1、12.2.3 向量数乘运算及其几何意义课后篇巩固探究A组 基础巩固1. 等于( )1312(2+8)-(4-2)A.2a-b B.2b-aC.b-a D.a-b解析原式 = (2a+8b)- (4a-2b)= a+ b- a+ b=-a+2b=2b-a.16 13 13 43 43 23答案 B2.下列说法正确的个数为( ) 0a=0; 0a=0;a 0=0;a 0=0.A.1 B.2 C.3 D.4解析本题考查数乘向量运算的理解,由于数乘向量的结果是一个向量而不是一个数,因此本题所给的四种说法中只有 与 的结果是一个向量,因此选 B.答案 B3.在 ABC中, D是线段 BC的中点,且 =4
2、 ,则( )+A. =2 B. =4 C. =2 D. =4 解析由已知得 =2 ,所以 =2 .+ 2答案 A4.已知 =a+5b, =-2a+8b, =3(a-b),则 ( ) A.A,C,D三点共线 B.B,C,D三点共线C.A,B,C三点共线 D.A,B,D三点共线解析因为 =(-2a+8b)+3(a-b)=a+5b,所以 .=+ =又 有公共点 B,与 所以 A,B,D三点共线 .答案 D5.在四边形 ABCD中, AB CD,AB=3DC,E为 BC的中点,则 等于( )A.23+12B.12+23C.56+13D.13+56A解析 =- )=+23+,=+=+12=+12(23.
3、23+12答案 A6.若 =5e, =-7e,且 | |=| |,则四边形 ABCD的形状是 . 解析由已知得 =- ,因此 ,且 | | | |,所以四边形 ABCD是梯形 .57 3答案梯形7.已知向量 a,b是两个不共线的向量,且向量 ma-3b与 a+(2-m)b共线,则实数 m的值为 .解析因为向量 ma-3b与 a+(2-m)b共线且向量 a,b是两个不共线的向量,所以 m= ,解得 m=-1-32-或 m=3.答案 -1或 38. 导学号 68254069在 ABC中,点 M为边 AB的中点,若 ,且=x +y (x0),则 = . 解析 M 为 AB的中点, ).=12(+又
4、, 存在实数 ,使 = , )= ,=2(+2+2x=y= ,2 =1.答案 19.如图,已知 D,E分别为 ABC的边 AB,AC的中点,延长 CD到 M使 DM=CD,延长 BE至 N使 BE=EN,求证:M,A,N三点共线 .证明 D 为 MC的中点,且 D为 AB的中点, .=+ .=同理可证明 .=4 =- . 共线, 又 有公共点 A., 与 M ,A,N三点共线 .10.(1)已知 a=3i+2j,b=2i-j,求 +(2b-a);(13-)(-23)(2)已知向量 a,b,且 5x+2y=a,3x-y=b,求 x,y.解(1)原式 = a-b-a+ b+2b-a= a+ b=-
5、 a+ b.13 23 (13-1-1) (-1+23+2) 53 53 a=3i+2j,b=2i-j, 原式 =- (3i+2j)+ (2i-j)= i+ j=- i-5j.53 53 (-5+103) (-103-53) 53(2)将 3x-y=b两边同乘 2,得 6x-2y=2b.与 5x+2y=a相加,得 11x=a+2b, x= a+ b.111211 y=3x-b=3 -b= a- b.(111+211b) 311511B组 能力提升1.如图, AB是 O的直径,点 C,D是半圆弧 AB的两个三等分点, =a, =b,则 =( ) A.a- b12B. a-b12C.a+ b12D
6、. a+b125解析由已知易得四边形 AODC为菱形,所以 a+b.=+=12+=12答案 D2.已知点 P是 ABC内的一点, ),则 ABC的面积与 PBC的面积之比为( )=13(+A.2 B.3 C. D.632解析设 BC的中点为 D,则 =2 .+ )= ,=13(+23如图,过点 A作 AE BC,交 BC于点 E,过点 P作 PF BC,交 BC于点 F,则 .|=|=13 =3. =12|12|答案 B3.已知 ,设 = ,则实数 的值为 . =23+13解析因为 ,所以 ,于是 ,即=23+13 23+13=23+13 2323=1313,所以 ,所以 ,故 = .23=1
7、3 =12 =13 13答案1364.在平行四边形 ABCD中, ,若 = + ,其中 , R,则 += .=12,=解析由平面向量的加法运算,有 .=+因为 = + = ( )+ ( )= + + + (+13) (+12)= .(3+)+(+2)所以 ,+=(3+)+(+2)即 解得 故 += .3+=1,+2=1, =35,=45, 75答案755.在 ABC中,点 P是 AB上一点,且 ,Q是 BC的中点, AQ与 CP的交点为 M,且 =t=23+13 ,求 t的值 .解 ,=23+13 3 =2 ,即 2 -2 .+ = 2 ,即 P为 AB的一个三等分点(靠近点 A),如图所示
8、.=A ,M,Q三点共线, 设 =x +(1-x) +(x-1) ,=2 又 , .=2+(2-1)7又 ,且 =t ,=13 =t .2+(2-1)(13-) 解得 t= .2=3,2-1=-, 346. 导学号 68254070已知 OBC中,点 A是线段 BC的中点,点 D是线段 OB的一个三等分点(靠近点 B),设 =a, =b.(1)用向量 a与 b表示向量 ;(2)若 ,判断 C,D,E是否共线,并说明理由 .=35解(1) =a, =b,点 A是 BC的中点, =-a. =-a-b.=+(2)假设存在实数 ,使 = . =a+b+ (-b)=a+ b,=+35 25=+=+13B= )+13(+=2a+ (-a+b)= a+ b,13 53 13 a+ b= ,25 (53+13)8 此方程组无解 ,53=1,13=25, 不存在实数 ,满足 = .C ,D,E三点不共线 .
