1、111.1 函数的平均变化率明目标、知重点 1.理解并掌握平均变化率的概念.2.会求函数在指定区间上的平均变化率.3.能利用平均变化率解决或说明生活中的一些实际问题1函数的平均变化率已知函数 y f(x)， x0， x1是其定义域内不同的两点，记 x x1 x0， y y1 y0 f(x1) f(x0) f(x0 x) f(x0)，则当 x0 时，商 叫做函数f x0 x f x0 x y xy f(x)在 x0到 x0 x(或 x0 x ， x0)之间的平均变化率2函数 y f(x)的平均变化率的几何意义 表示函数 y f(x)图象上过两点( x1， f(x1)，( x2， f(x2)的割线
2、 y x f x2 f x1x2 x1的斜率情境导学某市 2013 年 5 月 30 日最高气温是 33.4，而此前的两天 5 月 29 日和 5 月 28 日最高气温分别是 24.4和 18.6，短短两天时间，气温“陡增”14.8，闷热中的人们无不感叹：“天气热得太快了！”但是，如果我们将该市 2013 年 4 月 28 日最高气温 3.5和 5 月 28日最高气温 18.6进行比较，可以发现二者温差为 15.1，甚至超过了 14.8，而人们却不会发出上述感慨，这是什么原因呢？显然原因是前者变化得“太快” ，而后者变化得“缓慢” ，那么在数学中怎样来刻画变量变化得快与慢呢？探究点一 函数的平
3、均变化率思考 1 如何用数学反映曲线的“陡峭”程度？答 如图，表示 A、 B 之间的曲线和 B、 C 之间的曲线的陡峭程度，可以近似地用直线的斜率来量化如用比值 近似量化 B、 C 这一段曲线的陡峭程度，并称该比值是曲线在 xB， xC上的yC yBxC xB2平均变化率思考 2 什么是平均变化率，平均变化率有何作用？答 如果问题中的函数关系用 y f(x)表示，那么问题中的变化率可用式子表示，我们把这个式子称为函数 y f(x)从 x1到 x2的平均变化率，平均f x2 f x1x2 x1变化率可以描述一个函数在某个范围内变化的快慢思考 3 平均变化率有什么几何意义？答 设 A(x1， f(
4、x1)， B(x2， f(x2)是曲线 y f(x)上任意不同的两点，函数 y f(x)的平均变化率 为割线 AB 的斜率 y x f x2 f x1x2 x1 f x1 x f x1 xx1， x2是定义域内不同的两点，因此 x0，但 x 可正也可负； y f(x2) f(x1)是相应 x x2 x1的改变量， y 的值可正可负，也可为零因此，平均变化率可正可负，也可为零例 1 某婴儿从出生到第 12 个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第 3 个月与第6 个月到第 12 个月该婴儿体重的平均变化率解 从出生到第 3 个月，婴儿体重平均变化率为1(千克/月)6.5 3.53 0从第 6
5、 个月到第 12 个月，婴儿体重平均变化率为 0.4(千克/月)11 8.612 6 2.46反思与感悟 求平均变化率的主要步骤：(1)先计算函数值的改变量 y f(x2) f(x1)(2)再计算自变量的改变量 x x2 x1.(3)得平均变化率 . y x f x2 f x1x2 x1跟踪训练 1 如图是函数 y f(x)的图象，则：(1)函数 f(x)在区间1,1上的平均变化率为_；3(2)函数 f(x)在区间0,2上的平均变化率为_答案 (1) (2)12 34解析 (1)函数 f(x)在区间1,1上的平均变化率为 .f 1 f 11 1 2 12 12(2)由函数 f(x)的图象知，
6、f(x)Error!.所以函数 f(x)在区间0,2上的平均变化率为 .f 2 f 02 0 3 322 34探究点二 求函数的平均变化率例 2 已知函数 f(x) x2，分别计算 f(x)在下列区间上的平均变化率：(1)1,3；(2)1,2；(3)1,1.1；(4)1,1.001解 (1)函数 f(x)在1,3上的平均变化率为 4；f 3 f 13 1 32 122(2)函数 f(x)在1,2上的平均变化率为 3；f 2 f 12 1 22 121(3)函数 f(x)在1,1.1上的平均变化率为 2.1；f 1.1 f 11.1 1 1.12 120.1(4)函数 f(x)在1,1.001上
7、的平均变化率为 2.001.f 1.001 f 11.001 1 1.0012 120.001反思与感悟 函数的平均变化率可以表现出函数的变化趋势，自变量的改变量 x 取值越小，越能准确体现函数的变化情况跟踪训练 2 求函数 y x2在 x1,2,3 附近的平均变化率，判断哪一点附近平均变化率最大？解 在 x1 附近的平均变化率为k1 2 x；f 1 x f 1 x 1 x 2 1 x在 x2 附近的平均变化率为k2 4 x；f 2 x f 2 x 2 x 2 22 x在 x3 附近的平均变化率为k3 6 x；f 3 x f 3 x 3 x 2 32 x对任意 x 有， k1s2(0)，则 ，
8、s1 t0 s1 0t0 s2 t0 s2 0t0所以在从 0 到 t0这段时间内乙的平均速度大反思与感悟 平均变化率的绝对值反映函数在给定区间上变化的快慢，平均变化率的绝对值越大，函数在区间上的变化越快；平均变化率的绝对值越小，函数在区间上的变化越慢跟踪训练 3 甲用 5 年时间挣到 10 万元，乙用 5 个月时间挣到 2 万元，如何比较和评价甲、乙两人的经营成果？解 甲赚钱的平均速度为 (万元/月)，乙赚钱的平均速度为 (万元/月)10512 1060 16 25因为乙平均每月赚的钱数大于甲平均每月赚的钱数，所以乙的经营成果比甲的好1如果质点 M 按规律 s3 t2运动，则在一小段时间2，
9、2.1中相应的平均速度是( )A4 B4.1 C0.41 D3答案 B解析 4.1.v 3 2.12 3 220.12一物体的运动方程是 s32 t，则在2,2.1这段时间内的平均速度为_答案 23已知函数 h(x)4.9 x26.5 x10.(1)计算从 x1 到 x1 x 的平均变化率，其中 x 的值为2；1；0.1；0.01.(2)根据(1)中的计算，当| x|越来越小时，函数 h(x)在区间1,1 x上的平均变化率有怎样的变化趋势？解 (1) y h(1 x) h(1)4.9( x)23.3 x，5 4.9 x3.3. y x当 x2 时， 4.9 x3.313.1； y x当 x1 时， 4.9 x3.38.2； y x当 x0.1 时， 4.9 x3.33.79； y x当 x0.01 时， 4.9 x3.33.349. y x(2)当| x|越来越小时，函数 f(x)在区间1,1 x上的平均变化率逐渐变大，并接近于3.3.呈重点、现规律1函数的平均变化率可以表示函数值在某个范围内变化的快慢；平均变化率的几何意义是曲线割线的斜率，在实际问题中表示事物变化的快慢2求函数 f(x)的平均变化率的主要步骤：(1)先计算函数值的改变量 y f(x2) f(x1)；(2)再计算自变量的改变量 x x2 x1；(3)得平均变化率 . y x f x2 f x1x2 x1
