1、多类顾客在反馈排队系统中的平均逗留时间第 22 卷第 l 期Vo1.22No.1重庆通信学院JOURNALOFCHONGQINGCOMMUNICATIONINSTITUTE2003 年 3 月Mar.2003多类顾客在反馈排队系统中的平均逗留时间鲁韦昌李元钮【重庆通信学院基础部重庆 400035)摘要:本文利用概率母函数,讨论了具有 BernouIIi 反馈的 G/M/1 排队系统,推导了一个顾客的平均逗留时间.关键词:Bernoulli 反馈;逗留时间;Little 原理0 引言排队理论对连续时间的基本排队系统进行了详细研究,对于排队论中关心的排队队长,顾客逗留时间(或等待时间), 忙期等问
2、题都有很好的结果.但是现代通信技术发展趋势之一足业务综合,如像出现的排队模型顾客多元化,服务过程的复杂化,服务原则多样性等等情况,使得经典的排队论的结果与这些实际问题有一定距离,这样促使复杂排队模型的研究,在采用新的原则,方法取得一定成果卜.本文在此基础_I 二,进一步讨论批到达的多类顾客在具有Bernou1li 反馈的排队系统的逗留时间,给出一个 k 类顾客的平均逗留时问.1 具有 Bern0ul11 反馈 G/M/1 排队模型本文考虑排队模型是:顾客成批到达,每批为同类顾客 ,到来顾客排成一列队列,每批顾客按先来先服务(FCFS), 同批顾客随机排序服务;k 类顺客每批到达个数为(k=l,
3、2,L),它是相互独立取正整数的随机变量,其概率母函数(z),()=a,()=a,;每批顾客到达时间间隔相互独立的随机变量,H.服从一一般分布,k 类畈客的平均批到达率为;每个 k 类顾客的一次服务时间也是相互独立随机变量,且服从参数为的指数分布;每个 k 类顾客一次服务完成后,以概率反馈回排队系统队尾,以概率 1-(7 苒并排队系统,每个顾客是否反馈是科 独立的,这即是参数为的 Bernoul1i 反馈排队系统.每类顾客到达时刻 ,服务时间,是否反馈足相互独立的.排队系统处于平稳状态.顾客平均逗留时间每个顾客逗留时间是指顾客进入排队系统到该顾客最终离开系统所经历的时间.它依赖该顾客到达系统时
4、系统已经有的顾客数和与它同批到达并排到它前面的顾客数.首先确定同批顾客中排任指定顾客前面的平均顾客数,为此有以下引理.引理:在 G/M/1 排队模型中,同批顾客随机排序,当一批顾客队长为(k=l,2,L)时,其队列中任意顾客之前的顾客数 77 的概率母函数为=,=(2.1)证明见参考文献.其次推算指定顾客到达系统时,系统的平均队长(此时不包括与该顾客同批到达的那些顾客).66 重庆通信学院 2003E.用 S(k,j)表示一批 k(k=1,2,L)类顾客巾得一个顾客 C 第 j-1(2) 次反馈回队列平均逗留时问,而用 S(k)表示该顾客平均逗留时HJ.这样有():(足 ,I/)(1 一)(2
5、?2)当该批 k 类顾客中的顾客 C 枉第 j 次反馈 luJl5 人尾时队列 q-,已有 i 类顾客的,均顾客数,为N(k,j,i)(i,k=l,2,L,J1).用 N(k,0,i)表,jk 类顾客首次进入排队系统时等待队列已有i类顾客的平均顾客数,由 j 各类顾客批到达的独性,此时 N(k,0,i)与 k 无火,则 IT 以记为N(?,0,i).由于一批 k 类顾客叶 I 的顾客 C 第 j 次反馈 LHJ 队尾时队列中的 i 类顾客数由两部分组成:部分是在这批 k 类顾客 J:.次逗留时间里到达的 i 类帧客,另部分是上次逗留时问服务的 i 类顾客反馈回队列的顾客.丁是N(k,I/,)=
6、N(k,I/一 l,)+aiS(k,I/)(,k=l,2,L,2)N(k,1,)=(?,0,)+a,iS(k,1)+bka6(i=足)(,k=1,2,L)f1其中,),真,假同时对:丁二 J2,k=1,2,L 自(2.3)(2.3)S(k,I/)=N(k,I/一 l,+11(2.4)i-1一一一批 k 类顾客第 1 次逗留时间是花费在它之前到达的各类顾客的一次服务时间,此批顾客的一次服务时间以及它到达时在服务的顾客的剩余服务时间.由于 i 类顾客服务时间服从参数为的指数分布,凶此剩余服务时问也服从参数为的指数分布.这样LS(k,1)=JV(-,0,i)fl+(2.5)为了而推导,设 S(z)=
7、( 足,j)Z(足=l,2,L)(2.6)(z)=N(k,I/,i)Z( 七,i=l,2,L)j=o由(2.3)式和(2.3)式订:N(z)=(?,0,)+ZN(z)+a,iS(z)+6(i=k)Z即(z):l 一+Z(2.7)(2.8)第 l 期鲁韦昌等:多类顾客在反馈排队系统中的平均逗留时间由(2.4)式,(2.5)式,(2.6)式可以得到:z:zLz+而 bkkG+J9l 一 Z当排队系统达到乎稳时,根据 Little 原则=-(1-ak)=UN01 一=akPk+b,/2kbk/2kG 纠1 一l 鲁 l_-女.l 一 l 一女 zj10t0k这样(2.10)式提供了关于 N(-,0,
8、k),(k=l,2,L)的 k 个线性方程组,由此当相关系数确定时,可以由(2.10),(2.9),(2.6) 式推算(足),S(z),N(z), 并由此反推出 S(k,j)和 N(k,j,i).(1).3 结束语在这里我们推导多类顾客批到达的排队系统中一个顾客的的平均逗留时间,利用Little 原理,并且附带推出一批顾客在进入排队系统时系统的队长,这对于顾客在反馈的排队系统中推算留时间这个困难问题上提供 r 一个有效的方法.参考文献【lJtt.Takagi,OueuingAnalysiS【MJ,North ttolland,Amsterdam,l991.Vo1.1,2【2】徐树公,黄载禄,姚
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10、b 的数字信号处理仿真实验系统 734 结束语数宁信号处理足? 理论性和实践性很强的课程 ,实验是非常重要的教环.该数信号处理仿真吱验系统实用 I,效果好,征理论践之间起到很好的承接作 IIJ.参考文献【l】程佩青,数字信号处理教程.北京:清华大学出版社,200l【2】楼顺天,李博菡.基于 MATIAB 的系统分析与没计信号处理.两安: 西安IU 科技大出版社,2000【3】陈桂明,张明照,戚红雨.用 MATLAB 语言处理数信号与数宁图像 .北京:科l 版社,2000SIMULATEDEXPERIMENTSYSTEMFoRDIGITALSIGNALPRoCESSINGWITHMATLABGO
11、NGYun?-xiangLIAOXiao-junCHENShao-rongAbstract:ThisessaymainlydescribessomealgorithmsofdigitalsignalprocessingandthesimulatedexperimentsystemfordigitalsignalprocessingdevelopedbytheauthorsandbrieflyintroducesthedevelopingtoolMatlab.Keywords:Matlab;Digitalsignalprocessing;Simulatedexperimentsystem(本文编
12、辑: 张洪顺)(上接第 67 贝)MEANSoJoURNTIMEoFAMUIrI-CLASSINAQUEUINGSYSTEMWITHFEEDBACKLUWei-changLIYuan?-hongAbstract:Inthispaper,wehavediscussedtheG|Mf,queuewithBernoullifeedbackbygeneratingfunction,andderivedmeansojourntimeofacustomerinaclasscustomer.Keyword:Bernoullifeedback:sojourntime;Littielaw(本文编辑: 李广位 J
