1、11.1.2 四种命题1.1.3 四种命题间的相互关系学习目标 1. 了解四种命题的概念，会写出所给命题的逆命题、否命题和逆否命题.2.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的联系.3.会利用命题的等价性解决问题.知识点一 四种命题的概念思考 1 初中已学过命题与逆命题的知识，什么叫做命题的逆命题？答案 在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互为逆命题.思考 2 除了命题与逆命题之外，是否还有其它形式的命题？答案 有.梳理 名称 阐释互逆命题对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的
2、两个命题叫做互逆命题.其中的一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题互否命题对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，我们把这样的两个命题叫做互否命题.如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命题互为逆否命题对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题.如果把2其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆否命题知识点二 四种命题间的相互关系思考 1 命题与其逆命题之间是什么关系？答案 互逆.思考 2 原命题与其逆命题、否命题、逆否命题之间又是什么关系？答案 原命
3、题与其逆命题是互逆关系；原命题与其否命题是互否关系；原命题与其逆否命题是互为逆否关系.梳理 (1)四种命题间的关系(2)四种命题间的真假关系原命题 逆命题 否命题 逆否命题真 真 真 真真 假 假 真假 真 真 假假 假 假 假由上表可知四种命题的真假性之间有如下关系：两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系.知识点三 逆否证法与反证法1.逆否证法由于原命题和它的逆否命题具有相同的真假性，所以在直接证明某一命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题来间接证明原命题为真命题.2.反证法(1)反证法的步骤：假设命题的结论不成立，即假设
4、结论的反面成立；从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；由矛盾判定假设不成立，从而肯定命题的结论成立.(2)反证法导出结果的几种情况：3导出綈 p 为真，即与原命题的条件矛盾；导出 q 为真，即与假设“綈 q 为真”矛盾；导出一个恒假命题，即与定义、公理、定理矛盾；导出自相矛盾的命题.3.反证法与逆否证法的联系(1)依据相同：都是利用原命题与其逆否命题的等价性.(2)起步相同：都是从“綈 q”(即否定结论)出发(入手)；(3)思想相同：都是“正难则反”思想的具体体现.4.反证法与逆否证法的区别(1)目的不同：反证法否定结论的目的是推出矛盾，而逆否证法否定结论的目的是推出“綈 p”(即否定条件)
5、；(2)本质不同：逆否证法实质是证明一个新命题(逆否命题)成立，而反证法是把否定的结论作为新的条件连同原有的条件进行逻辑推理，直至推出矛盾，从而肯定原命题的结论.类型一 四种命题的关系及真假判断命题角度 1 四种命题的写法例 1 把下列命题写成“若 p，则 q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题.(1)正数的平方根不等于 0；(2)当 x2 时， x2 x60；(3)对顶角相等.解 (1)原命题：若 a 是正数，则 a 的平方根不等于 0.逆命题：若 a 的平方根不等于 0，则 a 是正数.否命题：若 a 不是正数，则 a 的平方根等于 0.逆否命题：若 a 的平方根等于 0，则 a
6、 不是正数.(2)原命题：若 x2，则 x2 x60.逆命题：若 x2 x60，则 x2.否命题：若 x2，则 x2 x60.逆否命题：若 x2 x60，则 x2.(3)原命题：若两个角是对顶角，则它们相等.逆命题：若两个角相等，则它们是对顶角.否命题：若两个角不是对顶角，则它们不相等.逆否命题：若两个角不相等，则它们不是对顶角.反思与感悟 由原命题写出其他三种命题的关键是找到原命题的条件和结论，根据其他三4种命题的定义，确定所写命题的条件和结论.跟踪训练 1 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题.(1)实数的平方是非负数；(2)等底等高的两个三角形是全等三角形.解 (1)逆命题：若一个数的
7、平方是非负数，则这个数是实数.否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数.逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数.(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高.否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等.逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高.命题角度 2 四种命题的真假判断例 2 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假.(1)若 ab，则 ac2bc2；(2)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形.解 (1)逆命题：若 ac2bc2，则 ab.真命题.否命题：若 a b，则 ac2 bc2.真命题.逆否命题：
8、若 ac2 bc2，则 a b.假命题.(2)逆命题：若四边形是圆的内接四边形，则该四边形的对角互补.真命题.否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内接四边形.真命题.逆否命题：若四边形不是圆的内接四边形，则该四边形的对角不互补.真命题.反思与感悟 若原命题为真命题，则它的逆命题、否命题可能为真命题，也可能为假命题.原命题与逆否命题互为逆否命题，否命题与逆命题互为逆否命题.互为逆否命题的两个命题的真假性相同.在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数要么是 0，要么是 2，要么是 4.跟踪训练 2 下列命题中为真命题的是( )“若 x2 y20，则 x， y 不全为零”的否
9、命题；“正三角形都相似”的逆命题；“若 m0，则 x2 x m0 有实根”的逆否命题；“若 x 是有理数，则 x 是无理数”的逆否命题.2A. B. C. D.答案 B解析 原命题的否命题为“若 x2 y20，则 x， y 全为零”.故为真命题.原命题的逆命题为“若两个三角形相似，则这两个三角形是正三角形”.故为假命题.原命题的逆否命题为“若 x2 x m0 无实根，则 m0”.5方程无实根，判别式 14 m0，且( x1) 2( y1) 2( z1) 20， a b c0，这与 a b c0 矛盾，因此 a、 b、 c 中至少有一个大于 0.反思与感悟 (1)求解此类含有“至少” “至多”等
10、命题，常利用反证法来证明.用反证法证明命题的一般步骤：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；由矛盾得出假设不正确，从而肯定命题的结论正确.(2)常见的一些词语和它们的否定词语对照如下：原词等于()大于() 小于(y，则 x|y|”的逆命题B.命题“若 x1，则 x21”的否命题C.命题“若 x1，则 x2 x20”的否命题D.命题“若 x21，则 x1”的逆否命题答案 A解析 对 A，即判断：若 x|y|，则 xy 的真假，显然是真命题.3.命题“若 x1，则 x0”的逆命题是_，逆否命题是_.答案 若 x0，则 x1 若 x0，则 x14.在原命
11、题“若 A B B，则 A B A”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为_.答案 4解析 逆命题为“若 A B A，则 A B B”；否命题为“若 A B B，则 A B A”；逆否命题为“若 A B A，则 A B B”，全为真命题.5.已知命题 p：“若 ac0，则二次不等式 ax2 bx c0 无解”.(1)写出命题 p 的否命题；(2)判断命题 p 的否命题的真假.解 (1)命题 p 的否命题为：“若 ac0 有解”.(2)命题 p 的否命题是真命题.判断如下：因为 ac0 b24 ac0二次方程 ax2 bx c0 有实根 ax2 bx c0 有解，所以该命题是真命题.写
12、一个命题的否命题时，要对命题的条件和结论都进行否定，避免出现不否定条件，而只否定结论的错误.8若由 p 经逻辑推理得出 q，则命题“若 p，则 q”为真；确定“若 p，则 q”为假时，则只需举一个反例说明即可.40 分钟课时作业一、选择题1.“ ABC 中，若 C90，则 A， B 全是锐角”的否命题为( )A. ABC 中，若 C90，则 A， B 全不是锐角B. ABC 中，若 C90，则 A， B 不全是锐角C. ABC 中，若 C90，则 A， B 中必有一钝角D.以上都不对答案 B解析 若 C90，则 A， B 不全是锐角，此处“全”的否定是“不全”.2.若命题 p 的否命题为 q，
13、命题 p 的逆否命题为 r，则 q 与 r 的关系是( )A.互逆命题 B.互否命题C.互为逆否命题 D.以上都不正确答案 A解析 设 p 为“若 A，则 B”，那么 q 为“若綈 A，则綈 B”， r 为“若綈 B，则綈 A”.故 q与 r 为互逆命题.3.用反证法证明某命题时，对结论：“自然数 a， b， c 中恰有一个偶数”正确的反设为( )A.a， b， c 都是奇数B.a， b， c 都是偶数C.a， b， c 中至少有两个偶数D.a， b， c 中至少有两个偶数或都是奇数答案 D解析 用反证法证明某命题时，对结论：“自然数 a， b， c 中恰有一个偶数”正确的反设是： a， b，
14、 c 中至少有两个偶数或都是奇数.故选 D.4.如果方程 x2( m1) x m220 的两个实根一个小于1，另一个大于 1，那么实数 m的取值范围是( )A.( ， ) B.(2，0)2 2C.(2，1) D.(0，1)答案 D解析 由题意，构建函数 f(x) x2( m1) x m22，9两个实根一个小于1，另一个大于 1， f(1)b1”的逆命题.其中真命题的序号是_.答案 解析 举反例： x2 或 ，tan(2 ) ，tan 1，因为 6 4 6 33 42 ，tan(2 )b1”的逆命题为“若 ab1，则 0b1，所以 1log aalogabloga10，即 0logab1.三、解
15、答题11.已知命题 P：lg( x22 x2)0，命题 Q：1 x 1，若命题 P、 Q 至少有一个是真命x24题，求实数 x 的取值范围.解 由 lg(x22 x2)0，得 x22 x21，解得 x1 或 x3.由 1 x 1，得 x24 x0，解得 0x4.x24若命题 P、 Q 至少有一个是真命题，则有以下三种情形： P 真 Q 假； P 假 Q 真； P 真 Q 真.当 P 真 Q 假时，有Error!解得 x1 或 x4.当 P 假 Q 真时，有Error!解得 0x3.当 P 真 Q 真时，有Error!解得 3 x4.综上，满足条件的实数 x 的取值范围为以上三种情况的并集，即(，1(0，).12.判断命题：“若 b1，则关于 x 的方程 x22 bx b2 b0 有实根”的逆否命题的真假.
