1、江苏省如皋中学 2017-2018 学年度第一学期第二次阶段测试高三数学一填空题：本大题共 14 小题，每题 5 分，共 70 分请把答案填写在答题卡相应位置上1. 已知全集 U1,2,3,4,5,6， M2,3,4， N4,5，则 U(M N)_【答案】【解析】 ，答案为 .故答案为2. 一个单位有职工 800 人，其中具有高级职称的 160 人，具有中级职称的 320 人，具有初级职称的 200 人，其余人员 120 人为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法从中抽取样本若样本中具有初级职称的职工为 10 人，则样本容量为_【答案】40【解析】设样本容量为 ，由于每个人个体被抽到的概率等
2、于 ，则由 ，解得，故答案为 .3. 若抛物线 y22 px(p0)的焦点也是双曲线 x2 y28 的一个焦点，则 p_【答案】8【解析】 双曲线 双曲线 的焦点坐标是 与 ，又抛物线的焦点 也是双曲线 的一个焦点， ，故答案为 .4. 已知正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 1，在正方体内随机取一点 M，则四棱锥 M ABCD 的体积小于 的概率为_【答案】【解析】正方体 的棱长为 正方体体积 ，当四棱锥 的体积小于 时，设它的高为 ，则 ，解之得 ，则点 在到平面 的距离等于 的截面以下时，四棱锥 的体积小于 ，求得使得四棱锥 的体积小于 的长方体的体积 四棱锥 的体积小于 的概率
3、 ，故答案为 .5. 已知 aR，若 为实数，则 a_【答案】【解析】化简可得 上面的数为实数，解得 ，故答案为 .6. 设向量 a(sin 2 ，cos )， b(cos ，1)，则“ a b”是“ ”的_条件(填“充要” “充分不必要” “必要不充分” “既不充分又不必要”)【答案】必要不充分7. 已知点 P(x， y)的坐标满足条件 ，那么点 到直线 的距离的最小值为_【答案】2【解析】由约束条件 作出可行域如图，由图可知，当 与 重合时， 到直线的距离最小为 ，故答案为 .【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二找、三
4、求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线） ；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解） ；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.8. 椭圆 的左、右焦点分别是 F1， F2，过 F2作倾斜角为 120的直线与椭圆的一个交点为 M，若 MF1垂直于 MF2，则椭圆的离心率为_【答案】【解析】如图，在 中， ，故答案为 .【 方法点睛】本题主要考查椭圆的定义，椭圆的几何性质以及离心率，属于难题. 离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况： 直接求出 ，从而求出 ； 构造 的齐次式，求出
5、； 采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解；根据圆锥曲线的统一定义求解9. 若实数 ， ，且 ，则 的最小值为_【答案】【解析】 ,当且仅当即 b-1=2a,又 ，所以 a= ,b= 时取等.故答案为 .10. 如图，半径为 1 的扇形 AOB 的圆心角为 120，点 C 在弧 上，且 COB30若 2 ，则 _【答案】【解析】根据题意，可得 ，以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴、 轴建立平面直角坐标系，如图所示：则有 ，即 ，于是 ，由 ，得 ，解得 ，故答案为 .11. 设数列 an的前 n 项和为 Sn，若 的值为常数，则称数列 an为“吉祥数列” ，这个常数称为数列 an 的“吉祥
6、数” 已知等差数列 bn的首项为 1，公差不为 0，若数列 bn为“吉祥数列” ，则它的“吉祥数”是_【答案】【解析】设等差数列 的公差为 ， ，对任意正整数 上式均成立， ，故答案为 .12. 如图，在 ABC 中， ， AB2，点 D 在线段 AC 上，且 AD2 DC， ，则 cos C_【答案】【解析】试题分析： ,因为所以 ，负舍；因而，故考点：向量数量积，二倍角公式，余弦定理【思路点睛】三角函数和平面向量是高中数学的两个重要分支，内容繁杂，且平面向量与三角函数交汇点较多，向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇.不论是哪类向量知识与三角函数的交汇试题，都会出现交
7、汇问题中的难点，对于此类问题的解决方法就是利用向量的知识将条件转化为三角函数中的“数量关系” ，再利用三角函数的相关知识进行求解.13. 已知直线 x y k0( k0)与圆 x2 y24 交于不同的两点 A， B， O 是坐标原点，且有，那么 k 的取值范围是_【答案】【解析】试题分析：当 时， 三点为等腰三角形的三个顶点，其中，从而圆心 到直线 的距离为 ，此时 ；当 时，又直线与圆 存在两交点，故 ，综上， 的取值范围为考点：直线和圆的方程的应用及向量的运算【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用及平面的概念、运算，着重考查了分类讨论思想方法和转化的思想方法，属于中档试题，本题
8、的解答中，根据时， 三点为等腰三角形的三个顶点，可解得此时此时 ，当时，可判定直线和圆 存在两个公共点，即可求解实数 的取值范围14. 若不等式 在实数集 R 上恒成立，则正整数 的最大值是_参考数据： 【答案】【解析】 不等式 在实数集 R 上恒成立，等价于 的图象恒在上方， 与 的图象相切时斜率 最大，设 与 的图象相切时切点坐标为 ，则 ，切线方程为 ，将点 代入切线方程可得， 在 上递增， ， ， ， 的图象恒在 上方，所以 ，而 ，所以正整数 的最大值是 ，故答案为 .【方法点晴】本题主要考查利用导数求切线方程、数形结合思想的应用以及不等式恒成立问题，属于难题不等式恒成立问题常见方法
9、： 分离参数 恒成立( 可)或恒成立（ 即可） ； 数形结合( 图象在 上方即可)； 讨论最值 或 恒成立； 讨论参数.二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15. 如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中， AB BC， E， F 分别是 A1C1， BC 的中点(1)求证：平面 ABE平面 B1BCC1 ；(2)求证： C1F平面 ABE【答案】 （1）见解析；（2）见解析【解析】试题分析：（1）要证明面面垂直，关键是用到面面垂直的判定定理，只要证明面EAB 内的直线 AB平面 B1BCC1就可以了；（2）取 AC 的中
10、点 G，连结 C1G、FG，只要证明平面C1GF/平面 EAB，就可以得到 C1F/平面 EAB试题解析：证明：（1）BB 1平面 ABCAB 平面 ABCABBB 1又 ABBC，BB 1BC=BAB平面 B1BCC1而 AB 平面 ABE平面 ABE平面 B1BCC1（2）取 AC 的中点 G，连结 C1G、FGF 为 BC 的中点FG/AB又 E 为 A1C1的中点C 1E/AG，且 C1E=AG四边形 AEC1G 为平行四边形AE/C 1G平面 C1GF/平面 EAB而 C1F 平面 C1GFC 1F/平面 EAB考点：面面垂直的判定定理和线面平行的判定定理16. 设 ABC 的内角
11、A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，满足 (1)求角 C 的大小；(2)设函数 f(x)cos(2 x C)，将 f(x)的图象向右平移 个单位长度后得到函数 g(x)的图象，求函数 g(x)在区间 上的最大值【答案】 （1） ；（2） 在 时，最大值为 1试题解析：(1) a， b， c 是 ABC 的内角 A， B， C 所对的三边，且 ，由正弦定理得 ，即( sin Asin B)cos Ccos Bsin C，即 sin Acos Csin Bcos Ccos Bsin Csin( B C) A B C，sin( B C)sin A0， cos C1，即 cos C . C
12、 是 ABC 的内角， C .(2)由(1)可知 f(x)cos ， g(x) f cos cos（2 x ）.0 x ， 2 x ， g(x)在 时，最大值为 117. 为响应新农村建设，某村计划对现有旧水渠进行改造，已知旧水渠的横断面是一段抛物线弧，顶点为水渠最底端（如图） ，渠宽为 4m，渠深为 2m（1）考虑到农村耕地面积的减少，为节约水资源，要减少水渠的过水量，在原水渠内填土，使其成为横断面为等腰梯形的新水渠（如图（1）建立平面直角坐标系） ，新水渠底面与地面平行（不改变渠宽） ，问新水渠底宽为多少时，所填土的土方量最少？（2）考虑到新建果园的灌溉需求，要增大水渠的过水量，现把旧水渠
13、改挖（不能填土）成横断面为等腰梯形的新水渠（如图（2）建立平面直角坐标系） ，使水渠的底面与地面平行（不改变渠深） ，要使所挖土的土方量最少，请你设计水渠改挖后的底宽，并求出这个底宽【答案】 （1） ；（2）改挖后的水渠的底宽为 时，可使挖土的土方量最少【解析】试题分析：（1）建立坐标系，设拋物线的方程为 ,由已知点 在抛物线上，推导出拋物线的方程，可得梯形 面积，利用导数可得结论；(2)为了使挖掉的土最少,等腰梯形的两腰必须与拋物线相切,设切点 ，则函数在点 的切线方程为,由此能推导出设计改挖后的水渠的底宽为 时，可使用权所挖土的土方星最少.试题解析：建立如图所示的直角坐标系，设抛物线的方程
14、为 ，由已知点 在抛物线上，得 ，所以抛物线的方程为 .（1）为了使填入的土最少，内接等腰梯形的面积要最大，如图 1，设点 ，则此时梯形 APQB 的面积 ， ,令 ，得 ，当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，所以当 时， 有最大值 ，改挖后的水渠的底宽为 m 时，可使填土的土方量最少. （2）为了使挖掉的土最少，等腰梯形的两腰必须与抛物线相切，如图 2，设切点，则函数在点 M 处的切线方程为 ，分别令 得，所以此时梯形 OABC 的面积 ，当且仅当 时，等号成立，此时 .所以设计改挖后的水渠的底宽为 m 时，可使挖土的土方量最少. 【方法点睛】本题主要考查阅读能力及建模能力、利用
15、导数求切线斜率以及利用导数研究函数的单调性进而求函数最值，属于难题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.18. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 的左、右焦点分别为 、，定点 A(2,0)， B(2,0)(1) 若椭圆 C 上存在点 T，使得 ，求椭圆 C 的离心率的取值范围；(2) 已知点 在椭圆 C 上求椭圆 C 的方程；记 M 为椭圆 C 上的动点，直线 AM， BM 分别与椭圆 C 交于另一点 P， Q，若 ，求 的值【答案】 （1）
16、 ；（2） ；6【解析】试题分析：（1）先求出动点 的轨迹方程，设出椭圆方程，与 的轨迹方程联立求出 ，根据椭圆横坐标的有界性求出 的范围，离心率表示为 的函数，求出函数的值域即可得结果；（2）根据点 在椭圆 C 上，结合（1）的结论可得椭圆方程，设出点 ，根据 ， 分别求出 用 表示， 列方程化简即可得结果.试题解析：(1)设点 T(x， y)，由 ，得( x2) 2 y22( x1) 2 y2，即 x2 y22.由 得 y2 m2 m， （其中：m= ）因此 0 m2 m m，解得 1 m2，所以椭圆的离心率 e . (2) 椭圆 C 的方程为 设 M(x0， y0)， P(x1， y1)
17、， Q(x2， y2)，得 从而因为 y1，所以 ( y 1)21，即 2 2 ( 1) x12( 1) 210.因为 y1，代入得 2 ( 1) x13 24 10.由题意知， 1，故 x1 ，所以 x0 ，同理可得 x0 .因此 ，所以 6 为定值19. 已知数列 an的首项 ， ， (1)求证：数列 为等比数列；(2)记 ，若 SnQ(1)0，即 H(x)0，从而函数 yH(x)在 x(0，1)时单调递增，故 H(x) ，所以 10，故 Q(x)0，所以函数 yQ(x)在 xI 时单调递增，Q(x)H(1)0，此时(*)不成立；所以当 x(0，1)，G(x) lnx1 恒成立时，b ；2
18、) 当 x(1，)时，G(x) lnx1 可化为(bx1b)lnxx10，令 H(x)(bx1b)lnxx1，x(1，)，问题转化为：H(x)0 对任意的 x(1，)恒成立(*)；则 H(1)0，H(x)blnx b1，H(1)0.令 Q(x)blnx b1，则 Q(x) . b 时，b(x1)12b1 210，故 Q(x)0，所以函数 yQ(x)在 x(1，)时单调递增，Q(x)Q(1)0，即 H(x)0，从而函数 yH(x)在 x(1，)时单调递增，所以 H(x)H(1)0，此时(*)成立； 当 b1，所以 x 时，Q(x) 0，故函数 yQ(x)在 x 上单调递减，Q(x)Q(1)0，即
19、 H(x)0，所以函数 yH(x)在 x 时单调递减，所以 H(x)H(1)0，此时(*)不成立；所以当 x(1，)，G(x) lnx1 恒成立时，b .(15 分)综上所述，当 x(0，1)(1，)，G(x) lnx1 恒成立时，b ，从而实数b 的取值集合为 .21. 已知矩阵 将直线 l： x y10 变换成直线 l(1)求直线 l的方程；(2)判断矩阵 A 是否可逆？若可逆，求出矩阵 A 的逆矩阵 A1 ；若不可逆，请说明理由【答案】 （1） ；（2）【解析】试题分析：（1）任取直线 上一点 经矩阵 变换后点为 ,利用矩阵乘法得出坐标之间的关系,求出直线 的方程；(2)利用待定系数法,
20、先假设所求的变换矩阵,再利用 ,建立方程组,解之即可.试题解析：(1)在直线 l 上任取一点 P(x0， y0)，设它在矩阵 A 对应的变换作用下变为 Q(x， y)则 ， 即又点 P(x0， y0)在直线 l： x y10 上， 10，即直线 l的方程为 4x y70. (2) 0，矩阵 A 可逆设 A1 ， AA1 ， 解得 A1 .22. 在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系曲线 C 的极坐标方程为 ， M， N 分别为 C 与 x 轴、 y 轴的交点(1)写出 C 的直角坐标方程，并求 M， N 的极坐标；(2)设 MN 的中点为 P，求直线 OP
21、 的极坐标方程【答案】 （1） ， ；（2）【解析】试题分析：（1）原极坐标方程可化为 ，再利用 ，即可得直角坐标方程，令 即可求得 的极坐标；（2）先求出圆心与半径。即可求得圆的参数方程.试题解析：（1）由 得 ，从而 的直角坐标方程为 ，时， ，所以 ，时， ，所以 ；（2） 点的直角坐标为 ， 点的直角坐标为 ，所以 点的直角坐标为 ，且 ，所以所求圆的参数方程为 （ 为参数） 视频23. 已知 f(x)(1 x)m(12 x)n(m， nN *)的展开式中 x 的系数为 11(1)求 x2的系数取最小值时 n 的值；(2)当 x2的系数取得最小值时，求 f(x)展开式中 x 的奇次幂项
22、的系数之和【答案】 （1） ；（2）30【解析】试题分析：（1）利用二项展开式的通项公式求出展开式的 的系数,列出方程得到的关系；利用二项展开式的通项公式求出 的系数，将 的关系代入得到关于 的二次函数，配方求出最小值；（2）通过对 分别赋值 ，两式子相加求出展开式中 的奇次幂项的系数之和.试题解析：(1)由已知得 C 2C 11， m2 n11， x2的系数为C 2 2C 2 n(n1) (11 m) 2 . mN *， m5 时， x2的系数取得最小值 22，此时 n3. (2)由(1)知，当 x2的系数取得最小值时， m5， n3. f(x)(1 x)5(12 x)3.设这时 f(x)的
23、展开式为 f(x) a0 a1x a2x2 a5x5，令 x1， a0 a1 a2 a3 a4 a52 53 359，令 x1， a0 a1 a2 a3 a4 a51，两式相减得 2(a1 a3 a5)60，故展开式中 x 的奇次幂项的系数之和为 30.【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式 ；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数） （2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.24. 已知动圆 Q 过定点 M(
24、2,0)且与 y 轴截得的弦 MN 的长为 4(1)求动圆圆心 Q 的轨迹 C 的方程；(2)已知点 P(2,1)，动直线 l 和坐标轴不垂直，且与轨迹 C 相交于 A， B 两点，试问：在 x轴上是否存在一定点 G，使直线 l 过点 G，且使得直线 PA， PG， PB 的斜率依次成等差数列？若存在，请求出定点 G 的坐标；若不存在，请说明理由【答案】 （1） ；（2）【解析】试题分析：（）设 ，根据题意得 ，整理即得（）设存在符合题意的定点 设直线的方程为 且 ，则 代入，整理得 由题意得 ，得 设 ， ，则 ， ， ，由题意得 ，即 ,整理可得 ，解得 试题解析：（）设 ，根据题意得 ， 2 分整理得 ，所以动圆圆心 的轨迹 的方程是 4 分（）设存在符合题意的定点 设直线的方程为 且 ，则 5 分将 代入 ，整理得 由题意得 ，即 设 ， ，则 ， ， ，由题意得 ，即 ,所以 ， 7 分即9 分把 ， 代入上式，整理得 ， 11 分又因为 ，所以 ，解得所以存在符合题意的定点 ，且点 的坐标为 13 分考点：1直线与圆的位置关系；2抛物线；3直线与圆锥曲线的位置关系
