1、数学学科（文）高三年级第 I 卷（选择题）一选择题：共 12 题，每小题 5 分，共 60 分，每道小题只有一个正确的答案，把你选的答案涂在答题卡上.1. “a = 1”是“复数 （ ， i 为虚数单位）是纯虚数 ”的A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】试题分析：由“a = 1”得： 是纯虚数；反过来，由“复数 （ ，i 为虚数单位）是纯虚数 ”得 所以“a = 1”是“复数 （ ，i 为虚数单位）是纯虚数 ”的充要条件.故选 C.考点：1、复数的概念；2、充要条件.2. 函数 的值域是A. B. C. D. 【答案】C【解析】
2、函数 中，因为 所以 .有 .故选 C.3. 设变量 x，y 满足约束条件 则目标函数 的最大值为A. 12 B. 10 C. 8 D. 2【答案】B【解析】由上图可得 在 处取得最大值，即 .视频4. 若向量 a(1,2)， b(1，1)，则 2a b 与 a b 的夹角等于A. B. C. D. 【答案】C【解析】向量 a(1,2)， b(1，1)2 a b ， a b2 a b 与 a b 的夹角等于故选：C5. 在一次国际学术会议上，来自四个国家的五位代表被安排坐在一张圆桌，为了使他们能够自由交谈，事先了解到的情况如下：甲是中国人，还会说英语；乙是法国人，还会说日语；丙是英国人，还会说
3、法语；丁是日本人，还会说汉语；戊是法国人，还会说德语；则这五位代表的座位顺序应为（ ）A. 甲丙丁戊乙 B. 甲丁丙乙戊 C. 甲丙戊乙丁 D. 甲乙丙丁戊【答案】C6. 在增减算法统宗中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关。 ”则下列说法错误的是（ ）A. 此人第二天走了九十六里路 B. 此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里.C. 此人第三天走的路程占全程的 D. 此人后三天共走了 42 里路【答案】C【解析】由题意可知，每天走的路程里数构成以 为公比的等比数列，由 S6=378 求得首项，再由等比数列的通项公式求第二天的，第三天的，后三天的路
4、程，即可得到答案7. 在锐角 中,角 所对的边长分别为 .若 ,则角 等于A. B. C. D. 【答案】C【解析】 ，由正弦定理得： .因为 ，所以 .为锐角三角形，所以 .故选 C.8. 阅读如图所示的程序框图，若输入的 ，则该算法的功能是A. 计算数列 的前 10 项和 B. 计算数列 的前 9 项和C. 计算数列 的前 10 项和 D. 计算数列 的前 9 项和【答案】C【解析】框图首先给累加变量 S 和循环变量 i 赋值，S=0，i=1；判断 i9 不成立，执行 S=1+20=1，i=1+1=2；判断 i9 不成立，执行 S=1+21=1+2，i=2+1=3；判断 i9 不成立，执行
5、 S=1+2（1+2）=1+2+2 2，i=3+1=4；判断 i9 不成立，执行 S=1+2+22+28，i=9+1=10；判断 i9 成立，输出 S=1+2+22+28算法结束故选：B点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括顺序结构、条件结构、循环结构，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.9. 某几何体的三视图如右上图，则该几何体的表面积为A. B. C. D. 【答案】B,所以棱台的表面积为： .故选 B.考点：1、空间几何体的三视图；2、棱台的表面积.10. 过椭圆
6、的一个焦点 的直线与椭圆交于 两点，则 与 和椭圆的另一个焦点构成的 的周长为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】椭圆 ,即 .焦点在 y 轴上，有 .由椭圆的定义可知： .的周长为 .故选 B.点睛：利用椭圆中的 解决问题时，首先要辨别椭圆的方程.焦点在 x 轴上的方程为： ，焦点在 y 轴上的方程为： ，其中 .椭圆上的点到两个焦点的距离和为 .11. 三棱锥 的外接球为球 ，球 的直径是 ，且 、 都是边长为1 的等边三角形，则三棱锥 的体积是A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：如图所示，连接 ，因为 都是边长为 的等边三角形，所以 ,所以 ，所以，三棱锥 的
7、体积 ，故选 A考点：棱锥的体积公式【方法点晴】本题主要考查了等边三角形、等腰三角形的性质、勾股定理、三角的面积的计算公式、三棱锥的体积的计算公式等知识点的综合应用，解答中根据等边、等腰三角形，得出所以 ，所以 ，确定 为直角三角形是解答的关键，着重考查了学生的空间想象能力和推理与运算能力，属于中档试题12. 已知函数 ( 为自然对数的底数）有两个极值点，则实数 的取值范围是A. B. C. D. 【答案】A【解析】 ，若函数 有两个极值点，则 和 在 有 2 个交点，令 , 则 ，在 递减 , 而 ，故 时 , , 即 , 递增，时 , , 即 , 递减，故 ，而 时 , , 时 , ，若
8、和 在 有 2 个交点只需 ，点晴：本题考查函数导数与函数的极值点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可结合导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象.方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理. 恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题，往往可利用参变分离的方法，转化为求函数最值处理也可构造新函数然后利用导数来求解.注意利用数形结合的数学思想方法.第 II 卷（非选择题）二填空题：共 4 题，每小题 5 分，共 20 分，把每道小题的答案写在答题纸相应的位置上.13. 以点 为圆心，并且与直线 相切的圆的方程是_.【答案】
9、【解析】点 到直线 的距离为： ，即圆的半径为 1.所以圆的方程为： .14. 已知 ， ， ，点 C 在 内且 若则 = _【答案】【解析】试题分析：如图，过 分别作 ，并分别交 于 ，则 ， ； 为等腰直角三角形； ；即； 故答案为： 考点：平面向量的基本定理及其意义【思路点睛】作 ，根据向量加法的平行四边形法则即可得到 ，从而得到 ，而 为等腰直角三角形，从而得到，据此即可求出 15. 已知函数 的图像与函数 的图像恰有两个交点,则实数 的取值范围是_.【答案】 或 【解析】法一：数形结合图像法，函数 与函数 的恰好有两个交点，如图，因为 过定点所以 或 故 的范围为 .法二：直接法：函
10、数与函数 的恰好有两个交点， ，当时，方程 得 在 与 单调递减，故 ；当，由 ，有 ，解得， 或 ，则 与 每一段函数有且只有一个交点，那么 同时满足，故 .答案 .【考点定位】本题考察了分段函数数与未知函数交点情况去求参数取值范围的问题，着重强调了分段函数要分段讨论，特别体现了形结合这种思想在解题中的巨大作用，考察了学生对函数图像、性质的把握，对函数的分段讨论的思想，需要较强的想象、推理能力16. 若数列 是等差数列，则有数列 也为等差数列，类比上述性质，相应地：若数列 是等比数列，且 ，则有 _也是等比数列.【答案】【解析】数列a n， （nN *）是等差数列，则有数列 也是等差数列类比
11、推断：若数列c n是各项均为正数的等比数列，则当 dn= 时，数列d n也是等比数列故答案为： 点睛：这是一个类比推理的题，在由等差数列到等比数列的类比推理中，一般是由等差的性质类比推理到等比的性质，即可得出结论类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想） 三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤17. 已知函数 的图象与 轴的交点为 ，它在 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为 和 （）求 的解析式及 的值； （）若锐角 满足 ，求 的值【答案】 （1） ， （2） 【解析】试题分析：
12、（1）根据图象求出 A，T，求出 ，图象经过（0，1） ，求出 ，然后求 f（x）的解析式，根据（x 0，2）求 x0的值；（2）锐角 满足 ，求出 sin，sin2，cos2，化简 f（4） ，然后求 f（4）的值试题解析：（1）由题意可得 ，即 ， ，又 ，由 ，, ，所以 ， ，又 是最小的正数， （2） ， ， . 18. 如图,矩形 和梯形 所在平面互相垂直， ， ,. （）求证： 平面 ;（）当 的长为何值时,图中几何体 的体积为 ？【答案】 （1）见解析（2） 【解析】试题分析：（I）由已知中在BCE 中， ，BC= ，BE=3，由勾股定理，我们易得 EFCE，由矩形 ABCD
13、和梯形 BEFC 所在平面互相垂直，可得 DC平面 EFCB，则DCEF，进而由线面垂直的判定定理得到答案（II）图中几何体 的体积为 ，设 ，利用椎体体积公式表示体积列方程求解即可.试题解析：（）证明：在 中， ， ， ， ，所以 .又因为在 中， ，所以 .由已知条件知， 平面 ，所以 .又 ，所以 平面 （）设 ，解得故 长为 19. 数列 为递增的等比数列, ，数列 满足 （）求数列 的通项公式；（II）求证： 是等差数列；（）设数列 满足 ，且数列 的前 项和 ，并求使得 对任意都成立的正整数 的最小值.【答案】 （1） （2） 是首项为 1，公差为 2 的等差数列 （3）4【解析】
14、试题分析：（1）根据a n为递增的等比数列且 a32=a1a5，得到 a1=1，a 3=4，a 5=16，进而求得 an，b n的通项公式；（2）利用等差数列定义加以证明;（3）利用裂项相消法求数列的前 n 项和，再用分离参数法和单调性求 m 的最小值试题解析：（1）数列 为递增的等比数列，则其公比为正数，又，当且仅当 时成立。此时公比 所以 （2） 因为 ，所以 ，即 所以 是首项为 ，公差为 2 的等差数列 （3） ，所以 ，nN *，即数列T n是递增数列当 n=1 时，T n取得最小值 ， 要使得 对任意 nN *都成立，结合（）的结果，只需 ，故正整数 m 的最小值为 4. 20.
15、已知椭圆 的离心率为 ，右焦点为 .斜率为 1 的直线与椭圆交于 两点，以 为底边作等腰三角形，顶点 .（1）求椭圆 的方程；（2）求 的面积.【答案】 （1） ；（ 2） 【解析】试题分析：（1）根据椭圆的简单几何性质知 ，又 ，写出椭圆的方程；（2）先斜截式设出直线 ，联立方程组，根据直线与圆锥曲线的位置关系，可得出 中点为 的坐标，再根据 为等腰三角形知 ，从而得 的斜率为，求出 ，写出 ： ，并计算 ，再根据点到直线距离公式求高，即可计算出面积试题解析：（1）由已知得 ， ，解得 ，又 ，所以椭圆 的方程为 （2）设直线 的方程为 ，由 得 设 、 的坐标分别为 ， （ ） ， 中点为
16、 ，则 ， ，因为 是等腰 的底边，所以 所以 的斜率为 ，解得 ，此时方程 为 解得 ， ，所以 ， ，所以 ，此时，点 到直线 ： 的距离 ，所以 的面积 考点：1、椭圆的简单几何性质；2、直线和椭圆的位置关系；3、椭圆的标准方程；4、点到直线的距离.【思路点晴】本题主要考查的是椭圆的方程，椭圆的简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，点到直线的距离，属于难题解决本类问题时，注意使用椭圆的几何性质，求得椭圆的标准方程；求三角形的面积需要求出底和高，在求解过程中要充分利用三角形是等腰三角形，进而知道定点与弦中点的连线垂直，这是解决问题的关键视频21. 设函数 ， （）若 ，求 的极小值；（）在（
17、）的条件下，是否存在实常数 和 ，使得 和 ？若存在，求出 和 的值若不存在，说明理由；（）设 有两个零点 ，且 成等差数列，试探究 值的符号【答案】 （1）极小值为 0（2）k=2,m= -1（3） 【解析】试题分析：（）首先由 ,得到关于 的两个方程,从而求出 ,这样就可得到 的表达式,根据它的特点可想到用导数的方法求出 的极小值; （）由（）中所求的 和 ,易得到它们有一个公共的点 ,且 和 在这个点处有相同的切线 ,这样就可将问题转化为证明 和 分别在这条切线 的上方和下方,两线的上下方可转化为函数与 0 的大小,即证 和 成立,从而得到 和的值; （）由已知易得 ,由零点的意义,可得
18、到关于 两个方程,根据结构特征将两式相减,得到关于 的关系式 ,又对 求导,进而得到 ,结合上面关系可化简得: ,针对特征将 当作一个整体,可转化为关于 的函数 ,对其求导分析得, 恒成立.试题解析：解：（）由 ，得 ，解得 2 分则 = ，利用导数方法可得 的极小值为 5 分（）因 与 有一个公共点 ，而函数 在点 的切线方程为 ，下面验证 都成立即可 7 分由 ，得 ，知 恒成立 8 分设 ，即 ，易知其在 上递增，在 上递减，所以 的最大值为 ，所以 恒成立.故存在这样的 k 和 m，且 10 分（） 的符号为正. 理由为：因为 有两个零点 ，则有，两式相减得 12 分即 ，于是14 分
19、当 时，令 ，则 ，且 .设 ，则 ，则 在 上为增函数而 ，所以 ，即 . 又因为 ，所以 .当 时，同理可得： .综上所述： 的符号为正 16 分考点：1.函数的极值;2.曲线的切线;3.函数的零点请考生在 22、23 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22. 已知圆锥曲线 C： 为参数）和定点 , 是此圆锥曲线的左、右焦点（）以原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线 的极坐标方程；（）经过点 ，且与直线 垂直的直线 l 交此圆锥曲线于 M、N 两点，求 的值 .【答案】 （） （）【解析】试题分析：（1）由圆锥曲线 化为 ，可得 ，利用截距式即可得出直
20、线 的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可；（2）直线 的斜率为 ，可得直线 的斜率为直线 的方程为 ，代入椭圆的方程为 ，利用直线参数方程的几何意义及韦达定理可得结果.试题解析：（1）曲线 可化为 其轨迹为椭圆，焦点为 和 ，经过 和 的直线方程为所以极坐标方程为（2）由（1）知直线 的斜率为 ，因为 ，所以 的斜率为 ，倾斜角为 ，所以的参数方程为 代入椭圆 的方程中，得因为点 在 两侧，所以23. 已知函数（）当 时，求函数 的定义域；（）若关于 的不等式 的解集是 ,求 的取值范围.【答案】(1) (2) 【解析】试题分析：对于（1）当 m=5 时，求函数 f（x）的定义域根据 m=5
21、和对数函数定义域的求法可得到：|x+1|+|x2|5，然后分类讨论去绝对值号，求解即可得到答案对于（2）由关于 x 的不等式 f（x）1，得到|x+1|+|x2|m+2因为已知解集是 R，根据绝对值不等式可得到|x+1|+|x2|3，令 m+23，求解即可得到答案试题解析：(1)由题意 ，令解得 或 ， 函数的定义域为 (2) , ，即 .由题意,不等式 的解集是 ， 则 在 上恒成立. 而 ，故 . 点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向
