1、复合板材传热动态特性研究第 27 卷第 1 期2006 年 3 月河北科技大学JournalofHebeiUniversityofScienceandTechnologyV01.27.No.1Mar.2006文章编号?10O8-1542(2OO6)O1-001005复合板材传热动态特性研究王增刚(河北科技大学机械电子工程学院,河北石家庄 050054)摘要:针对传热过程实施实时有效的在线控制,需要了解复合板材传热的动态特性的特点,采用传递函数的方法对复合板材传热过程的动态特性进行了研究,得到了复合板材传热的传递函数,通过对简化的一阶,二阶和三阶近似传递函数解析解的计算机模拟仿真,对其精度进行了
2、比较,结果袁明采用二阶近似的传递函数可以很好地代表传热的动态过程,同时证明了其传热的不对称性,这一特性应在系统仿真和控制中予以考虑.关键词:复合板材;热传导;传递函数;数学模型中圈分类号:0173 文献标识码:AInvestigationondynamiccharacteristicofheatconductofcomplexboardsWANGZeng gang(CollegeofMechanicalandElectronicEngineering,HebdUniversityofScienceandTechnology,ShiiiazhugHebei050054,Ehim)Abstract
3、:InordertOcontrolheatconductofcomplexboardsonline,intimeandefficiently,itisnecessarytOunderstanditsdyrmmicalcharacteristic.HerearesearchaboutdynamiccharacteristicofcomplexboardsiscarriedOUtbymeansoftransferfunc-tion.Bysimplifyingthetransferfunction,first.secondandthirdorderapproximatemathmodelsareob
4、tained.Theaccuracyofdifferentordermathmodelsarecomparedbycomputersimulating.Thesimulationresultsshowthatsecondordermodelcanrepresentsthedynamicprocesssatisfactorily.Meantimetheasymmetryofheatconductisproved.Thispropertyshouldbetakenintoconsiderationinsimulationandcotrolofsystems.Keywords:complexboar
5、dheatconducttransferfunction;mathematicalmodel工业中广泛使用着复合板材,例如:为防腐而使用的不锈钢和碳钢的复合钢板 ,或是在碳钢板上涂上一层防锈涂层,或为隔热而在钢板上使用保温层等等都是复合板材.为了对传热过程实施实时有效的在线控制,开发高效的传热设备,而对钢板和流体滞流层构成的复合层传热过程的研究等,都需要知道复合板材传热的动态特性.关于动态传热过程的研究方法,目前主要用传递函数法和状态空间法.文献1用传递函数法给出了单层壁和多层壁传热的数学模型.文献2给出了传热的状态空间法数学模型,并使用该模型对传热过程进行控制.用这些方法得到的结果是超越方程
6、或无穷级数的形式.笔者采用传递函数的方法对 2 层复合板材传热过程的动态特性进行了研究,并将得到的传递函数简化为近似的一阶,二阶和三阶系统,通过对系统解析解的计算机动态仿真,对其精度进行了比较,结果表明近似的二阶系统模型可以很好地代表传热的动态特性.1 数学模型的建立在建立复合板材的传热数学模型之前,作如下假设;1)平面复合板材的面积无限大,钢材两侧的温度均收稿日期?2005?0117I 修回日期 20050606I 责任编辑 ;张军作者简介壬增剐(1948-),男,河北深州人,教授,硕士.主要从事机电一体化方面的研究.第 l 期王增刚复合板材传热动态特性研究匀一致 i2)复合板材的接触面处处
7、紧密,不同材料的结合面上无热阻 ;3)材料的各种性质,如密度,比热容,导热系数等均匀一致,因而同一层面上的温度相同;4)复合板材每层的厚度均匀,而且厚度较薄;5)材料中无热源或热汇,即传输过程中热量无增加或损失.在这些假设下,复合板材的传热可看作是一维传热.它类似于外表面绝热的 2 根相连的杆的传热情况.适用一维的热传导傅里叶微分方程 Dd.u(x,“一1du(x,t),1,如一出一式中:=/cP 为导温系数 ;,c 和 P 分别是材料的导热率 ,比热容和密度.初值条件是u(x,O)一 0.(2)对式(1)进行拉氏变换得到一一1s(z,s):0,dZ.式中 u(x,s)表示对 u(x,) 的拉
8、式变换.此方程的通解是u(x,s)-Ae+Be 一,(3)(4)式中:A,B 与无关(可以是 5 的函数),q/s.设复合板材 2 层的厚度分别是 z 和 h,下面研究每层中的温度分布.1.1 求解厚度为 l 的一层中温度的变化假设该层一侧温度固定为,另一端不是绝热,这一层的边界条件为(O,)=o,(5)L 一砉如 Il 一“一其中:v(1,)是热流密度 ,是待定函数 ,与 2 层材料的物性相关;是该层材料的导热率.对边界条件作拉氏变换得到f(O,s)一 ,(7)L(式中:(O,s) 和(z,s)是(O, )和 v(1,)的拉氏变换;L 为拉式变换算子.由式(4)和式(7)得到A+Bf=:.(
9、9)注意到 LI:)一 I.,由式(4)和式 (8)得到Aqeql-Bqfe 一一 1-(Z,s),(1O)式中 q=:,蜘对应这一层材料的导温系数.解式(9) 和式(1o)得到Af 一 (+_Uoqle-)/2qfcosh(qfz),B=(le 一(z,s)l2qfcosh(qfz),Atf将 A 和 B 的表达式代入式(4),并利用双曲函数的定义式,得到f(z,s)=(z,)sinh(qfz)+警 qfc0sh(q(1-x)J/qcosh(qfz),(11)将 x-=l 代入式(11),得到复合板材 2 层接触面上温度变化的拉氏变换表达式(,s)一 (,s)sinh(qf1)+Uo/qlc
10、osh(qfz).(12)1.2 求解厚度为 h 的一层中温度的变化在这一层中,热传导傅里叶微分方程(1)的通解是(,s)一 Ae+Beg一,(13)式中:rEz,f+;q=.由于在 2 层结合面上的温度“(,)相同,结合面两侧的热流密度相同,都是v(1,),假设另一端绝热 ,l2 河北科技大学因而得到边界条件:dxL,=,If|=L.,.dx_o0lz:z+注意到 LduL,将边界条件作拉氏变换,得到一Il=o.dxl+f(14)(15)(16)(17)由式(13)一式 (15)可得Aq-Bq:(z,),Aqe,/A Bqe 一-0,进而求得A=一(z,s)e 一/E2qsinh(qh),B
11、:一 I-(z,s)eqh/Ezqsinh(qh).将 A 和 B 代入式(13),并利用双曲函数的定义式得到_(一 s,将Z 和 Xlq-h 代入上式得到该层两侧温度变化的拉氏变换表达式Uh(f一(f,s),(19)(1q-h,s)一一 I-(1,s)qhsinh(qhh)hqh151IIEqhn.(2o)1.3 复合板材的传递函数因为复合板材 2 层接触面上的温度相等,因此式(12)和式(19)表达的是同一点温度的拉式变换,应该有_2(z,s);=_(z,s),所以得到(f,inh(q,1)q-?qUIEqfc.sh(qt1)3 一 s),(21)由式(2O)得到 (Z,s)一一(Z+|l
12、l,s)qsinh(q|l1),代入式(21)得到Uh(z+|ll,s)c.sh(q1)c.sh(qhh)1-Ahqhsinh()sinh(q,h)3 一了 no.因为输入端的输入 U(o,)=.是常数,它的拉氏变换是 u(o,s)/s,输出端温度的拉氏变换是(Z+h,s),所以传锑函数G(s)=“(Z+h,s)lUo(O,s)cosh(q1)cosh(qh)+()(q/q)sinh(q1)sinh(qh).应该狺出的是,虽然推导甲做 J 一些假设,但由于传递幽效是糸玩本身崮有的性庾 ,得到的传递函数小失一般性因为 q 一,一 Icp,所以 q,磬一.令瓮,则传递函数变为G(s)1 而,(22
13、)将式(22)的分母展开成泰勒级数,得到 5 的多项式.G,(23)式.(去)+(h2z(老)+(去);一(寿)+(h)j;.6 一(去)+(去)第 1 期王增刚复合板材传热动态特性研究 13函数,();:;系数表达式的前几项可以用 sinh(x)eosh(z)的级数展开式直接验证.详细证明见文献 E4.在式(23)的分母中分别取 2 项和 3 项可以得到近似的一阶和二阶系统的传递函数,可以推出对应阶跃输入的时域输出分别是Y1():1 一 e-1/a1,(24)弛 0)=HHL-(25)其中 5.和 Sz 是二阶传递函数特征多项式的根.对应三阶近似的解析解较复杂.2 公式的应用以钢一铜复合板材
14、和钢一聚四氟乙烯复合板材传热为例,比较不同阶次数学模型的差别以及其适用范围.它们代表了导热率相差悬殊的 2 类复合板材.钢,铜和聚四氟乙烯材料的特性参数与导温系数=x/cp 见表 1.表 1 材料物性Tab.1Physicalpropertiesofmaterials首先比较二阶和三阶数学模型的精度.以钢一铜复合板材为例,取板厚为l=h=O.005m,铜板在恒高温侧,钢板在绝热侧.将表 I 中钢和铜的物性参数代入系统的传递函数式(23)中,G(s)一分别取特征多项式的前 3 项和前 4 项,得到近似的二阶和三阶系统.求解三阶系统的解析解比较繁琐.在MATLAB 软件平台上模拟钢一铜复合板材的传
15、热 ,它们对应阶跃输入的时域响应见图 1.可以看出,这 2 种情况的时间响应曲线的差别极小.将 2 条曲线重叠在一起,可以证明这一点.因此,取二阶模型精度足够了.丑I越赠逞丑I越赠t/stls(a)二阶模型的阶跃响应(b)三阶模型的阶跃响应图 l 钢一铜复舍板材的二阶和三阶数学模型的比较Fig.1Comparisonofsecondandthirdordermodelsofsteel-coppercomplexplate复合板材传热的一阶和二阶近似的阶跃输入响应的解析解如下,对钢一铜复合板材,当钢在恒高温侧时,将上表中钢和铜物性参数值代人式(23),求出特征根后,代人式(24)和式(25)得到
16、阶跃输入的时域响应Y1(t):ler/?.帅,Y2(t);1+o.1682e 一.?“一 1.1682e_.“.同样当钢一铜复合板材的恒高温侧是铜时,可得阶跃输入的时域响应是Y1()=1 一 e 一/l-0 蚰,Y2()一 1+0.6370e 一 1.6370e 一,.当钢一 PTFE 复合板材的恒高温侧是钢时,阶跃输入的时域响应是Y1():le 一?,河北科技大学 2006 年Y2()一 l+0.3972e?一 1.3972e_.?.当钢一 PTFE 复合板材的恒高温侧是 PTFE 时,阶跃输入的时域响应是1()=1 一 e 一.?.,Y2();1+0.366Oe 一.?.一 1.366Oe
17、 一.?.在图 2(a)中,曲线 1 是钢_PTFE 复合板材热从钢向 PTFE 传热时的一阶近似解,曲线 2 是其二阶近似解.图 2(b)是曲线 1 和曲线 2 的局部放大图.从图中可看到,在开始阶段,2 种模型有高达 15sV2_t=的误差.述丑l瘸t/s(8)一阶近似解曲线述丑求1赠t/s(b)二阶近似解曲线图 2 钢-PTFE 复舍板材的一阶和二阶数学模型比较Fig.2ComparisonoffirstandsecondordermodelsofsteelPTFEcomplexplate图 3 比较了相同的复合板传热方向不同时传热的差别.图 3(a)中曲线 1 表示钢一PTFE 复合板
18、材的钢在恒高温侧.曲线 2 表示 PTFE 在恒高温侧;图 3(b)中曲线 3 表示钢一铜复合板材的钢在恒高温侧,曲线 4表示铜在恒高温侧.显然,二者有很大的区别,说明传热的不对称性,即热流从导线较好的材料向导热不好的材料流动时的动态响应较快.这一特性在系统仿真和控制中,对升温和降温过程应考虑采用不同的数学模型.述丑彘虹赠t/s(a)钢?PrFE 复合板材丑I赠t/s(b)钢铜复台板材图 3 传热方向不同时的响应曲线Fig.3Timeresponsecurveswhendirectionofheatconductisdifferent3 结论1)复合板材的数学模型采用近似的一阶或二阶系统即可,
19、不必采用更高阶数学模型.2)如果只研究传热达到的稳定状态的时间等问题,采用一阶近似即可.3)将该数学模型用于实时在线控制,或用于传热效率的研究时,应该采用二阶近似的系统模型,一阶近似的数学模型在初始阶段误差较大.4)传热的不对称性.在系统仿真和控制中,对升温和降温过程应考虑采用不同的数学模型.在选用复合板材时,也应该考虑传热的方向.参考文献:1陈芝久,朗雄才 ,丁国良.制冷系统热动力学M.第 2 版.北京:机械工业出版社,1998.148181.2王骥程,祝和云 .化工过程控制工程M.北京化学工业出版社,1991.260274.33 郭敦仁 .数学物理方法M.北京:人民教育出版社,1965.366370.
