1、- 1 -2.2.1 综合法和分析法明目标、知重点1了解直接证明的两种基本方法综合法和分析法 2理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题1综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题时常用的思维方式2一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法3分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止情境导学证明对我们来说并不陌生，我们在上一节学习的合情推理，所得的结论的正确性就是要
2、证明的，并且我们在以前的学习中，积累了较多的证明数学问题的经验，但这些经验是零散的、不系统的，这一节我们将通过熟悉的数学实例，对证明数学问题的方法形成较完整的认识探究点一 综合法思考 1 请同学们证明下面的问题，总结证明方法有什么特点？已知 a， b0，求证： a(b2 c2) b(c2 a2)4 abc.证明 因为 b2 c22 bc， a0，所以 a(b2 c2)2 abc.又因为 c2 a22 ac， b0，所以 b(c2 a2)2 abc.因此 a(b2 c2) b(c2 a2)4 abc.总结：此证明过程运用了综合法综合法的定义：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过
3、一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法思考 2 综合法又叫由因导果法，其推理过程是合情推理还是演绎推理？答 因为综合法的每一步推理都是严密的逻辑推理，因此所得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想” ，所以综合法是演绎推理例 1 在 ABC中，三个内角 A， B， C的对边分别为 a， b， c，且 A， B， C成等差数列，a， b， c成等比数列，求证： ABC为等边三角形证明 由 A， B， C成等差数列，有 2B A C，- 2 -由 A， B， C为 ABC的三个内角，所以 A B C.由，得 B ，3由 a， b， c成等比数列，有 b2
4、 ac，由余弦定理及，可得 b2 a2 c22 accos B a2 c2 ac，再由，得 a2 c2 ac ac，即( a c)20，从而 a c，所以 A C.由，得 A B C ，3所以 ABC为等边三角形反思与感悟 综合法的证明步骤如下：(1)分析条件，选择方向：确定已知条件和结论间的联系，合理选择相关定义、定理等；(2)转化条件，组织过程：将条件合理转化，书写出严密的证明过程跟踪训练 1 在 ABC中， ，证明： B C.ACAB cos Bcos C证明 在 ABC中，由正弦定理及已知得 .sin Bsin C cos Bcos C于是 sin Bcos Ccos Bsin C0，
5、即 sin(B C)0，因为0， b0)是怎样证明的？a b2 ab答 要证 ，a b2 ab只需证 a b2 ，ab只需证 a b2 0，ab只需证( )20，a b因为( )20 显然成立，所以原不等式成立a b思考 2 证明过程有何特点？答 从结论出发开始证明，寻找使证明结论成立的条件，最终把要证明的结论变成一个显然成立的条件小结 分析法定义：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理)为止，这种证明方法叫做分析法- 3 -思考 3 综合法和分析法的区别是什么？答 综合法是从已知条件出发，逐步推
6、向未知，每步寻找的是必要条件；分析法是从待求结论出发，逐步靠拢已知，每步寻找的是充分条件例 2 求证： ，a a 1 a 2 a 3 x0，且 x y1，那么( )A xx0，且 x y1，设 y ， x ，34 14则 ，2 xy ， xb0时，才有 a2b2，只需证： b，则 ac2bc2B若 ，则 abacbcC若 a3b3且 ab1a1bD若 a2b2且 ab0，则 b3且 ab ，故 C对；对于 D：若Error! ，则 D不成立1a1b2 A、 B为 ABC的内角， AB是 sin Asin B的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案 C解析
7、 由正弦定理 2 R，又 A、 B为三角形的内角，sin A0，sin asin A bsin BB0，sin Asin B2Rsin A2Rsin BabAB.3已知直线 l， m，平面 ， ，且 l ， m ，给出下列四个命题：若 ，则l m；若 l m，则 ；若 ，则 l m；若 l m，则 .其中正确命题的个数是( )A1 B2 C3 D4答案 B解析 若 l ， m ， ，则 l ，所以 l m，正确；若 l ， m ， l m， 与 可能相交，不正确；若 l ， m ， ， l与 m可能平行或异面，不正确；若 l ， m ， l m，则 m ，所以 ，正确4设 a， bR ，且 a
8、 b， a b2，则必有( )- 7 -A1 ab B abab.a2 b22又因为 a b22 ，ab故 ab1，a2 b22 a b2 2ab2即 1ab.a2 b225已知 a， b为非零实数，则使不等式： 2 成立的一个充分不必要条件是( )ab baA ab0 B ab0， b0， b0答案 C解析 与 同号，由 2，知 0， b0，求证：3 a32 b33 a2b2 ab2.证明 方法一 3 a32 b3(3 a2b2 ab2)3 a2(a b)2 b2(b a)(3 a22 b2)(a b)因为 a b0，所以 a b0,3 a22 b20，从而(3 a22 b2)(a b)0，
9、所以 3a32 b33 a2b2 ab2.方法二 要证 3a32 b33 a2b2 ab2，- 8 -只需证 3a2(a b)2 b2(a b)0，只需证(3 a22 b2)(a b)0， a b0， a b0,3 a22 b22a22 b20，上式成立二、能力提升8已知 a、 b、 cR，且 a b c0， abc0，则 的值( )1a 1b 1cA一定是正数 B一定是负数C可能是 0 D正、负不能确定答案 B解析 ( a b c)2 a2 b2 c22( ab bc ca)0，又 abc0， a， b， c均不为 0， a2 b2 c20. ab bc cacb解析 a2 c22(84 )
10、34 6 0， ac. 1， cb.3 48 36cb 6 27 3 7 36 210已知 p a (a2)， q2 a24 a2( a2)，则 p、 q的大小关系为_1a 2答案 pq解析 p a2 22 24， a24 a22( a2)1a 2 a 21a 220(*)因为10)，以过焦点的弦为直径的圆必与 x 相切p2证明 (如图)作 AA、 BB垂直于准线，取 AB的中点 M，作 MM垂直于准线只需证| MM| |AB|.12由抛物线的定义：|AA| AF|，| BB| BF|，所以| AB| AA| BB|.因此只需证| MM| (|AA| BB|)，12根据梯形的中位线定理可知上式是成立的所以以过焦点的弦为直径的圆必与 x 相切p2三、探究与拓展14已知 a、 b、 c是不全相等的正数，且 0abc.a b2 b c2 a c2由公式 0， 0，a b2 ab b c2 bc- 10 - 0.又 a， b， c是不全相等的正数，a c2 ac abc.a b2 b c2 a c2 a2b2c2即 abc成立a b2 b c2 a c2log x log x log x logxalog xblog xc成立a b2 b c2 a c2
