1、江西省部分重点高中2022-2023学年高三上学期12月质量检测理科数学考生注意：1本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。2答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。3考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。4本试卷主要命题范围：集合与常用逻辑用语、函数、导数、三角函数、解三角形、平面向量、复数、数列、不等式、立体几何。一、选择题：本题共12小题，每小
2、题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知全集，集合，则（ ）A B C D2已知复数z满足，则在复平面上所对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A B C D4对于实数a，b，c，给出下列命题：若，则，； 若，则；若，则； 若，则其中正确命题的个数是（ ）A1 B2 C3 D45设，若“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围为（ ）A B C D6牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：，其中t为时间（单位：min），为环境温度，为物体初始温度，为冷却后温度假设在室内温度为的情况下
3、，一杯饮料由降低到需要，则此饮料从降低到需要（ ）A B C D7将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则函数的最大值为（ ）A B C1 D8如图，在等腰梯形中，若E，F分别是边BC，AB上的点，且，则（ ）A B C D59如图，在正四棱锥中，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，动点P在线段MN上运动时，下列四个结论：；平面SBD；平面SAC，其中恒成立的为（ ）A B C D10已知是等比数列，为其前n项和，给出以下命题：是等比数列；是等比数列；，是等比数列；是等比数列，若，则其中正确命题的个数为（ ）A5 B4 C3 D211设实数，若对任意的，不等式恒成立，则m的最大值
4、是（ ）A B C D12如图，在长方体中，点M是棱AD的中点，点N在棱上，且满足，P是侧面四边形内一动点（含边界），若平面，则线段长度的取值范围是（ ）A B C D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13若x，y满足约束条件，且目标函数可以在点处取到最大值，则k的取值范围是_14已知，则_15在四棱锥中，平面，二面角的大小为若四面体的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_16斐波那契数列，又称黄金数列，指的是1，1，2，3，5，8，13，21，34，在现代物理、准晶体结构等领域都有直接应用对斐波那契数列，其递推公式为：，已知为斐波那契数列的前n项和，若，则_（结果用p表示）
5、三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（本小题满分10分）在中a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且BC边上的中线长为，（1）求角A的大小；（2）求的面积18（本小题满分12分）如图，在正方体中，点O是底面ABCD的中心，E是线段上的一点（1）若E为的中点，求直线与平面所成角的正弦值；（2）是否存在点E使得平面平面？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由19（本小题满分12分）2022年某开发区一家汽车生产企业计划引进一批新能源汽车制造设备，通过市场分析，全年需投入固定成本3000万元，生产x（百辆），需另投入成本万元，且由市场调研知，每辆车售价6万元，且全年内
6、生产的车辆当年能全部销售完（1）求出2022年的利润（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式；（利润销售额成本）（2）2022年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润20（本小题满分12分）如图，在三棱柱中，四边形是矩形，平面平面（1）证明：；（2）若，求二面角的余弦值21（本小题满分12分）已知数列的前n项和为，（1）求数列的通项公式；（2）在数列中，其前n项和为，证明：22（本小题满分12分）已知函数（1）若在上恒成立，求实数a的最大值；（2）若，求证：高三理科数学参考答案、提示及评分细则1C 2D 3B 4B 5C 6B 7A 8C 9A 10D 1lD 12A 13 14
7、15 16 17解：（1）由正弦定理得，所以 1分因为，所以，即，即，整理得 3分因为，所以，所以，即，所以 4分因为，所以，即 5分（2）设BC的中点为D，根据向量的平行四边形法则可知， 6分所以，即， 7分因为，所以，解得或（舍去） 8分所以 10分18解：不妨设正方体的棱长为2，以DA，DC，分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则， 1分（1）因为点E是的中点，所以点E的坐标为所以，设是平面CDE的法向量，则即取，则，所以平面的一个法向量为 3分所以 5分所以直线与平面所成角的正弦值为 6分（2）假设存在点E使得平面平面，设显然，设是平面的法向量，则，即取，则，所以平面的一个
8、法向量为 7分因为，所以点E的坐标为 8分所以， 9分设是平面CDE的法向量，则即取，则，所以平面CDE的一个法向量为 10分因为平面平面，所以，即，解得 11分所以的值为2故存在点E，使得平面平面，且此时 12分19解：（1）当时，； 3分当时， 5分（2）当时，当时，； 8分当时，当且仅当，即时， 10分当，即2022年生产100百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为5800万元 12分20（1）证明：在三棱柱中， 1分又，AB，平面，平面 2分设与相交于点E，与相交于点F，连接EF，四边形与均是平行四边形，平面，是平面与平面所成其中一个二面角的平面角 4分又平面平面， 5分四边形是菱形
9、，从而 6分（2）解：由（1）及题设可知四边形是菱形， 7分以E为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 9分设平面的法向量，即令，可得 10分又由（1）可知平面，可取平面的法向量为， 11分由图可知二面角的平面角为锐角，所以它的余弦值为12分21（1）解：当时，两式相减得， 2分整理得，即，又， 4分则，当时，所以 5分证明，则 8分 9分又，所以数列单调递增，当时，最小值为，又因为， 11分所以 12分22（1）解：当时，因为当时，显然成立，故此时实数a的最大值是0； 1分当时，在上恒成立，即在上恒成立， 2分令，则，当时，令，解得，令，解得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以； 4分当时，综上，函数的最大值为 5分所以，又，解得 6分综上所述，实数a的最大值是 7分（2）证明：若，要证，即证 8分令当时，显然有， 9分令，则在上恒成立，所以在上单调递增，所以； 10分当时，显然有， 11分令，则，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以所以，所以，即所以当时， 12分
