型的建立根据收集到的销售量与价格的关系的统计数据，作出散点图；由散点图，可近似判断出这两个变量的关系曲线，再用曲线拟合法，得到曲线的回归方程。同样方法，根据收集到的售量提高因子k与广告费z的关系的统计数据,判断出这两个变量的近似曲线并求得回归方程。 一般地，实际销售量S等于预期销售量y乘以售量提高因子k，即S=ky，于是，利润
15、P可表示为：P=收入支出=销售收入成本支出广告费=SxScz=ky(xc)z由上可知：，所以利润P只是x和y的函数，利润P最大就转化为求P(x,z),当x、z为何值时，达到最大值。3.模型的求解 根据以往该保健品的销售统计资料，可查得：(1) 求出售量与价格的关系下面介绍利用数据分析软件Excel做回归分析。操作要点：进入Excel，在第一、第二列分别输入相应的数据，插入“图表”，在弹出对话框中图表类型选项中，选择“散点图”，几颗得到数据点的直观图，如图1所示观察散点图，可知这两个变量大致呈线性关系，考虑用回归直线来拟合，一次选择“工具”、“数据分析”、“回归”，即可得到各种统计结果，如图2所
16、示。由图2知所求回归直线方程为。(2) 求出售量提高因子与广告费的关系下面介绍利用数学软件Mathematica做回归分析。由表2做出散点图，如图3所示。从图3看出散点近似在一条抛物线上，可用抛物线来拟合。操作要点：进入Mathematica软件，进入命令窗口，在命令窗口输入对数据进行最小二乘拟合的命令：Fitdata,funs,Vars其中data为要拟合的数据，funs为拟合函数的基，Vars为拟合的变量，然后同时按下Shift和Enter键即可执行上述命令，过程和结果如下，即销售量提高因子与广告费的回归方程为：(3) 求利润的极值 将带入目标函数P，得：由多元函数求极值的方法：先求两个偏
17、导数，然后求满足方程组的点。仍以Mathematica为计算工具。操作要点：在命令窗口依次输入命令：(求导数或偏导数)和然后同时按下Shift和Enter键便可执行上述命令（过程和结果如下）：由多元函数极值的充分条件知，在点处利润P取得最大值，这是，。即按该方案销售，实际销售量4,.模型说明一个模型是否反映客观实际，可用已有的数据去验证。如果由模型计算出来的理论数值与实际数值比较吻合，则模型是成功的；如果理论数值与实际数值差别太大，则模型是失败的；如果理论数值与实际数值部分吻合，则可找原因，发现问题，修改模型。建立此类模型的关键，是根据以往的信息（统计资料或市场销售经验）作出合理的判断。当然实
18、际操作中，影响利润的因素很多，如要考虑这种商品在市场上能畅销多久？此外，该模型的架设在，没有考虑广告的方式，而不同方式的广告所产生销售量的增加也是不尽相同的，所以当广告的形式多样时，还必须比较各种方式所得利润的大小，再作出决策。4.2.4建立模型4 广告是市场营销的重要组成部分，也是运用得最为广泛和最为有效的促销手段，它对刺激市场需求和消费、促进生产和流通及提高生产及经营企业的经济效益发挥了重要作用。本文借助于Vidale-Wolfe广告模型所描述的销售与广告的动态变化规律，结合分布参数系统建立微分方程模型来分析和研究在市场供求基本平衡的前提下，商品在不同生命周期阶段为使经营企业的销售利润最大
19、化应该采取的最优广告策略(销售利润达到最大时的广告费用就是最佳广告预算)。本文的最优控制问题实质上就是找到一种能使经营企业的日标泛函达到极大值的广告投资策略。1产品供给的动态分布模型: 为了描述我们所考虑的特定问题，我们用分布参数系统建模描述商品销量随时间变化的动态规律。设表示时刻某种产品的产出量不超过，产量变化率不超过的企业数量，分别代表产出量的最小值及企业的最大生产能力。这里假设当时，有极限存在，这个值表示时刻产出量不超过的企业数量。当市场足够大时，可以假定连续且具有以下用到的各阶连续偏导数，令表示时刻产量不超过，产量变化率不超过的企业分布密度函数。则:表示时刻该产品的产量不超过的企业分布
20、密度函数。再定义函数:表示时刻产量为，产量变化率为企业的关于的相对密度，或称为条件分布密度，显然有: (1)定义时刻产量的平均变化率函数为，有: (2)令表示 时刻新建与关、停、并、转的产品产量不超过的企业数在单位时间内的净值。则为其相应分布密度函数。考虑在时刻，该产品的产量不超过的企业数由如下两部分组成（1）时刻满足条件的企业数；（2）在时间内新建与关、停、并、转的产量不超过的企业数净值。则有： (3)又由定义可知； (4)按照文献的推导过程，对方程进行整理推导得出: (5a)初始分布条件为: (5b) 边界条件为: (5c) 上式可以这样理解:由于在区间上，总能找到边界线，使该产品的产量小
21、于的企业不存在。这与事实情况也是相符的，因为产品的产量太低，会造成亏损，因而企业应将停止:该产品的生产，转产生产其他产品。 通过以上推导，得到产品供给的分布密度函数的分布方程，这是一个偏微分方程的初边值问题，在相当广泛的条件下，存在唯一解。如果在己知初边值条件的基础上给出和t时刻新建及关、停、并、转的企业变化分布密度函数，即可求出供给的分布密度函数.2市场供求平衡下需求预测方程及最优广告策略 为了研究最佳广告策略，我们做如下假设:1.该产品全部由某一销售机构(商家)代理经销;2.在研究时间段内，市场供求基本平衡，产品销量和供给都用（x，t）表示，;3.产品产出量的变化率即为商品销售量的变化率。
22、我们知道:利润达到最大时的广告费用就是最佳广告预算，商家会按照此原则来制定广告策略。根据vidale-wolfe广告模型/6/，有: (6) 在该模型中，认为商品的销售变化率依赖于两个因素，一是广告的作用，通过广告扩大商品的销路，二是人们对该商品的“遗忘”，如果没有任何的广告费用的支出，那么人们对该商品将逐渐忘却，这将引起销售率的下降。(9)式中令表示时刻商品的销量，表示时刻广告费用的支出，表示市场的最大容量即商品需求的饱和水平，也称之为市场对此种商品的最大承载力，表示商品的自然扩散率,表示商品的被“遗忘”率(即平均衰减系数)，,都是常数。由于市场客观存在一个可能的最大容量，当实际销售量达到或
23、接近时，广告费用支出的作用就为0或几乎为0。相反，若实际销售量比小得多，那么广告的效果则较大。 事实上，制定广告费用策略，还应该考虑商品所处的生命周期，为了使广告投入能获得最大的收益，根据商品所处的生命周期，广告费用的投入量应该有所调整。从投入期到成长期，广告费用是递增的，此时商品的销售变化率呈增函数；到成熟期，广告费用达到阀值，商品在市场上的销量增长最快；成熟期以后，广告费用应逐步减少，此时商品的销售变化率递减；在衰退期一些商家将广告的支出费用降到零，商品在市场的销售总量亦趋于饱和（常数），此商品即将退出市场。如下面的图形所示:将方程(6)代入方程(5a)中，商品销售的分布密度函数方程为:
24、（7a）初始分布条件为： （7b）边界条件为: （7c）根据商品销售的分布密度函数f(x，t)，可以预测出某一时刻的该商品市场需求量为: （8）3目标函数的建立 由此可见，商家在选择广告策略时，除在考虑财力、物力的限制条件及市场潜在需求的前提下，还应考虑商品所处的生命周期。本问题日标函数的确定是商家如何通过调节控制广告费用，使企业及商家获得的销售利润最大化。我们把某一时刻销售量作为状态变量，把广告费用作为控制变量，再令为商品的销售单价，为贴现率，表示所研究的特定生命周期时间段，则目标函数如下; （9）问题应该是，通过选择合适的广告策略，使日标函数.最大化。的设定是基于下而的考虑:我们知道，任何
25、商品的生命周期都会经历一个从投入、成长、成熟、衰退，最后被市场所淘汰的过程，这就是商品的生命周期，即投入期、成长期、成熟期、衰退期。由于商品在不同的生命周期，其品质、销售数量、销售单价、销售利润和市场状况等均有各自的特点，这些特点是商家制定广告策略的依据。比如在商品的投入期，为了提高产品的知晓率并能克服消费者原有的消费习惯，要不断增加广告费用，尽量作到家喻户晓；在产品的成长期，为了进一步巩固和开发流通渠道，要提高销售现场的广告水平，继续保持较高的广告费用，广告宣传的重心由过去以提高知晓率为主的宣传转成为突出企业形象的广告；成熟期是商家获利的黄金季节，要努力延长这一阶段，提高商品的市场占有率，一
26、般这个阶段的广告费用也不能减少；在产品的衰退期，市场需求己明显减少，商家为了减少损失应该大幅度降低广告费用，直至减少到零。4评价 利用分布参数系统建模来描述和分析了企业供给的动态变化规律，结合vidale-wolfe广告方程，研究了通过调节广告费用，使经营企业取得销售利润最大化的问题。此研究为根据商品生命周期的特点制定合理、有效的广告策略，保证市场均衡提供参考依据。4.3.问题三模型的建立与求解4.3.1模型分析市场营销活动中，必然存在产品或服务的提供者与接受者，也就是一定会有企业与顾客两种角色。在成熟的市场环境下，企业要追求利润的最大化，借以发展壮大、实现社会价值，而顾客也要寻求受益的最大化
27、。现实现顾客选择的让渡价值最大化目标：顾客让渡价值体现顾客购买所获得的价值。 顾客让渡价值是指顾客购买的总价值（产品价值、服务价值、人员价值和形象价值）与顾客购买的总成本（货币成本、时间成本、精神成本和体力成本）之间的差额。顾客必然会选择自我判断让渡价值大于零的产品和企业。 法融合的矛盾，此消彼涨。 因此，传递高的顾客价值就能引起高的顾客满意，继而就产生高的顾客忠诚，这就是企业长期生存的关键之处。很难想象一个不满意的顾客会重复购买令他不满意的产品或多次主动接受令他不满意的服务。 4.3.2.模型假设在这里，为了简化计算，我们粗略的将顾客所需商品分为A和B两类，A型为大型家具、家电、首饰、名牌服
28、装等高消费商品。B型为一般常用的食品、日用品等低价商品。设置有A类和B类商品分别有两种不同的再购周期t1和t2。另外，设再t1周期内对A类商品的数量需求为q1，对B类商品的需求量为q2。A型商品平均价格为m1,B型商品平均价格为m2。令m1=km*m2 q1=kq*q2 t1=kt*t2。则可粗略估计km，kq，kt分别与顾客个人的收入情况和消费情况有直接关系。假设“买一送一”可以看做是赠品促销，假设商家只对A型商品做代金券，而其余促销方案对两类商品均适用。由于抽奖对于顾客来说获利机会太小，因此不予考虑，只以四种促销方式作为考虑方案。4.3.3.符号说明p 商品打折率s 商品赠品单价z 商品赠
29、品折扣F 商品代金券赠送比率m 商品价格q 商品需求量T 商品再购周期 周期内消费额 资金应用于折价促销所购得的商品数量 资金应用于赠品促销所购得的商品数量 资金应用于端架展示所购得的商品数量 资金应用于代金券赠送所购得的商品数量 平均节省额X 平均节省率4.3.4. 模型求解图1.打折促销日节省额 图2.打折促销日节省率随着个人消费额的提高，顾客从打折促销所获得的日平均节省额显著增长，但日平均节省率却显著递减。赠品销售和端架展示具有和打折促销相同的趋势。这里不再重复。 图3.代金券赠送代金券赠送具有随消费额增高而日平均消费额和日平均比值显著下降的趋势。4.3.5. 模型评价与不足1该模型考虑
30、了时间因素对顾客的影响，以及心理和精神要素对顾客的影响，虽然不能得出量化模型，但从宏观的方面考虑到了两种极致情况。且从多方面考虑，但较强依赖于相关的数据，故只能得到动态的趋势。2该模型没有对时间周期和商品类型更深层次进行细分，没有考虑到顾客的变通和计划的随机性。模型从完全理性化的角度考虑，未免和实际相比误差较大。 5.总结报告5.1经营者的最佳促销策略我们将一个潜在顾客的购买行为分解为进门、关注、购买三个阶段，最佳的促销策略应该分别从这三个阶段来提升购买总量，并且能找到促销的投入成本和为吸引顾客而损失的利润与最终收益之间的最佳平衡点。我们从模型中发现：广告投入在不降低客单价的同时能有效地提升客
31、流量；店内的货品展示则通过提高顾客的关注率使客单价增长。因此，在达到成本制约和市场疲惫前，推广促销是一种较好的选择。降价促销几乎没有预备成本，但在促进顾客关注和购买的另一方面又降低了客单价，因此只有在商品价格具有较大的利润空间时才能获得高收益；赠送礼品不降低客单价，但是需要较大的立即成本投入；代金券则是一种即能提高客单价又能增加关注和购买的较理想的让利促销方式。结论：发放代金券是最佳的让利促销手段，根据商品的原始利润选择合适的面值可以实现最大收益。同时推广促销也很重要，广告和店内展示都是有效的利润倍增器，且在成本投入中应偏重于广告。5.2 顾客的最佳消费策略从研究中发现，针对不同的顾客群，对促
32、销的敏感程度不同。高收入人群，大多更重视精神追求。这时，对降价、礼品赠送的欢迎程度不如低收入群体。相反，在后两种促销手段上，参与程度远比后者要积极。但是，由于高收入人群的消费水平高，在同一种促销方式中，高收入人群显然所获收益远大于低收入人群。并有随消费水平增高而稳步增高之势，但是所获利益相对于自己的平均消费水平却有递减之势。并且精神需求越大，这种衰减趋势越烈。四种促销方案，端架展示最能提高精神追求，降价促销最差，其余两种居中。因此，顾客可以根据自己的实际和追求选取适于自己的促销方案。另外，代金券作为一种高消费手段，在此花费越多，顾客所获利润越小。参考文献1张恩俊.浅谈实现顾客让渡价值最大化与企业利润最大化的统一A.（2010）02-164-012贺新瑜.商品促销策略的最优化问题.19983李春波.从顾客的数量构成上增加销售额.20114王诤，刘廷新，単露雨.浅谈市场营销中的促销策略.20095石林.论促销策略在中国企业的应用.2100466梁文光.基于企业促销策略探究.51064020
