1、21.2 解一元二次方程,21.2.1 配方法,知识点一,知识点二,知识点一利用平方根的定义解一元二次方程 一般地,对于方程x2=p, (1)当p0时,根据平方根的意义,方程x2=p有两个不相等的实数根,x1= ,x2=- ; (2)当p=0时,根据平方根的意义,方程x2=p有两个相等的实数根,x1=x2=0; (3)当p0时,因为对任意实数x,都有x20,所以方程x2=p无实根.,知识点一,知识点二,名师解读:利用平方根的定义解一元二次方程的方法也叫做直接开平方法,适合解一边是关于某个未知数的完全平方式,另一边是非负数的形式的一元二次方程. 具体步骤如下: (1)将方程化为x2=a(a0)或
2、(ax+b)2=c(c0)的形式;(2)两边开平方,得,知识点一,知识点二,例1 用直接开平方法解下列方程: (1) x2-9=0; (2)4(x-2)2-3=0; (3)x2-6x+9=7; (4)(x-2)2=(2x+5)2. 分析:(1)先变形得到x2=27,然后利用直接开平方法求解; (2)先变形得到(x-2)2= ,然后利用直接开平方法求解; (3)先变形得到(x-3)2=7,然后利用直接开平方法求解; (4)先两边开方得到x-2=(2x+5),然后解一元一次方程即可.,知识点一,知识点二,知识点一,知识点二,(1)用直接开平方法求一元二次方程的解的类型有: x2=a(a0);ax2
3、=b(a,b同号且a0); (x+a)2=b(b0);a(x+b)2=c(a,c同号且a0). 法则:先把方程化为“左平方,右常数”,再开平方取正负,分开求得方程解. (2)运用整体思想,可把被开方数看成整体.,知识点一,知识点二,知识点二用配方法解一元二次方程 通过配成完全平方的形式来解一元二次方程的方法,叫做配方法. 名师解读:配方法就是通过配方,使一元二次方程转化为可以用直接开平方法求解的形式,最终实现了“降次”的目的,这种方法“原则”上适用于任何形式的一元二次方程求解.一般步骤如下: (1)将方程化成一般形式并把二次项系数化成1.(方程两边都除以二次项系数) (2)移项,使方程左边只含
4、有二次项和一次项,右边为常数. (3)配方,方程两边都加上一次项系数一半的平方.,知识点一,知识点二,(4)原方程变为(x+n)2=p的形式: 当p0时,方程有两个不相等的实数根 当p=0时,方程有两个相等的实数根x1=x2=-n; 当p0时,因为对任意实数x,都有(x+n)20,所以方程无实根.,知识点一,知识点二,知识点一,知识点二,对于二次项系数为“1”的一元二次方程的配方,只需要利用等式的基本性质,左右两边都加上一次项系数一半(与系数的符号无关)的平方即可.,知识点一,知识点二,例3 用配方法解方程:x2+x-20=0. 分析:因为题目要求用配方法解一元二次方程,故按照配方法的一般步骤
5、进行即可. 解:x2+x-20=0,x2+x=20.,知识点一,知识点二,选择用配方法解一元二次方程时,最好使方程的二次项的系数为1.,知识点一,知识点二,例4 用配方法解方程:2x2-4x=1. 分析:题目要求利用配方法解一元二次方程,观察发现方程的二次项的系数不为1,因此先把二次项系数化成1,然后方程左右两边加上一次项系数一半的平方,把左边配成完全平方式,右边化为常数即可.,知识点一,知识点二,用配方法解一元二次方程,当二次项系数不为“1”时,先化成“1”,然后按照二次项系数为“1”的方法进行即可.,拓展点一,拓展点二,拓展点一特殊配方巧解一元二次方程 例1 解方程4x2-4x-1=0.
6、分析:方法一:按照常规的配方法去解; 方法二:按照常规的配方法去解,但是不需要先把二次项系数化成1,观察等号的左边二次项的系数是一个完全平方数,只要在方程的左右两边同时加上2,左端即变成一个完全平方式,右端是一个非负数,就可以直接平开方求出方程的解.,拓展点一,拓展点二,拓展点一,拓展点二,此种解法告诉我们配方法可以灵活运用,当左边二次项系数为一个数的完全平方时,可以不必将二次项系数化成1,只要按照方法二的解法进行即可.,拓展点一,拓展点二,拓展点二利用配方法判定二次三项式的符号 例2 用配方法证明:不论x为任何实数,代数式x2-6x+10的值恒大于0. 分析:本题主要考查利用配方法说明代数式的值恒大于0,说明一个二次三项式恒大于0的方法是通过配方将二次三项式化成“a2+正数”的形式,根据完全平方的非负性来证明.,拓展点一,拓展点二,证明:x2-6x+10=x2-6x+9-9+10=(x-3)2+1, 又(x-3)20, (x-3)2+10,即x2-6x+100. 不论x为任何实数, 代数式x2-6x+10的值恒大于0.,拓展点一,拓展点二,要说明一个式子恒大于0,只要把这个式子表示成“a2+正数”的形式即可;若要说明一个式子恒小于0,只要把这个式子表示成“-a2-正数”即可.,
