1、第三节 不等式选讲(选修4-5)考纲解读 1.了解绝对值的几何意义，会利用绝对值的定义解不等式，利用绝对值不等式证明不等式和求最值. 2.了解柯西不等式及其几何意义，会用它来证明不等式和求最位. 3.了解基本不等式，会用它来证明不等式和求最值.4.会用综合法、分析法、反证法及数学归纳法证明不等式.命题趋势探究本节内容为新课标新增内容，是高考选考内容.题型以含绝对值的不等式的解法和证明为重要考点，不等式的应用为次重要考点，不等式证明放在一般位置，难度为中档.知识点精讲一、不等式的性质1.同向合成（1）；（2）；（3）.（合成后为必要条件）2.同解变形（1）；（2）；（3）.（变形后为充要条件）3
2、.作差比较法二、含绝对值的不等式（1）；（2）（3）零点分段讨论三、基本不等式（1）（当且仅当等号成立条件为）（2）（当且仅当等号成立条件为）；（当且仅当时等号成立）（3）柯西不等式 （当且仅当时取等号）几何意义：推广：.当且仅当向量与向量共线时等号成立.四、不等式的证明（1）作差比较法、作商比较法.（2）综合法由因到果.（3）分析法执果索因.（4）数学归纳法.（5）构造辅助函数利用单调性证明不等式.（6）反证法.（7）放缩法.题型归纳即思路提示题型201 含绝对值的不等式一、解含绝对值的不等式思路提示 对于含绝对值的不等式问题，首先要考虑的是根据绝对值的意义去掉绝对值.常用的去绝对值方法是零
3、点分段法.特别用于多个绝对值的和或差不等式问题.若单个绝对值的不等式常用以下结论： ； . 有时去绝对值也可根据来去绝对值.例16.14 (2015山东)解不等式|x1|x5|2的解集变式1 不等式的解集是（ ）A. B. C. D. 变式2 已知函数. （1）证明：； （2）求不等式的解集.二、含绝对值不等式恒成立，求参数问题例16.15 若不等式|2x1|x2|a2a2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为_.变式1 不等式|a2|sin y对一切非零实数x，y均成立，求实数a的取值范围.变式2 若不等式|kx4|2的解集为x|1x3，则实数k_.变式3 (2017石家庄调研)设函数f(
4、x)|x3|x1|，xR.(1)解不等式f(x)1；(2)设函数g(x)|xa|4，且g(x)f(x)在x2,2上恒成立，求实数a的取值范围三、含绝对值（方程）不等式有解，求参数问题例16.16 (2016深圳模拟)若关于x的不等式|2 014x|2 015x|d有解，求d的取值范围变式2 已知，关于的方程有实根，求的取值范围.四、已知含绝对值不等式的解集，求参数的值或范围例16.17 (全国卷 I卷（理）已知函数f（x）=x2+ax+4，g(x)=x+1+x1.（1）当a=1时，求不等式f（x）g（x）的解集；（2）若不等式f（x）g（x）的解集包含1，1，求a的取值范围.变式1 设函数，其
5、中. (1) 当时，求不等式的解集； (2)若不等式的解集为，求的值.变式2 (2017开封模拟)设函数f(x)|xa|，a0.(1)证明：f(x)f2；(2)若不等式f(x)f(2x)0且互不相等，abc1.试证明：.变式1 已知a，b，c，d均为正数，且adbc.(1)证明：若adbc，则|ad|bc|；(2)t，求实数t的取值范围.2.分析法（由果索因）16.21(2017沈阳模拟)设a，b，c0，且abbcca1.求证：(1)abc ；(2) ()a2b2c2(当且仅当abc时等号成立)证得所以原不等式成立(2) .变式1 已知abc，且abc0，求证：a.四、反证法思路提示 从否定结
6、论出发，经过逻辑推理导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的.它的依据是原命题与逆否命题同真假.例16.22 设二次函数f(x)=x2+px+q，求证：|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于.变式1 已知，,求证：.五、放缩法思路提示 预证，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量，使得或，再利用传递性，达到证明目的，常见的放缩途径有“添舍”放缩、“分母”放缩和“单调”放缩.例16.23 (2015安徽卷)设nN*，xn是曲线y=x2n+2+1在点(1，2)处的切线与x轴交点的横坐标.(1) 求数列xn的通项公式；(2) 记Tn=，求证：Tn.变式1 证明
7、：.变式2 若a，bR，求证：.例16.24 求证：.例16.25 设，且满足，问取何值时，以为边可构成三角形，并判断该三角形的形状.六、三角换元法思路提示 若，等为已知条件，求证不等式时，利用三角换元法较容易，但是务必注意换元前后参数的范围变化.例16.26 （2017江苏卷） 已知a,b,c,d为实数，且a2+b2=4,c2+d2=16,证明ac+bd8.变式1 设，求证：.七、构造法思路提示 一般说来，用构造法证明不等式，常见的构造方法如下： （1）构造辅助函数. （2）构造辅助数列. （3）构造几何图形.例16.27 设，若，求证：.例16.28 已知为三角形的三边长，求证：.变式1
8、证明：.变式2 已知且，求证：.例16.29 证明：当且时，有.例16.30 设，求证：.变式1 设，求证：.八、利用柯西不等式证明不等式思路提示 柯西不等式不仅具有优美的代数表现形式及向量表现形式，而且有明显的几何意义，它与基本不等式具有密切的关系，其作用类似于基本不等式可用来求最大（小）值或证明不等式，不过它的特点更明显应用更直接.1.二维形式的柯西不等式设，.等号成立.2.一般形式的柯西不等式 设及为任意实数，则，当且仅当（规定时，）时等号成立. 证法一：当全为时，命题显然成立.否则，考查关于的二次函数，显然恒成立.注意到，而恒成立，且，故的判别式不大于零，即，整理后得.证法二：向量的内
9、积证法. 令，为与的夹角.因为，且，所以，即，等号成立或平行.柯西不等式提示了任意两组实数积之和的平方与平方和之间的关系，应用它可以简单地证明许多复杂的不等式，下面举例说明.例16.31 已知x，y，z均为实数(1)若xyz1，求证：3；(2)若x2y3z6，求x2y2z2的最小值变式1 已知大于1的正数x，y，z满足xyz3.求证：.变式2 已知，.求证：.例16.32 设实数满足，求证：.变式1 已知,且，求证：.变式2 已知正实数满足，求证：.最有效训练题61(限时45分钟)1.不等式的解集是（ ）A. B. C. D. 2.设，则（ ）A. 都不大于 B. 都不小于 C. 至少有一个不大于 D. 至少有一个不小于3.若，则的大小关系是（ ）A. B. C. D. 由的取值决定 4.用数学归纳法证明某不等式，左边，“从到”应将左边加上（ ）A. B. C. D. 5. 的最大值为（ ）A. B. C. D. 6.若正数满足，则的取值范围是 ；的取值范围是 .7.在实数范围内，不等式的解集为 .8.若存在实数使成立，则实数的取值范围是 .9.已知,.求证：.10.已知函数. (1) 当时，求不等式的解集； (2)若的解集包含，求的取值范围.11. 已知函数，且的解集为.求的值；若，且，求证：.12.已知函数.设数列满足，数列满足， .（1）用数学归纳法证明：；（2）证明：.
