1、3.1.1 倾斜角与斜率,第三章 3.1 直线的倾斜角与斜率,学习目标,1.理解直线的斜率和倾斜角的概念. 2.理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性. 3.了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 直线的倾斜角,思考1 在平面直角坐标系中，只知道直线上的一点，能不能确定一条直线呢？ 答案 不能.,思考2 在平面直角坐标系中，过定点P的四条直线如图所示，每条直线与x轴的相对倾斜程度是否相同？,答案 不同.,梳理 (1)倾斜角的定义 当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴 与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角
2、. 当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0. (2)直线的倾斜角的取值范围为 . (3)确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个_以及它的 ，二者缺一不可.,正向,0180,定点,倾斜角,(1)直线的斜率 把一条直线的倾斜角的 叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k .,知识点二 直线的斜率与倾斜角的关系,正切值,tan ,(2)斜率与倾斜角的对应关系,过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)的直线的斜率公式为k .,知识点三 过两点的直线的斜率公式,1.任一直线都有倾斜角，都存在斜率.( ) 2.若直线的倾斜角为，则0180.( ) 3.若
3、一条直线的倾斜角为，则它的斜率ktan .( ),思考辨析 判断正误,题型探究,例1 (1)设直线l过原点，其倾斜角为，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转40，得直线l1，则直线l1的倾斜角为 A.40 B.140 C.140 D.当0140时，为40；当140180时，为140,类型一 直线的倾斜角,解析,答案,解析 因为0180，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意.通过画图(如图所示)可知， 当0140时，如图所示，l1的倾斜角为40； 当140180时，如图所示，l1的倾斜角为40180140.故选D.,(2)已知直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角的取值范围是 A.090
4、 B.90180 C.90180 D.0180,解析,答案,解析 直线倾斜角的取值范围是0180， 又直线l经过第二、四象限， 所以直线l的倾斜角的取值范围是90180.,反思与感悟 (1)解答本类题要注意根据倾斜角的概念及倾斜角的取值范围解答. (2)求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论.,跟踪训练1 已知直线l向上方向与y轴正向所成的角为30，则直线l的倾斜角为 .,解析,答案,解析 有两种情况：如图(1)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为60，即直线l的倾斜角为60. 如图(2)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为120，即直线l
5、的倾斜角为120.,60或120,类型二 直线的斜率,解答,例2 经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角. (1)A(2,3)，B(4,5)；,即tan 1， 又0180，所以倾斜角45.,(2)C(2,3)，D(2，1)；,解答,解 存在.即tan 1， 又0180，所以倾斜角135.,(3)P(3,1)，Q(3,10).,解答,解 不存在. 因为xPxQ3，所以直线PQ的斜率不存在，所以倾斜角90.,反思与感悟 (1)利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项 运用公式的前提条件是“x1x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的； 斜率公
6、式与两点P1，P2的先后顺序无关，也就是说公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置. (2)在0180范围内的一些特殊角的正切值要熟记.,跟踪训练2 (1)若直线的倾斜角为60，则直线的斜率为,答案,(2)已知过A(3,1)，B(m，2)的直线的斜率为1，则m的值为 .,0,命题角度1 三点共线问题 例3 如果三点A(2,1)，B(2，m)，C(6,8)在同一条直线上，求m的值.,A，B，C三点共线，kABkAC，,解答,类型三 直线的倾斜角、斜率的应用,反思与感悟 斜率是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的.直线上任意两点所确定的方向不变，即同一直线上任何不同的两点所确定的斜率相等，这
7、正是利用斜率相等可证点共线的原因.,解答,解 由于A，B，C三点所在直线不可能垂直于x轴， 因此可设直线AB，BC的斜率分别为kAB，kBC.,点A，B，C在同一条直线上，kABkBC.,命题角度2 数形结合法求倾斜角或斜率范围 例4 直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0， )为端点的线段有公共点，求直线l的斜率和倾斜角的取值范围.,解 如图所示.,解答,45120.,反思与感悟 (1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式ktan (90)解决. (2)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k (x1x2)求解. (3)涉及直线与线段有交点问题常利用数形结合及公式求解.,跟踪训
8、练4 已知A(3,3)，B(4,2)，C(0，2).若点D在线段BC上(包括端点)移动，求直线AD的斜率的变化范围.,解答,解 如图所示. 当点D由点B运动到点C时， 直线AD的斜率由kAB增大到kAC.,达标检测,1,2,3,4,1.对于下列说法： 若是直线l的倾斜角，则0180； 若k是直线的斜率，则kR； 任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率； 任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角. 其中正确说法的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4,解析 正确.,解析,答案,5,2.若经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角为45，则m等于 A.2 B.1 C.1 D.2,解析,答案,1,2
9、,3,4,5,3.若三点A(2,3)，B(3,2)，C 共线，则实数m的值为 .,解析 设直线AB，BC的斜率分别为kAB，kBC，,解析,答案,1,2,3,4,5,A，B，C三点共线，kABkBC，,4.经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角的取值范围是 . (其中m1),解析 当m1时，倾斜角90；,解析,答案,(0，90,1,2,3,4,5,090.故090.,5.已知点A(1,2)，在坐标轴上，求一点P使直线PA的倾斜角为60.,解答,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,解 当点P在x轴上时，设点P(a,0)，,又因为直线PA的倾斜角为60，,当点P在y轴上时，设点P(0，b).,1,2,3,4,5,直线的斜率和倾斜角反映了直线的倾斜程度，二者紧密相连，如下表：,规律与方法,
