1、第三节 组 合考纲解读理解组合的意义，掌握组合数公式，并能用它们解决一些简单的应用问题.命题趋势探究有关组合的试题主要以选择题和填空题的形式出现，大多数试题难度与教材相当，主要涉及单纯组合题、分选问题、选排问题、分组问题和分配问题.知识点精讲1.单纯组合问题2.分选问题和选排问题分选问题，几个集合按要求各选出若干元素并成一组的方法数.选排问题，分选后的元素按要求再进行排列的排列数.3. 分组问题和分配问题 分组问题，把一个集合中的元素按要求分成若干组的方法数； 分配问题，把一个集合中的元素按要求分到几个去处的方法数.题型归纳及思路提示题型169 单纯组合应用问题思路提示 把所给问题归结为从个不
2、同元素中取个元素，可用分类相加、分布相乘，也可用总数减去对立数.例12.21 课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？（1） 只有一名女生当选；（2）两队长当选；（3）至少有一名队长当选；（4）至多有两名女生当选；（5）既要有队长，又要有女生当选.变式1 某单位要邀请10位教师中的6人参加一个研讨会，10人中甲、乙不能都去，共有（ ）种邀请方法. A.84 B.98 C.112 D.140 变式2 在四面体的顶点和各棱中共10个点中选4个点不共面，共有（ ）种不同取法. A.150 B.147 C.141 D
3、.142变式3 若，就称为有伴关系的集合，集合，则的非空子集中，具有有伴关系的集合有（ ）个. A.15 B.16 C. D.例12.22 在平面直角坐标系中，轴正半轴上有5个点，轴正半轴上有3个点，将轴上5个点和轴上3个点连成15条线段，这些线段在第一象限交点最多有（ ）个. A.30 B.35 C.20 D.15.变式1 的边上有四个点，边上有，五个点，共9个点，连接线断，若其中两条线段不相交，则称之为和睦线对，则共有和睦线（ ）对. A.30 B.60 C.120 D.160变式2 在坐标平面上有一个质点从原点出发，沿轴跳动，每次向正方向或负方向跳动一个单位，若经5次跳动质点落在处，则质
4、点共有_种跳法；若经过次跳动质点落在处，且为偶数，则质点共有_种跳法.题型170 分选问题和选排问题思路提示两个集合，.选，选，共有种方法，选排为选出再排列.例12.23 6女4男选出4人. （1）女选2，男选2有多少种选法？再安排4个不同工作，有多少方法？（2）至少有一女有多少种选法？（3）至多3男有多少选法？（4）男女都有，有多少种选法？（5）选男甲不选女A,B，有多少种选法？变式1 有7名翻译，4人会英语，4人会日语，从中选2名英语翻译和2名日语翻译，共有多少种选法？变式2 9名水手，6人会左舵位，6人会右舵位.现选3名右舵手和3名左舵手分坐于6个舵位，共有多少种安排方法？变式3 甲组5
5、男3女，乙组6男2女，两组各选2人，则选出的4人中恰有1女，共有（ ）种取法.A.150 B.180 C.300 D.345例12.24若从这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有（ ）种. A.60 B.63 C.65 D.66变式1 从这七个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成无重复数字的四位数，其中有（ ）个奇数.A.432 B.288 C.216 D.108变式2 由数字组成的没有重复数字的四位数中，个、十、百3位数字之和为偶数的有_个（用数字回答）.变式3 从这10个数字中任取4个数，其中第二个大的数字是7的取法有（ ）种. A.18 B.20 C.45 D.84例
6、12.25 2017重庆铜梁第一中学月考如果把个位数是1，且恰好有3个数字相同的四位数叫做“好数”，那么在由1,2,3,4 四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共有( )A9 个 B3 个 C12 个 D6 个变式1 5名乒乓球运动员，有2名老队员和3名新队员，从中选出3人排成号参加团体比赛，则其中至少一名老队员，且号至少一名新队员，有_种排法（用数字作答）.变式2 已知集合，从3个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系的一个点的坐标，则共可确定（ ）个点的坐标. A.33 B.34 C.35 D.36变式3 用4张分别标有的红色卡片和4张分别标有的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排
7、成一行，如果取出来的4张卡片的数字之和为10，则共有_种排法（用数字作答）.题型171 平均分组和分配问题思路提示 分组定义：把一个非空有限集A按要求分成若干个互相没有公共元素的非空子集的并集. 分组三原则：一组一组的分出来（与顺序无关）； 有若干组为含单一元素的集合，不去管他们，分出其他组即可； 由若干（个）元素不为1的组，且元素个数相同，把的结果除以. 分配定义：把一个非空有限集A的元素按要求分到若干个去处，每个去处分配元素至少为1个. 分配问题共四个类型： 定向分配问题：各分配去向分配数依次确定.去向122分配元素（个） 逐方向分配即可，共有分配数：（额配法） .不定方向分配问题：各分配
8、方向名额不确定.先把A按要求分成若干组（分组问题），再把每组打包成一个元素，在个分配方向上排列（组排法）.信箱问题.3封不同信任意投入4信箱，共有种投法.相同元素的分配问题（不定方程组的个数）隔板问题.，共有组不同的解.例12.26 按以下要求分配6本不同的书，各有几种方法？（1） 平均分配给甲、乙、丙3人，每人2本；（2）平均分成3份，每份2本；（3）分成3份，一份1本，一份2本，一份3本；（4）甲、乙、丙3人，一人得1本，一人得2本，一人得3本；（5）分成3份，一份4本，另两份各1本；（6）甲、乙、丙3人，一人得4本，另外两个人每人得1本；（7）分给甲、乙、丙3人，每人至少一本.变式1 有
9、编号为的4张不同的卡片，按照下列方法处理，各有几种分法？（1） 甲得2张，乙得2张；（2） 平均分成2堆，每堆2张.变式2 9个人分到3个单位，下面各有多少种分配方法. （1）甲单位2人，乙单位3人，丙单位4人； （2）每个单位3人； （3）每个单位各2人，一单位5人.例12.27（2012山东理11）现有16张不同的卡片，其中红色，黄色，蓝色，绿色卡片各4张.从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张.不同取法的种数为（ ）.A.232 B.252 C.472 D.484.变式1 将4个相同的白球，5个相同的黑球，6个相同的红球放入4个不同的盒子中的3个，使4个盒子中的
10、1个为空，其他盒子中球色齐全，共有_种不同方法（用数字作答）.变式2 某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法有（ ）种. A.4 B.10 C.18 D.20变式3 将标号为的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（ ）. A.4种 B.18种 C.36种 D.54种例12.28 8个球队中有甲、乙两个强队，现把8个球队平均分成两组，如下各有多少种分法？（1） 甲、乙不在同组；（2）甲、乙在同组.变式1 把4名男乒乓球选手和4名女乒乓球选手同时平均分成两组，进行混合双打比赛，共有
11、_种不同的分配方法（混合双打是一男一女对一男一女，用数字作答）.变式2 （2012新课标理2）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共（ ）. A.12种 B.10种 C.9种 D.8种变式3 甲、乙、丙、丁4个公司承包8项工程，甲承包3项，乙承包1项，丙、丁各承包2项，共有（ ）种不同的承包方案. A.3360 B.2240 C.1680 D.1120例12.29 6个不同的小球放入5个小盒，按下面要求各有多少种放法？（1）每盒至少1球；（2）恰有1盒空；（3）任意分.变式1 某外商计划在4个候选城市投资3个不
12、同项目，且在同一城市投资的项目部超过2个，则该外商共有（ ）种投资方案. A.16 B.36 C.42 D.60变式2 将4个颜色互不相同的球全部放入编号1和2的两个盒子中，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒的编号，共有（ ）种放法. A.10 B.12 C.36 D.52变式3 把20个相同的小球放入6个盒中.（1）每盒至少一球有多少种方法？（2）每盒至少二球有多少种方法？（3）随便放（即可有若干盒中无球）有多少种方法？最有效训练题51（限时30分钟）1. 在这5个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的有（ ）个. A.36 B.24 C.18 D.62. 某小组4人负责
13、周一至周五的值日，每天只安排一人，每人至少一天，共有（ ）种安排方法. A.480 B.300 C.240 D.1203. 从甲，乙等6名同学中挑选3人参加某公益活动，要求甲，乙至少有1人参加，不同的挑选方法有（ ）. A.16种 B.20种 C.24种 D.120种4.3名医生和6名护士分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法共有（ ）. A.90种 B.180种 C.270种 D.540种5. 掷下4枚编了号的硬币，至少有2枚正面朝上的情况有（ ）. A.种 B.种 C.种 D.不同于的结论。6. 计划在某画廊展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国
14、画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且不彩画不放在两端，那么不同陈列方式有（）ABCD7. 有甲、乙、丙三项任务，甲需由2人承担，乙、丙各需由1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法共有（ ）种 A. 1260B. 2025C. 2520D. 50408.四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，则恰有一个空盒的放法共有_种（用数字作答）。9.正方体的8个顶点能构成多少个不同的三棱锥？10.6人分成3组，各有多少种方法？（1） 一组3人，一组2人，一组1人；（2） 第一组3人，第二组2人，第三组1人；（3） 平均分成三组；（4） 第一组2人，第二组2人，第三组2人；（5） 任意分成3组。
