1、第九节 函数与方程考纲解读1、了解函数的零点与方程根的关系，判断方程根的存在性及根的个数2、能够根据具体函数的图像，用二分法求相应方程的近似解.命题趋势探究函数思想与方程思想是密切相关的，作为中学最主要内容的函数思想方法应用，在高考中的考查力度有加强趋势；函数的零点及二分法的思想会以选择题、填空题或解答题的形式出现，在今后的高考中，也将会加大考查力度.知识点精讲一、函数的零点对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点.二、方程的根与函数零点的关系方程有实数根函数的图像与轴有公共点函数有零点.三、零点存在性定理如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得也
2、就是方程的根.四、二分法 对于区间上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函数零点的近似值.五、用二分法求函数零点近似值的步骤（1）确定区间，验证，给定精度.（2）求区间的中点.（3）计算.若则就是函数的零点；若，则令（此时零点）.若，则令（此时零点） （4）判断是否达到精确度，即若，则函数零点的近似值为（或）；否则重复第（2）（4）步. 用二分法求方程近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成.题型归纳及思路提示题型33 求函数的零点或零点所在区间思路提示 求函数零点的方法：（1）代数
3、法，即求方程的实根，适合于宜因式分解的多项式；（2）几何法，即利用函数的图像和性质找出零点，适合于宜作图的基本初等函数.例2.74 求下列函数的零点：（1） （2）变式1函数的零点所在的一个区间是 （ ）A、 B、 C、 D、变式2 设是方程的解，则属于区间 （ ） A、 B、 C、 D、变式3 设函数与图像的交点为，则所在的区间是 （ ）A、 B、 C、 D、变式4 若则函数的两个零点分别位于区间 （ ） A、和内 B、和内C、和内 D、和内题型34 利用函数的零点确定参数的取值范围思路提示：本类问题应细致观察、分析图像，利用函数的零点及其他相关性质，建立参数关系，列关于参数的不等式，解不等
4、式，从而获解.例2.75 已知函数的图像如图229所示，则 （ ） A、 B、 C、 D、变式1 若函数有两个零点，则实数的取值范围是 。变式2已知函数，当时，函数的零点，则 .变式3 （2012天津理14）已知函数的图像与函数的图像恰有两个交点，则实数的取值范围是 题型35 方程根的个数与函数零点的存在性问题思路提示 方程的根或函数零点的存在性问题，可以依据区间端点处函数值的正负来确定，但是要确定函数零点的个数还需要进一步研究函数在这个区间的单调性，若在给定区间上是单调的，则至多有一个零点；如果不是单调的，可继续分出小的区间，再类似做出判断.例276 判断方程的负实数根的个数，并说明理由.评
5、注 如果在上的图像时连续不断的曲线，且时函数在上的一个零点，不一定有如变式1 已知函数，且没有实数根，证明：是否是否有实数根？变式2 设证明：（1）；（2）为单调函数时，是否有变式3 对于定义域为的函数，如果同时满足以下三条：对任意的总有；若都有+成立，则函数为理想函数.（1）若函数为理想函数，求的值域；（2）判断函数是否为理想函数，并给与证明；（3）若函数为理想函数，假定存在使得，且，求证：.例2.77 已知，则函数的零点个数是 （ ）A、4 B、3 C、2 D、1评注 本题通过换元后，得到函数与同时做出与的图像.由得的值（或范围），再由确定的值（或范围），这时复合函数求零点个数问题的通法，
6、望掌握.变式1 已知函数则方程的解的个数不可能为 （ ） A、3个 B、4个 C、5个 D、6个变式2 关于的方程，给出下列4个命题：存在实数，使得方程恰有2个不同的实数根；存在实数，使得方程恰有4个不同的实数根；存在实数，使得方程恰有5个不同的实数根；存在实数，使得方程恰有8个不同的实数根；其中假命题的个数是 （ ）A、0 B、1 C、2 D、3变式3、若函数有极值点且则关于的方程的不同实根个数是 （ ）A、3 B、4 C、5 D、6变式4 （2012江苏18）已知是实数，和是函数的两个极值点. (1)求和的值； （2）设函数的导函数求的极值点；（3）设其中，求函数的零点个数.例2.78 函
7、数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于 （ ） A、2 B、4 C、6 D、8评注 本题利用函数图像的中心对称性，整体求解横坐标之和，体现数学解题中整体思想的特点.变式1 已知定义在上的奇函数满足，且在区间上增函数，若方程在区间上有4个不同的实根，则 .最有效训练题1、函数的零点所在区间为 （ ） A、 B、 C、 D、2、设是函数的零点，若则有 （ ） A、 B、 C、 D、的符号不确定3、若函数有一个零点3，那么函数的零点是 （ ） A、0 B、 C、 D、4、已知函数，则关于的零点叙述正确的是 （ ） A 、函数必有一个零点是正数 B、当时，函数有两个零点 C、当时，函数有两个零点
8、 D、当时，函数有两个零点5、对于实数，符号表示不超过的最大正数，例如定义函数则下列结论正确的是 （ ）A、函数的最大值为， B、方程有且仅有一个解C、函数时周期函数 D、函数是增函数6、已知，若函数有3个零点，则实数的取值范围是 （ ）A、 B、 C、 D、7、若方程有3个不同的实数根，则实数的取值范围为的取值范围为 .8、设是方程(为实常数)的两个根，则 .9、已知函数若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是 .10、已知函数若函数有4个不同的零点，则实数的取值范围是 11、已知若关于的方程有3个不同的实数解，求实数的取值范围.12、已知函数（1）当时，求函数的单调区间；（2）讨论函数的零点个数.
