1、第四章 不定积分 Integration,第一节、不定积分的概念和性质 第二节、换元积分法和分部积分法 第三节、有理式积分法,第一节 不定积分的概念和性质,原函数和不定积分的概念不定积分的几何意义不定积分的性质不定积分的基本公式及线性运算法则,例,定义：,一、原函数与不定积分的概念,原函数存在定理：,简言之：连续函数一定有原函数.,问题：,(1) 原函数是否唯一？,例,（ 为任意常数）,(2) 若不唯一它们之间有什么联系？,关于原函数的说明：,（1）若 ，则对于任意常数 ，,（2）若 和 都是 的原函数，,则,（ 为任意常数）,证,（ 为任意常数）,不定积分的定义：,例1 求,解,解,例2 求
2、,例3 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.,解,设曲线方程为,根据题意知,由曲线通过点（1，2）,所求曲线方程为,几何意义： 函数 f(x)的不定积分 是一族积分曲线(在每一条积分曲线上横坐标相同的点x处作切线，切线相互平行，其斜率都是f(x),x,x,y,o,二、不定积分的几何意义,由不定积分的定义，可知,结论：,微分运算与求不定积分的运算是互逆的.,实例,启示,能否根据求导公式得出积分公式？,结论,既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式.,三、基本积分表,基本积分表 ,是常数);,说明：,例4 求积分,解,根据积分
3、公式（2）,例5、求积分,例6、求积分,证,等式成立.,（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）,三、 不定积分的性质,例7 求积分,解,例8 求积分,解,例9 求积分,解,例10 求积分,解,说明：,以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表.,解,所求曲线方程为,基本积分表(1),不定积分的性质,原函数的概念：,不定积分的概念：,求微分与求积分的互逆关系,四、 小结,思考题,符号函数,在 内是否存在原函数？为什么？,思考题解答,不存在.,假设有原函数,故假设错误,所以 在 内不存在原函数.,结论,每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数.,第二节 换元积分法和分部积分法,一
4、、第一类换元法（“凑”微分法）二、第二类换元法三、分部积分法,问题,？,解决方法,利用复合函数，设置中间变量.,过程,令,一、第一类换元法,在一般情况下：,由此可得换元法定理,第一类换元公式（凑微分法）,说明,使用此公式的关键在于将,化为,观察重点不同，所得结论不同.,定理1,例1 求,解（一）,解（二）,解（三）,例2 求,解,一般地,例3 求,解,例4 求,解,例5 求,解,例6 求,解,例7 求,解,例8 求,解,例9 求,原式,例10 求,解,例11 求,解,说明,当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分.,例12 求,解（一）,（使用了三角函数恒等变形）,解（二）,类似地可推出
5、,问题,解决方法,改变中间变量的设置方法.,过程,令,（应用“凑微分”即可求出结果）,二、第二类换元法,第二类积分换元公式,例16 求,解,令,例17 求,解,令,例18 求,解,令,说明(1),以上几例所使用的均为三角代换.,三角代换的目的是化掉根式.,一般规律如下：当被积函数中含有,可令,可令,可令,积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定.,说明(2),（三角代换很繁琐）,令,解,例20 求,解,令,说明(3),当分母的阶较高时, 可采用倒代换,令,解,例22 求,解,令,（分母的阶较高）,例23 求,解,令,基本积分表 ,问题,解决思路,利用两个函数
6、乘积的求导法则.,分部积分公式,三、分部积分法,例24 求积分,解（一）,令,显然， 选择不当，积分更难进行.,解（二）,令,例25 求积分,解,（再次使用分部积分法）,总结,若被积函数是幂函数和正(余)弦函数或幂函数和指数函数的乘积, 就考虑设幂函数为 , 使其降幂一次(假定幂指数是正整数),例26 求积分,解,令,例27 求积分,解,总结,若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函数或反三角函数为 .,例28 求积分,解,例29 求积分,解,注意循环形式,三、小结,两类积分换元法：,（一）“凑”微分,（二）换元法（三角代换、倒代换、根式代换）,基本积分表,合理选
7、择 ，正确使用分部积分公式,分部积分法,思考题,求积分,思考题解答,思考题,在接连几次应用分部积分公式时， 应注意什么？,思考题解答,注意前后几次所选的 应为同类型函数.,例,第一次时若选,第二次时仍应选,第三节 几类特殊函数的不定积分,一、有理函数的积分二、三角函数有理式的积分,有理函数的定义：,两个多项式的商表示的函数称之.,一、有理函数的积分,假定分子与分母之间没有公因式,这有理函数是真分式；,这有理函数是假分式；,利用多项式除法, 假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和.,例,难点,将有理函数化为部分分式之和.,（1）分母中若有因式 ，则分解后为,有理函数化为部分分式之和的一般规律：
8、,特殊地：,分解后为,特殊地：,分解后为,真分式化为部分分式之和的待定系数法,例1,代入特殊值来确定系数,取,取,取,并将 值代入,例2,求积分,解,例3,整理得,求积分,解,说明,将有理函数化为部分分式之和后，只出现三类情况：,多项式；,讨论积分,令,则,记,这三类积分均可积出, 且原函数都是初等函数.,结论,有理函数的原函数都是初等函数.,三角有理式的定义：,由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之一般记为,二、三角函数有理式的积分,（万能置换公式）,例7 求积分,解,由万能置换公式,例8 求积分,解（一）,解（二）,修改万能置换公式,令,结论:,比较以上两种解法, 便知万能置换不一定是最佳方法, 故三角有理式的计算中先考虑其它手段, 不得已才用万能置换.,有理式分解成部分分式之和的积分.,（注意：必须化成真分式）,三角有理式的积分.（万能置换公式）,（注意：万能公式并不万能）,四、小结,思考题,是否所有的初等函数都是可积的？,思考题解答,有些初等函数的不定积分不能用初等函数表示.,
