1、第六节 圆锥曲线综合考纲解读1.掌握与圆锥曲线有关的最值、定值和参数范围问题.2.会处理动曲线（含直线）过定点的问题.3.会证明与曲线上的动点有关的定值问题.4.会按条件建立目标函数，研究变量的最值及取值范围问题，注意运用数形结合法和几何法求某些量的最值. 命题趋势研究从内容上看，预测2019年高考主要考查两大类问题：一是根据条件，求出表示平面曲线的方程；二是通过方程，研究平面曲线的性质，其热点有：以客观题的形式考查圆锥曲线的基本概念和性质；求平面曲线的方程和轨迹；圆锥曲线的有关元素计算、关系证明或范围确定；涉及圆锥曲线对称变换、最值或位置关系的有关问题.从形式上看，以解答题为主，难度较大.从
2、能力要求上看，要求学生具备一定的数形结合、分析问题和解决问题及运算能力.知识点精讲一、定值问题 解析几何中定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决.证明过程可总结为“变量函数定值”，具体操作程序如下：（1）变量-选择适当的量为变量.（2）函数-把要证明为定值的量表示成变量的函数.（3）定值-化简得到的函数解析式，消去变量得到定值.求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊情况入手，求出定值，再证明该定值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理过程中消去变量，从而得到定值. 二、求最值问题常用的两种方法 （1）几何法：题中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用几何图形性质来解决，这是几何法.（
3、2）代数法：题中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求该函数的最值.求函数的最值常见的方法有基本不等式法、单调性法、导数法和三角换元法等，这就是代数法.三、求定值、最值等圆锥曲线综合问题的“三重视”（1）重视定义在解题中的作用(把定义作为解题的着眼点).（2）重视曲线的几何特征特别是平面几何性质与方程的代数特征在解题中的作用.（3）重视根与系数的关系在解题中的作用(涉及弦长、中点要用根与系数的关系).四、求参数的取值范围据已知条件及题目要求等量或不等量关系，再求参数的范围.题型归纳及思路提示题型150 平面向量在解析几何中的应用思路提示 解决平面向量在解析几何中的应用要把几
4、何特征转化为向量关系，并把向量用坐标表示.常见的应用有如下两个方面. （1）用向量的数量积解决有关角的问题.直角,钝角(且不反向), 锐角(且不同向).（2）利用向量的坐标表示解决共线问题. 一、利用向量的数量积解决有关夹角（锐角、直角、钝角）的问题其步骤是：先写出向量坐标式，再用向量数量积的坐标公式 例10.44过抛物线的焦点F作直线交抛物线于A,B两点，O为坐标原点.求证：ABO的是钝角三角形. 变式1（2016高考天津理数）设椭圆（）的右焦点为，右顶点为，已知，其中为原点，为椭圆的离心率.（）求椭圆的方程；（）设过点的直线与椭圆交于点（不在轴上），垂直于的直线与交于点，与轴交于点，若，且
5、，求直线的斜率的取值范围.变式2设A,B分别为椭圆的左右顶点，P为直线上不同于的任意一点，若直线AP,BP分别与椭圆交于异于A,B的点M,N，证明：点B在以MN为直径的圆内.变式3已知，直线,椭圆，F1,F2分别为椭圆C的左右焦点.（1）当直线过右焦点F2时，求直线的方程；（2）设直线与椭圆C交于A,B两点，AF1F2和BF1F2和的重心分别是G,H；若原点O在以线段GH为直径的圆内，求实数的取值范围.例10.45在直角坐标系中，点P到两点,的距离之和等于4，设点P的轨迹为C，直线与C交于A,B两点.（1）写出C的方程； （2）若,求的值.变式1如图10-35所示，椭圆的顶点为A1,A2,B1
6、,B2，焦点为F1,F2，,.(1)求椭圆C的方程； （2）设为过原点的直线，是与垂直相交于P点,与椭圆相交于A,B两点的直线，是否存在上述直线使成立？若存在求出直线的方程；若不存在，请说明理由.变式2如图10-36所示，椭圆的一个焦点是，O为坐标原点，设过点F的直线交椭圆于A,B两点.若直线绕点F任意转动，恒有,求的取值范围.二、利用向量的坐标表示解决共线问题向量共线的条件是或. 例10.46在平面直角坐标系中，经过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点P,Q.（1）求的取值范围；（2）设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为A,B，是否存在常数，使得向量与共线？若存在，求的值；若不存在，请说
7、明理由.变式1设椭圆的左右焦点分别为F1,F2，离心率，直线，如图10-37所示，M,N是上的两个动点，.（1）若，求的值；（2）证明：当取最小值时，与共线.例10.47设A,B是椭圆上的两点，并且点满足,当时，求直线AB斜率的取值范围.变式1已知F1,F2分别为椭圆的左右焦点，直线过点F1且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于直线，垂足为D，线段DF2的垂直平分线交于点M. （1）求动点M的轨迹C的方程；（2）过点F1作直线交曲线C于两个不同的点P和Q，设,若，求的取值范围.变式2过点的直线交抛物线于A,B两点，交直线于点M，已知,求的值.题型151 定点问题思路提示 （1）直线过定点，由对称性知
8、定点一般在坐标轴上，如直线，若为常量，则直线恒过点；若为常量，则直线恒过. （2）一般曲线过定点，把曲线方程变为（为参数），解方程组即得定点.模型一：三大圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）中的顶点直角三角形的斜边所在的直线过定点.例10.48已知椭圆，直线与椭圆交于A,B两点（A,B不是原点），且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点.求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.变式1已知椭圆的左顶点为A，不过点A的直线与椭圆交于不同的两点P,Q，当，求与的关系，并证明直线过定点.变式2（2017课标1，理20）已知椭圆C：（ab0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（1，），P4（1，）中恰有三点在
9、椭圆C上.（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为1，证明：l过定点.例10.49已知抛物线上异于顶点的两动点A,B满足以AB为直径的圆过顶点. 求证：AB所在的直线过定点，并求出该定点的坐标.变式1 如图10-39所示，已知定点在抛物线 上，过点作两直线分别交抛物线于A,B，且以AB为直径的圆过点P，证明：直线AB过定点，并求出此定点的坐标. 变式2 已知抛物线，过点作两直线分别与抛物线交于两点，且的斜率满足.求证：直线过定点，并求出此定点的坐标.模型二：三大圆锥曲线（椭圆，双曲线，抛物线）中，若过焦点的弦为，则焦点所在坐标轴上
10、存在唯一定点，使得为定值.例10.50 （2015高考新课标1，理20）在直角坐标系中，曲线C：y=与直线(0)交与M,N两点，（）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；（）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有OPM=OPN？说明理由.变式1 已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的动直线与双曲线相交于两点.在轴上是否存在定点，使得为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.题型152 定直线问题模型：已知椭圆外一点，当过点的动直线与椭圆相交于不同的两点时，在线段上取一点,满足求证：点总在某定直线上，并求出该直线的方程.注：三大圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）中，当定点在曲线上时
11、，相应的定直线，均为在定点处的切线.例10.51 设椭圆过点,且左焦点为.(1)求椭圆的方程；（2）当过点的动直线与椭圆相交于两不同点时，在线段上取点,满足.证明：点总在某定直线上.题型153 定值问题思路提示 求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出其值，再证明这个值与变量无关，这符合一般与特殊的思维辩证关系.简称为：特殊探路，一般论证.(2)直接推理，计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.模型：三大圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）中，曲线上的一定点P与曲线上的两动点A，B满足直线PA与直线PB的斜率互为相反数，则直线AB的斜率为定值.例10.52 已知椭圆，为椭圆上的
12、点，其坐标为，为椭圆上的两动点，如果直线的斜率与的斜率互为相反数，证明：直线EF的斜率为定值，并求出该定值.变式1 已知A，B，C是长轴为4，焦点在轴上的椭圆上的三点，点A是长轴的一个端点，BC过椭圆的中心O,且.(1) 求椭圆的方程；（2）如果椭圆上的两点,使得的平分线垂直于，问是否总存在实数，使得？说明理由.变式2 如图10-42所示，过抛物线上一定点，作两条直线分别交抛物线于.(1) 求该抛物线上纵坐标为的点到焦点F的距离；(2) 当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求的值，并证明直线AB的斜率是非零常数. 题型154 最值问题思路提示有两种求解方法：一是几何方法，所求最值量具有明显的
13、几何意义时可利用几何性质结合图形直观求解；二是目标函数法，即选取适当的变量，建立目标函数，然后按照求函数的最值方法求解，同时要注意变量的范围.例10.53 设椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆上任意一点，点的坐标为，求的最大值和最小值.变式1 如图10-44所示，已知点是抛物线上的点，设点到此抛物线的准线的距离为，到直线的距离为，求的最小值.变式2 已知点为双曲线上的动点，,求的最大值及此时点的坐标.例1054 已知椭圆，点为椭圆上的动点，若的坐标分别是，求的最大值.变式1 已知椭圆在第一象限部分为曲线，动点在上，在点处的切线与轴的交点分别为,且向量，求的最小值.例10.55 如图10-45所示
14、，已知抛物线与圆相交于四点. (1) 求的取值范围；（2）当四边形的面积最大时，求对角线的交点的坐标.变式1 已知平面内一动点到点的距离与点到轴的距离的差等于1.(1) 求动点的轨迹C的轨迹；(2)过点作两条斜率存在且互相垂直的直线，设与轨迹C相交于点A,B，与轨迹C相交于点D，E，求的最小值.最有效训练题47（限时45分钟）1.经过椭圆的一个焦点作倾斜角为的直线交椭圆于A，B两点设O为坐标原点，则等于（ ）A. B. C. 或 D. 2.设是双曲线的两个焦点，点在双曲线上，,则的值为 A. 1 B. C.2 D. 3.过抛物线的焦点作一直线交抛物线于P，Q两点，若线段PF与FQ的长分别是，则
15、等于（ ） A. B. C. D. 4.已知椭圆的左焦点为，右顶点为A，点B在椭圆上，且轴，直线AB交轴于点P，若，则椭圆的离心率是（）.若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为，则椭圆长轴长的最小值为（）A. 1 B. C.2 D. .如果是椭圆的任意一条与轴不垂直的弦，为椭圆的中心，为椭圆的离心率，为的中点，则的值为（）.已知椭圆的焦点是和，离心率为，为椭圆上一点，则面积为（2017山东，理14）在平面直角坐标系中，双曲线的右支与焦点为的抛物线交于两点，若，则该双曲线的渐近线方程为_.9.已知椭圆的焦点为，且与直线有公共点，则其中长轴最短的椭圆方程为_.10.已知两点A，B分别
16、在直线和上运动，且，动点满足(为坐标原点)，点的轨迹记为曲线.(1)求曲线的方程；（2）过曲线上任意一点作它的切线，与椭圆交于M，N两点，求证：为定值.11. （2016高考山东理数）平面直角坐标系中，椭圆C：的离心率是，抛物线E：的焦点F是C的一个顶点.（I）求椭圆C的方程；（II）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线与C交与不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.（i）求证：点M在定直线上;（ii）直线与y轴交于点G，记的面积为，的面积为，求的最大值及取得最大值时点P的坐标.12.（2017浙江，21）如图，已知抛物线，点A，抛物线上的点过点B作直线AP的垂线，垂足为Q（）求直线AP斜率的取值范围；（）求的最大值25
