1、2017-2018 学年辽宁省沈阳市四校协作体高三年级联合考试理科数学（满分 120 分 时间 2 小时）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。1. 已知集合 ， ，则 =（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 ，故选:B 2. 若复数 满足 （ 为虚数单位） ，则 的共轭复数 为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由 ，可得： =故选：D点睛：复数的除法除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把 的幂写成最简形式，复数 实部为 ，虚部为 ，共轭复数 实部为 ，虚部为 ，在复平面
2、内对应的点关于是轴对称。3. 若变量 满足约束条件 ， 则 的最大值是（ ）A. B. 0 C. D. 【答案】C由图可知，直线 过点 时， 取最大值 .考点：线性规划.视频4. 已知命题 ，命题 是 成等比数列的充要条件”.则下列命题中为真命题的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】当 x2，或 x1 时， ，故命题 p 为真命题；b2=ac=0 时，a，b，c 不是等比数列，故命题 q 为假命题；故命题 ， ， 均为假命题；为真命题；故选：C5. 设正项等比数列 的前 项和为 ，且 ，若 ， ，则 =（ ）A. 63 或 120 B. 256 C. 120 D. 63【答案】C
3、【解析】 ，0q1，a 3+a5=20，a 3a5=64a 3和 a5为方程 x220x+64=0 的两根，a n0，0q1，a 3a 5，a 3=16，a 5=4，q= ，a 1=64，a 2=32，a 3=16，a 4=8，S 6= =126，故选：C6. 已知圆 的半径为 2，圆心在 轴正半轴上，直线与圆 相切，则圆 的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】设圆心坐标为 C（a，0） （a0） ，由题意得， ，解得 a=2圆 C 的方程为（x2） 2+y2=4，即故选：D7. 如图所示的流程图，最后输出的 的值为（ ）A. 3 B. 4 C. 5 D. 6【答案】C【解析
4、】执行程序有：n=1，n=n+1=2，此时，2 n=4，n 2=4，故有 n=n+1=3，此时 2n=8，n 2=9，故有 n=n+1=4，此时 2n=16，n 2=16，故有 n=n+1=5，此时 2n=32，n 2=25，即满足 2nn 2故输出 n 的值 5故选：C8. 已知函数 ， 是 的导函数，则函数 的一个单调递减区间为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 ，令 ，得： ，单调递减区间为故选：9. 已知双曲线 的两条渐近线与抛物线 的准线分别交于 两点，为坐标原点，若 的面积为 ，则双曲线的离心率为（ ）A. B. 2 C. D. 4【答案】B【解析】y 2=8x 的准
5、线方程为 l：x=2，双曲线 的两条渐进线与抛物线 y2=8x 的准线分别交于 A，B 两点，ABO 的面积为 ， ，b= a，c=2a，e=2故选：B点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于 a，b，c 的方程或不等式，再根据 a，b，c 的关系消掉 b 得到 a，c 的关系式，建立关于 a，b，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.10. 正三角形 边长为 2，将它沿高 翻折，使点 与点 间的距离为 ，此时四面体外接球表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】根据题意可知三棱锥 BACD 的三条侧棱 BDAD、DC
6、DA，底面是等腰三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，三棱柱中，底面BDC，BD=CD=1，BC= ，BDC=120，BDC 的外接圆的半径为由题意可得：球心到底面的距离为 ，球的半径为 r= 外接球的表面积为：4r 2=7故选：A点睛：空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解(2)若球面上四点 P， A， B， C 构成的三条线段 PA， PB， PC 两两互相垂直，且PA a，
7、PB b， PC c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2 a2 b2 c2求解11. 已知过抛物线 的焦点 的直线与抛物线交于 两点，且 ，抛物线的准线 与 轴交于点 ， 于点 ，若四边形 的面积为 ，则准线 的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】设|BF|=m，|AF|=3m，则|AB|=4m，p= m，BAA 1=60，四边形 AA1CF 的面积为 ， = ，m= ， = ，准线 l 的方程为 x= ，故选 A12. 在矩形 中， 动点 在以点 为圆心且与 相切的圆上，若，则 的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】如图：以 A 为原
8、点，以 AB，AD 所在的直线为 x，y 轴建立如图所示的坐标系，则 A（0，0） ，B（1，0） ，D（0，2） ，C（1，2） ，动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上，设圆的半径为 r，BC=2，CD=1，BD= = BCCD= BDr，r= ，圆的方程为（x1） 2+（y2） 2= ，设点 P 的坐标为（ cos+1， sin+2） ， ，（ cos+1， sin+2）=（1，0）+（0，2）=（，2） ， cos+1=， sin+2=2，+= cos+ sin+2=sin（+）+2，其中 tan=2，1sin（+）1，1+3，故 + 的最大值为 3，故选：A点睛：(1)向
9、量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题.(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13. 设 ， 满足 且 ，则 的值为_.【答案】-5【解析】 ，又 ， ，即 = ，故答案为：-514. 化简 _.【答案】4【解析】 ，故答案为：415. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积_.【答案】【解析】该几何体为四棱锥，如图：,故
10、答案为：16. 已知函数 ，若 的解集中只有一个正整数，则实数 的取值范围是_.【答案】 ， ）【解析】当 x0 时，即 ,记 ， ， 上单调递增，在 上单调递减，的最大值为 =若 的解集中只有一个正整数，则，解得：实数 的取值范围是 ， ）点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17-
11、21 题为必考题，每个试题考生都必须做答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。17. 在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ， （1）求 的值；（2）若 ，求 的面积【答案】(1) (2)【解析】试题分析：（1）利用同角三角函数间的基本关系求出 sinA 的值，再将已知等式的左边 sinB 中的角 B 利用三角形的内角和定理变形为 （A+C） ，利用诱导公式得到sinB=sin（A+C） ，再利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后利用同角三角函数间的基本关系即可求出 tanC 的值；（2）由 tanC 的值，利用同角三角函数间的基本关系求出
12、 cosC 的值，再利用同角三角函数间的基本关系求出 sinC 的值，将 sinC 的值代入 中，即可求出 sinB 的值，由a，sinA 及 sinC 的值，利用正弦定理求出 c 的值，最后由 a，c 及 sinB 的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形 ABC 的面积试题解析：（1） ， ，又 整理得： （2）由 知： 又由正弦定理知： ，故 c= = = 对角 A 运用余弦定理： 解得： 或 （舍去）ABC 的面积为： 18. 已知数列 的前 项和为 ， ，且 ， （1）求数列 的通项公式； （2）令 ， ，记数列 的前 项和为 ，求 【答案】(1) a n=3n1 (2)【解析】试题
13、分析：（1）由 ，可得：a n+1=3an， 利用等比数列的通项公式即可得到结果；（2）利用（1）可得 的通项公式，再利用裂项相消法求和即可.试题解析：（1）a n+1=2Sn+1，nN ，n2 时，a n=2Sn1 +1，可得 an+1a n=2an，即 an+1=3ann=1 时，a 2=2a1+1=3=3a1，满足上式数列a n是等比数列，a n=3n1 （2） c=log 3a2n= =2n1bn= = = ，数列b n的前 n 项和 Tn= + + + +=19. 如图，在四棱柱 中，侧棱 底面 ， ， ， ，且点 和 分别为 和 的中点（1）求证： 平面 ；（2）求二面角 的正弦值
14、【答案】(1)见解析(2)【解析】试题分析：（）以 A 为原点建立空间直角坐标系，利用向量法能证明 MN平面ABCD（）求出两个平面的法向量，可计算两个平面所成二面角的余弦值的大小，再求正弦值即可试题解析：（1）证明：如图，以 A 为坐标原点，以 AC、AB、AA 1所在直线分别为 x、y、z 轴建系，则 A（0，0，0） ，B（0，1，0） ，C（2，0，0） ，D（1，2，0） ，A1（0，0，2） ，B 1（0，1，2） ，C 1（2，0，2） ，D 1（1，2，2） ，又M、N 分别为 B1C、D 1D 的中点，M（1， ，1） ，N（1，2，1） 由题可知： =（0，0，1）是平面
15、ABCD 的一个法向量， =（0， ，0） ， =0，MN平面 ABCD，MN平面 ABCD； （2）解：由（I）可知： =（1，2，2） ， =（2，0，0） ， =（0，1，2） ，设 =（x，y，z）是平面 ACD1的法向量，由 ，得 ，取 z=1，得 =（0，1，1） ，设 =（x，y，z）是平面 ACB1的法向量，由 ，得 ，取 z=1，得 =（0，2，1） ，cos ， = = ，sin ， = = ，二面角 D1ACB 1的正弦值为 ； 点睛：利用法向量求解空间二面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关” ，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关” ，准确求解相关点的坐标；
16、第三，破“求法向量关” ，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.20. 设函数 （1）当 时，讨论函数 的单调性；（2）若 时， 恒成立，求整数 的最小值【答案】(1) f（x）递增区间为（0， ） ， （1，+） ，递减区间为（ ，1） ；(2)1.试题解析：（1）由题意可得 f（x）的定义域为（0，+） ，当 a=2 时，f（x）=x 2+2x+2（x 2x）lnx，所以 f（x）=2x+2+2（2x1）lnx+2（x2x） =（4x2）lnx，由 f（x）0 可得：（4x2）lnx0，所以 或 ，解得 x1 或 0x ；由 f（x）0 可得：（4x2）lnx0，所以 或 ，解得： x
17、1综上可知：f（x）递增区间为（0， ） ， （1，+） ，递减区间为（ ，1） （2）若 x（0，+）时，f（x）0 恒成立，即 ax2（x1）lnx 恒成立，令 g（x）=x2（x1）lnx，则 ag（x） max因为 g（x）=12（lnx+ ）=2lnx1+ ，所以 g（x）在（0，+）上是减函数，且 g（1）0，g（2）0，故存在 x0（1，2）使得 g（x）在（0，x 0）上为增函数，在（x 0，+）上是减函数，x=x 0时，g（x） max=g（x 0）0，a0，又因为 aZ，所以 amin=1点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问
18、题；（2）若 就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若 恒成立，转化为 ;（3）若 恒成立，可转化为 .21. 平面直角坐标系 中，椭圆 ： （ ）的离心率是 ，抛物线 ：的焦点 是 的一个顶点（1）求椭圆 的方程；（2）设 是 上动点，且位于第一象限， 在点 处的切线 与 交于不同的两点 ， ，线段的中点为 ，直线 与过 且垂直于 轴的直线交于点 （i）求证：点 在定直线上；（ii）直线 与 轴交于点 ，记 的面积为 ， 的面积为 ，求 的最大值及取得最大值时点 的坐标【答案】(1) (2)见解析 的最大值为 ，此时点 的坐标为【解析】试题分析：（I）运用椭圆的离心
19、率公式和抛物线的焦点坐标，以及椭圆的a，b，c 的关系，解得 a，b，进而得到椭圆的方程；（） （i）设 ，运用导数求得切线的斜率和方程，代入椭圆方程，运用韦达定理，可得中点 D 的坐标，求得 OD 的方程，再令 x= ，可得 进而得到定直线；（ii）由直线 l 的方程为 ，令 x=0，可得 G（0， ） ，运用三角形的面积公式，可得 ， ，化简整理，再（t1） ，整理可得 t 的二次方程，进而得到最大值及此时 P 的坐标试题解析：（1）由题意知 ，可得： .因为抛物线 的焦点为 ，所以 ，所以椭圆 C 的方程为 （2） （）设 ，由 可得 ，所以直线 的斜率为 ，因此直线 的方程为 ，即 .
20、设 ，联立方程得 ，由 ，得 且 ，因此 ,将其代入 得 ，因为 ，所以直线 方程为 .联立方程 ，得点 的纵坐标为 ，即点 在定直线 上（）由（）知直线 方程为 ，令 得 ，所以 ，又 ，所以 ，所以 ，令 ，则 ，当 ，即 时， 取得最大值 ，此时 ，满足 ，所以点 的坐标为 ，因此 的最大值为 ，此时点 的坐标为（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22. 选修 4-4：坐标系与参数方程以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 的极坐标方程为（1）求曲线 的普通方程；（2）若曲线 与 轴的正半轴及 轴的正
21、半轴分别交于点 ， ，在曲线 上任取一点 ，且点在第一象限，求四边形 面积的最大值【答案】(1) ，(2) .【解析】试题分析：（）由 x=cos，y=sin，求了曲线 C 的直角坐标方程为由此能求出曲线 C 的参数方程（）求出 A（2，0） ，B（0，1） ，设 则从而得到四边形 OAPB 面积，由此能求出四边形 OAPB 的面积取最大值试题解析：（1） 得 ，由 ，可得，即 . 其参数方程为（2）由已知可得 ，设 .则 ，所以四边形 .当 时，四边形 的面积取最大 .23. 选修 4-5：不等式选讲已知函数 （ ） ，若 的解集是 （1）求 的值；（2）若关于 的不等式 有解，求实数 的取
22、值范围【答案】 （1）m=3 (2)【解析】试题分析：（）作出 f（x）的图象，结合题意可得 ，由此求得m 的值（）求得 f（x）的最小值为 2，可得 2a 2+a4，由此求得 a 的范围试题解析：（1）解法一：作出函数 的图象 由 的解集为 及函数图象得得 解法二： 得 得 ， 得 ，不合题意 得当 时， ，不符合 ，舍去当 时， 综上不等式的解集为， （2）解法一：由（）得 有解 即 即 ， 实数 的取值范围解法二：由绝对值不等式几何意义得 有解即 实数 的取值范围点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向
