1、第二节 函数的定义域与值域（最值）考纲解读 会求些简单函数的定义域和值域命题趋势探究 考查重点是求解函数的定义域和值域知识点精讲一、函数的定义域求解函数的定义域应注意：（1）分式的分母不为零；（2）偶次方根的被开方数大于或等于零：（3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；（4）零次幂或负指数次幂的底数不为零；（5）三角函数中的正切的定义域是且；（6）已知的定义域求解的定义域，或已知的定义域求的定义域，遵循两点：定义域是指自变量的取值范围；在同一对应法则下，括号内式子的范围相同；（7）对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域.二、函数的值域求解函数值域
2、主要有以下十种方法：（1）观察法；（2）配方法；（3）图像法；（4）基本不等式法，（5）换元法；（6）分离常数法；（7）判别式法；（8）单调性法，（9）有界性法；（10）导数法.需要指出的是，定义域或值域的结果必须写成区间或集合的形式. 题型归纳及思路提示题型13 函数定义域的求解思路提示 对求函数定义域问题的思路是：（1）先列出使式子有意义的不等式或不等式组；（2）解不等式组；（3）将解集写成集合或区间的形式. 一、给出函数解析式求解定义域例2.函数的定义域为（ ）A.(-4,-1) B.(-4,1) C.(-1,1) D.(-1,1变式1 函数 的定义域为（）A.(0，1) B0，1） C
3、.(0，1 D0，1变式2求函数 的定义域. 二、抽象函数定义域已知的定义域求的定义域，或已知的定义域求的定义域，或已知的定义域求的定义域.解题时注意：（1）定义域是指自变量的取值范围；（2）在同一对应法则的作用下括号内式子的范围相同.例2.11 （1）已知函数的定义域为（0，1）求的定义域（2）已知函数的定义域为（2，4）求的定义域（3）已知函数的定义域为（1，2）求的定义域.评注 定义域是对自变量而言的，如的定义域为（1，2）指的是x的范围而非的范围.变式1 已知函数 的定义域是0，1，求的定义域变式2设，则的定义域为（）A(-4,0)U(0，4) B C. D 三、实际问题中函数定义域的
4、求解例2.12 如图2-3所示，用长为1的铁丝弯成下部为矩形上部为半圆形的框架，若半圆半径为x，求此框架围成的面积y与x的函数式y，并写出其定义域.分析 在求实际问题函数的定义域时，应注意根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义城.ABCD图 2-3评注 求实际问题函数的定义域时，除考虑函数的解析式有意义外、还要考虑使实际问题有意义，如本题中要根据各种度量的存在性来确定函数的定义域题型14函数定义域的应用思路提示 对函数定义域的应用，是逆向思维问题，常常转化为恒成立问题求解，必要时对参数进行分类讨论.例2.13若函数 的定义域为R，则实数a的取值范围为_.变式1 若函数的定义域是R，求则
5、实数a的取值范围是（）A. B. C. D. 变式2 函数 的定义域是R,求a的取值范围.变式3若函数 的定义域为R，求实数a的取值范围.题型15 函数值域的求解思路提示 函数值域的求法主要有以下几种 (1)观察法:根据最基本函数值域（如0,及函数的图像、性质、简单的计算、推理，凭观察能直接得到些简单的复合函数的值域.（2）配方法：对于形如的值域问题可充分利用二次函数可配方的特点，结合二次函数的定义城求出函数的值域.（3）图像法：根据所给数学式子的特征，构造合适的几何模型.（4）基本不等式法：注意使用基本不等式的条件，即一正、二定、三相等.（5）换元法：分为三角换元法与代数换元法，对于形的值城
6、，可通过换元将原函数转化为二次型函数.（6）分离常数法：对某些齐次分式型的函数进行常数化处理，使函数解析式简化内便于分析.（7）判别式法：把函数解析式化为关于x的元二次方程，利用一元二次方程的判别式求值域，一般地，形如 ，或的函数值域问题可运用判别式法（注意x的取值范围必须为实数集R）.(8) 单调性法：先确定函数在定义域（或它的子集）内的单调性，再求出值域.对于形如或的函数，当ac0时可利用单调性法.（9）有界性法：充分利用三角函数或一些代数表达式的有界性，求出值域.因为常出现反解出y的表达式的过程，故又常称此为反解有界性法. (10) 导数法：先利用导数求出函数的极大值和极小值，再确定最大
7、（小）值，从而求出函数的值域.一 观察法例 2.14 求函数的值域.变式1 函数的值域是 .变式2 函数的值域是 .二 配方法例 2.15 求函数的值域.变式1 求函数的值域.变式2 求的值域.变式3 设函数的定义域为D，若所有点构成一个正方形区域，则a的值为（ ）.A -2 B -4 C -8 D 不能确定三 图像法（数形结合） 例 2.16 求函数的值域.评注 本题中也可看着动点P（x,0）与两定点A(-1,1),B(1,1)的距离之和，同理利用数形结合思想，|PA|+|PB|，则|PA|+|PB|的最小值为.变式1 求函数y=|x+1|+|x-2|的值域.变式2 函数的值域是（ ）.A
8、B C D 变式3 函数的值域是（ ）.A B C D 四 基本不等式法例2.17 已知x2,求函数的值域.变式1 求函数的值域.五、换元法（代数换元与三角换元）【例2.18】求函数的值域.变式1：求函数的值域.变式2：求函数的值域.六、 分离常数法【例2.19】求的值域.变式1：求函数的值域.变式2：求函数的值域.七、 判别式法【例2.20】求函数的值域.变式1：已知函数的值域为，求的值.变式2：已知函数的定义域为R，值域为，求的值.八、 单调性法【例2.21】求函数的值域.变式1：求函数的值域.变式2：函数的值域是_.变式3：求函数的值域.变式4：求函数的值域.九、 有界性法【例2.22】
9、求函数的值域.变式1：已知函数，求函数的值域.变式2：已知函数，若有，则的取值范围为（ ） 【例2.23】已知，求函数的值域.评注 本题也可以用数形结合思想求解，设，则的几何意义为点与点所确定直线的斜率，其中为单位圆在轴左侧部分.变式1：已知，求函数的值域.十、 导数法【例2.24】求函数的值域.评注 对于三次函数以及复杂的函数求值域一般都用导数法求解，此类解法在第三章导数中有更为系统的介绍.变式1：若函数在区间及上都是增函数，而在上是减函数，求此函数在上的值域.最有效训练题5（限时45分钟）1. 已知，则下列函数中定义域和值域都可能是R的是（ ） 2. 若函数的定义域为R，则实数的取值范围是（ ） 3. 定义域为R是函数的值域为，则函数的值域是（ ） 4. 函数的值域是（ ） 5. 设函数，则的值域是（ ） 6. 对任意两实数，定义运算“*”如下：，函数的值域为（ ） 7. 函数的定义域是_.8. 函数的值域为_.9. 若函数的值域为，则函数的值域是_.10. 已知函数，定义域为，值域为，则的取值范围是_.11. 求下列函数的定义域.（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ；（6） ；（7） 已知函数的定义域是，求的定义域；（8） 已知函数的定义域为，求的定义域.12. 求下列函数的值域.（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ；（6） ；（7） ；（8） .
