1、第四章 整环里的因子分解本章讨论环的一个特殊问题，即整环里的唯一分解定理4.1 素元 唯一分解 课时安排 约 2 课时 教学内容 P 125-130定义：我们说，整环 R 的一个元 a 可以被 I 的元 b 整数，假如在 R 里找得出元 c，使：a=bc假如 a 能被 b 整除，我们说 b 是 a 的因子，并且用符号 b|a 来表示，否则 b a 来表示。定理 1：两个单位 和 的乘积 也是一个单位，单位 的逆 -1也是一个单位。定义：单位以及元 a 的相伴元叫做 a 的平凡因子，其余的 a 的因子，叫做真因子。定义：整环 R 的一个元 P 叫做一个素元，假如 P 既不是零元，也不是单位，并且
2、 P 只有平凡因子。定理 2：单位 q 同素元 P 的乘积 qp 也是一个素元。定理 3：整理中一个不等于零的元 a 有真因子的充分而且必要条件是：a=bcb 和 c 都不是单位元。推论：假定 a0，并且 a 有真因子，b:a=bc，那么 C 也是 a 的真因子。定义：我们说，一个整环 R 的一个元 a 在 R 里有唯一分解，假如以下条件能被满足：（i）a=P 1P2Pr(Pi 是 R 的素元 1)（ii）若同时 a=那么 r=s，且可把 的次序掉换一下使 （ I 是 R 的单位）例 1：P 129 教学重点 掌握和理解素元概念 教学难点 几个定理的证明过程 布置作业 P 130 1，2 例题
3、精讲 P 130 34.2 唯一分解环 课时安排 约 2 课时 教学内容 P 130-135定义：一个整环 R 叫做一个唯一分解环，假如 R 的每个既不等于零又不是单位的元都有唯一分解。定理 1：一个唯一分解环有以下性质：（iii）若一个素元 P 能够整除 ab，那么 P 能够整除 a 或 b。定理 2：假定一个整环 R 有以下性质：（i）R 每一个即不是零也不是单位的元 a 都有一个分解。A=P1P2Pr（Pr 是 R 的素元）（iii）R 的一个素元 P 若能整除 ab，那么 P 能整除 a 或 b。则 R 一定是一个唯一分解环。定理 3：一个唯一分解环 R 的两个元 a 和 b，在 R
4、里一定有最大公因子，a 和 b 的两个最大公因子 d 和 d只能差一个单位因子。推论：一个唯一分解环 R 的 n 个元 a1,a2,an在 R 里一定有最大公因子，a 1,a2,an的两个最大公因子只能差一个单位因子。定义：我们说，一个唯一分解环的元 a1,a2,an 互素，假如它们的最大公因子是单位。 教学重点 唯一分解定理 教学难点 定理的证明 布置作业 P 135 2 教学辅导 P 135 1，34.3 主理想环 课时安排 约 2 课时 教学内容 P 135-138定义：一个整环 R 叫做一个主理想环，假如 R 的每一个理想都是一个主理想。引理 1：假定 R 是一个主理想环，若在序列a1
5、,a2,a3,(aiR)里每一个元是前面一个的真因子，那么这个序列一定是一个有限序列。引理 2：假定 R 是一个主理想环，那么 I 的一个素元 P 生成一个最大理想。定理：一个主理想环 R 是一个唯一分解环。 教学重点 主理想的理解 教学难点 两个引理的证明 教学要求 掌握本节内容，并应用 布置作业 P 138 1 例题精讲 P 138 2，34.4 欧氏环 课时安排 约 1 课时 教学内容 P 138-141定义：一个整环 R 叫做一个欧氏环，假如：（i）有一个从 R 的非零元无所作成的集合到0 的整数集合的映射 存在。（ii）给定了 R 的一个不等于零的元 a，R 的任何元 b 都可以写成
6、 b= a+r（ ,rR）的形式，其中 r=0 或 （r）（a）例：P 139定理 1：任何欧氏环 R 一定是一个主理想环，因而一定是一个唯一分解环。定理 2：整数环是一个主理想环，因而是唯一分解环。引理：P 140定理 3：一个域 F 上的一元多项式环 FX是一个欧氏环。 教学重点 掌握欧氏环，整数环，多项式环 教学难点 理解欧氏环、主理想环、唯一分解环的关系。 教学要求 理解欧氏环的思想，并区别几个环的定义。 布置作业 P 141 1，2，34.5 多项式环的因了分解 课时安排 约 1 课时 教学内容 P 141-147定义：RX的一个元 f(x)叫做一个本原多项式，假如 f(x)的系数的
7、最大公因子是单位。引（1-4）P 142-145定理 1：若是 R 是唯一分解环，那么 RX也是。定理 2：若 R 是唯一分解环，那么 RX1，X 2，Xn也是。 教学重点 多项式环的因子分解 教学难点 引理（1-4）的证明过程 教学要求 掌握好本节内容 布置作业 无 例题精讲 P 147 1，24.6 因子分解与多项式的根 课时安排 约 2 课时 教学内容 P 148-150定义：R 的元 d 叫做 Rx的多项式 f(x)的一个根，假如 f(a)=0。定理 1：a 是 f(x)的一个，当且仅当 f(x)能被 x-a 整除的时候。定理 2：定理 1 的推广 P148推论：若 f(x)的次数是 n，那么 f（x）在 R 里至多有 n 个根。定义：R 的元 a 叫做 f(x)的一个重根，假如 f(x)能被（x-a） k整除，K 是大于 1 的整数。定义：由多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0唯一决定的多项式f(x)=nanxn-1+(n-1)an-2xn-2+a1叫做 f(x)的导数。定理 3：f(x)的一个根 a 是一个重根，当且仅当 f(x)能被 x-a 整除的时候。 教学重点 多项式的根 教学难点 定理（1-3）的证明 教学要求 理解和掌握本节的内容 布置作业 P 150 2 习题精讲 P 150 1，3
