1、- 1 -概率章节测试题一、选择题1已知非空集合 A、B 满足 AB，给出以下四个命题：若任取 xA，则 xB 是必然事件 若 xA，则 xB 是不可能事件若任取 xB，则 xA 是随机事件 若 x B，则 x A 是必然事件其中正确的个数是( )A、1 B、2 C、3 D、42一射手对同一目标独立地射击四次，已知至少命中一次的概率为 801，则此射手每次射击命中的概率为（ ）A. B. C. D. 13 23 14 253设 是离散型随机变量， 32)(1xp， 3)(2xp，且 21x，现已知：4E， 9D，则 21的值为（ ）(A) 35 (B) 37 (C) (D) 4福娃是北京 20
2、08 年第 29 届奥运会吉祥物，每组福娃都由“贝贝”、“晶晶”、“欢欢”、“迎迎”和“妮妮”这五个福娃组成甲、乙两位好友分别从同一组福娃中各随机选择一个福娃留作纪念，按先甲选再乙选的顺序不放回地选择，则在这两位好友所选择的福娃中，“贝贝”和“晶晶”恰好只有一个被选中的概率为（ ）A 10 B 15 C 35 D 45 5（汉沽一中 20082009 届月考文 9）.面积为 S 的ABC，D 是 BC 的中点，向ABC 内部投一点，那么点落在ABD 内的概率为 ( )A. 3 B. 2 C. 4 D. 6 6（汉沽一中 20082009 届月考文 9）.面积为 S 的ABC，D 是 BC 的中
3、点，向ABC 内部投一点，那么点落在ABD 内的概率为 ( )A. 1 B. 1 C. 1 D. 7在圆周上有 10 个等分，以这些点为顶点，每 3 个点可以构成一个三角形，如果随机选择了 3 个点，刚好构成直角三角形的概率是（ ）A. 5 B. 4 C. D. 218已知某人每天早晨乘坐的某一班次公共汽车的准时到站率为 60%，则他在 3 天乘车中，此班次公共汽车至少有 2 天准时到站的概率为 （ ）A 1236B 15C 158D 1579甲、乙、丙三位同学上课后独立完成 5 道自我检测题，甲及格概率为 4，乙及格概率为- 2 -52，丙及格概率为 32，则三人中至少有一人及格的概率为（
4、）A 1 B 54 C 7516 D 75910从集合 , 2,10 中随机取出 6 个不同的数，在这些选法中，第二小的数为 3的概率是A. 1 B. 3 C. 1 D. 160二、填空题11已知离散型随机变量 X的分布列如右表若 0EX， D，则 a ，b12点 A 为周长等于 3 的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点 B，则劣弧 AB 的长度小于 1 的概率为 。136 位身高不同的同学拍照，要求分成两排，每排 3 人，则后排每人均比其前排的同学身材要高的概率是_.14从分别写有 0,1234的五张卡片中第一次取出一张卡片，记下数字后放回，再从中取出一张卡片.两次取出的卡片上的数字和
5、恰好等于 4 的概率是 .三、解答题15将 A、 B两枚骰子各抛掷一次，观察向上的点数，问：（1）共有多少种不同的结果？（2）两数之和是 3 的倍数的结果有多少种？（3）两数之和是 3 的倍数的概率是多少？16甲、乙两人进行摸球游戏，一袋中装有 2 个黑球和 1 个红球。规则如下：若一方摸中红球，将此球放入袋中，此人继续摸球；若一方没有摸到红球，将摸到的球放入袋中，则由对方摸彩球。现甲进行第一次摸球。(1)在前三次摸球中，甲恰好摸中一次红球的所有情况；（2）在前四次摸球中，甲恰好摸中两次红球的概率；（3）设 是前三次摸球中，甲摸到的红球的次数，求随机变量 的概率分布与期望.- 3 -17某商场
6、举行抽奖活动，从装有编号 0，1，2，3 四个小球的抽奖箱中，每次取出后放回，连续取两次，取出的两个小球号码相加之和等于 5 中一等奖，等于 4 中二等奖，等于 3 中三等奖（1）求中三等奖的概率；（2）求中奖的概率18将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处,小球将自由下落.小球在下落过程中,将 3 次遇到黑色障碍物,最后落入 A袋或 B袋中.已知小球每次遇到黑色障碍物时向左、右两边下落的概率都是 21.（1）求小球落入 A袋中的概率 ()P;（2）在容器入口处依次放入 4 个小球,记 为落入 A袋中小球的个数,试求 3的概率和 的数学期望 E.19某射手在一次射击中命中 9 环
7、的概率是 0.28，命中 8 环的概率是 0.19，不够 8 环的概率是 0.29，计算这个射手在一次射击中命中 9 环或 10 环(最高环数)的概率.20学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有 2 人，会跳舞的有 5 人，现从中选 2 人设 为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且 107)(P(1) 求文娱队的人数；(2) 写出 的概率分布列并计算 E- 4 -21有甲、乙、丙三种产品，每种产品的测试合格率分别为 0.8，0.8 和 0.6，从三种产品中各抽取一件进行检验。（1）求恰有两件合格的概率；（2）求至少有两件不合格的概率。22有一批数量很大的产品，其次品率是 10
8、%。（1）连续抽取两件产品，求两件产品均为正品的概率；（2）对这批产品进行抽查，每次抽出一件，如果抽出次品，则抽查终止，否则继续抽查，直到抽出次品，但抽查次数最多不超过 4 次，求抽查次数 的分布列及期望。- 5 -概率章节测试题答案一、选择题1解析：正确，错误.答案：C2答案：B3答案：C4答案：C 12354.选 C5B6B7答案：C8答案：C9答案：B10答案：B二、填空题11【解析】由题知 12cba， 061ca， 12122ca，解得125a， 4b.12解析：如图可设 AB,则 ,根据几何概率可知其整体事件是其周长 3，则其概率是 3 14答案：1515解：（1）共有 36种结果
9、； （2）共有 12 种结果； （3） 6P 16解: (1) 甲红甲黑乙红黑均可；甲黑乙黑甲红。（2） 148p。(3) 设 的分布是 0 1 2 3P 42771E= 172 。17解: 设“中三等奖”的事件为 A，“中奖”的事件为 B，从四个小球中有放回的取两个共有（0，0），（0，1），（0，2），（0，3），（1，0），（1，1），（1，2），（1，3），（2，0），- 6 -（2，1），（2，2），（2，3），（3，0），（3，1），（3，2），（3，3）16 种不同的方法。（1）两个小球号码相加之和等于 3 的取法有 4 种：（0，3）、（1，2）、（2，1）、（3，0）故 4(
10、)6PA（2）两个小球号码相加之和等于 3 的取法有 4 种。两个小球相加之和等于 4 的取法有 3 种：（1，3），（2，2），（3，1）两个小球号码相加之和等于 5 的取法有 2 种：（2，3），（3，2）, 由互斥事件的加法公式得 6912364)(BP18解: （1）解法一：记小球落入 B袋中的概率 ()P，则 ()1APB，由于小球每次遇到黑色障碍物时一直向左或者一直向右下落，小球将落入 袋，所以4)2()(31AP. 解法二：由于小球每次遇到黑色障碍物时，有一次向左和两次向右或两次向左和一次向右下落时小球将落入 袋.1323()()4C， （2）由题意， ,B所以有 67)(4)3
11、(13P， E. 19 【解析】记这个射手在一次射击中“命中 10 环或 9 环”为事件 A， “命中 10 环、9 环、8环、不够 8 环”分别记为 B、C、D、E. 则 ()0.2PC， ()0.19， ()0.2PE C、D、E 彼此互斥， P（CDE）=P（C）+P（D）+P（E）=0.28+0.19+0.29=0.76. 又B 与 CDE 为对立事件， P（B）=1P（CDE）=10.76=0.24. B 与 C 互斥，且 A=BC， P（A）=P（B+C）=P（B）+P（C） =0.24+0.28=0.52. 答：某射手在一次射击中命中 9 环或 10 环(最高环数)的概率为 0.
12、52. 20解：设既会唱歌又会跳舞的有 x 人，则文娱队中共有（7-x）人，那么只会一项的人数是（7-2 x）人(I) 107)(P1)()0P，- 7 - 103)(P即 C2x7 103)6(x=2 故文娱队共有 5 人(II) 的概率分布列为0 1 2P 35410C)1(2514，0)(P25， 1413E =1 21解：（1）设从甲、乙、丙三种产品中各抽出一件测试为事件 A，B，C，由已知 P（A）=0.8，P（B）=0.8，P（C）=0.6则恰有两件产品合格的概率为 )()()()( PCBAA48.096.0.256.（2）三件产品均测试合格的概率为 38)(BCP由（1）知，恰
13、有一件测试不合格的概率为 48.0)(A所以至少有两件不合格的概率为 16.)(1BCP22解：（1）两件产品均为正品的概率为 089（2） 可能取值为 1，2，3，4- 8 -10)(P； 109)2(P； 108910)3(P794所以次数 的分布列如下 439.1072831092E- 1 -概率（一）事件与概率1了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别。2了解互斥事件、对立事件的意义及其运算公式.（二）古典概型1.理解古典概型及其概率计算公式.2.会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。（三）随机数与几何概型1.了解随机数的意义，能运用
14、模拟方法估计概率.2.了解几何概型的意义.概率则是概率论入门，目前的概率知识只是为进一步学习概率和统计打好基础，做好铺垫学习中要注意基本概念的理解，要注意与其他数学知识的联系，要通过一些典型问题的分析，总结运用知识解决问题的思维规律纵观近几年高考，概率的内容在选择、填空解答题中都很有可能出现。第 1课时 随机事件的概率1随机事件及其概率(1) 必然事件：在一定的条件下必然发生的事件叫做必然事件(2) 不可能事件：在一定的条件下不可能发生的事件叫做不可能事件(3) 随机事件：在一定的条件下，也可能发生也可能不发生的事件叫做随机事件(4) 随机事件的概率：一般地，在大量重复进行同一试验时，事件 A
15、发生的频率 nm总是接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件，这时就把这个常数叫做事件 A的概率，记作 ()PA(5) 概率从数量上反映了一个事件发生的可能性的大小，它的取值范围是 0()1P，必然事件的概率是 1，不可能事件的概率是 02等可能性事件的概率(1) 基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件(2) 等可能性事件的概率：如果一次试验由 n个基本事件组成，而且所有结果出现的可能性基础过关知识网络考纲导读高考导航概率随机事件的概率等可能事件的概率互斥事件的概率相互独立事件的概率应用- 2 -都相等，那么每一个基本事件的概率是 1n如果某个事件 A包含
16、的结果有 m个，那么事件 A的概率： PAmn例 11) 一个盒子装有 5个白球 3个黑球，这些球除颜色外，完全相同，从中任意取出两个球，求取出的两个球都是白球的概率；(2) 箱中有某种产品 a个正品，b 个次品，现有放回地从箱中随机地连续抽取 3次，每次 1次，求取出的全是正品的概率是（ ）A 3baC B 3baA C 3)(ba D 3baAC(3) 某班有 50名学生，其中 15人选修 A课程，另外 35人选修 B课程，从班级中任选两名学生，他们是选修不同课程的学生的概率是多少？解：（1）从袋内 8个球中任取两个球共有 28C种不同结果，从 5个白球中取出 2个白球有 025C种不同结
17、果，则取出的两球都是白球的概率为 14280)(AP（2） 3)(ba （3） 732501CP变式训练 1. 盒中有 1个黑球 9个白球，它们除颜色不同外，其它没什么差别，现由 10人依次摸出 1个球，高第 1人摸出的是黑球的概率为 P1，第 10人摸出是黑球的概率为 P10，则（ ）A 10PB 109PCP 100 DP 10P 1解：D例 2. 甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有 2个红球，2 个白球；乙袋装有 2个红球，n 个白球，两甲、乙两袋中各任取 2个球.(1) 若 n3，求取到的 4个球全是红球的概率；(2) 若取到 4个球中至少有 2个红球的概率为 43，求 n.
18、解：（1）记“取到的 4个球全是红球”为事件 601)(.254CAP.（2）记“取到的 4个球至多有 1个红球”为事件 B，“取到的 4个球只有 1个红球”为事件B1，“取到的 4个球全是白球”为事件 B2，由题意，得)(.13)(BPP 142412nnCC)1(23n)1(6242nC所以 23)(21nBP4)(26n，化简，得 7n211n60，解得 n2，或 73（舍去），故 n2.典型例题- 3 -变式训练 2：在一个口袋中装有 5个白球和 3个黑球，这些球除颜色外完全相同从中摸出3个球，至少摸到 2个黑球的概率等于 （ ）A 7B 83C D 29解：A例 3. 袋中装着标有数
19、字 1,2,3,4,5的小球各 2个，从袋中任取 3个小球，按 3个小球上最大数字的 9倍计分，每个小球取出的可能性都相等，用 表示取出的 3个小球上的最大数字，求：(1) 取出 3个小球上的数字互不相同的概率；(2) 计分介于 20分到 40分之间的概率.解：（1）“一次取出的 3个小球上的数字互不相同”的事件记为 A，则 2)(31025CAP（2）“一次取球所得计分介于 20分到 40分之间”的事件记为 C，则 P(C)P(“ 3”或“4”)P(“ 3”)P(“ 4”) 30152变式训练 3：从数字 1，2，3，4，5 中任取 3个，组成没有重复数字的三位数，计算： 这个三位数字是 5
20、的倍数的概率；这个三位数是奇数的概率；这个三位数大于 400的概率.解： 15 3 25例 4. 在一次口试中，要从 20道题中随机抽出 6道题进行回答，答对了其中的 5道就获得优秀，答对其中的 4道就可获得及格某考生会回答 20道题中的 8道题，试求：（1）他获得优秀的概率是多少？ （2）他获得及格与及格以上的概率有多大？解：从 20道题中随机抽出 6道题的结果数，即是从 20个元素中任取 6个元素的组合数 620C由于是随机抽取，故这些结果出现的可能性都相等(1)记“他答对 5道题”为事件 1A，由分析过程已知在这 620C种结果中，他答对 5题的结果有6518270种，故事件 的概率为
21、1620735.98P(2)记“他至少答对 4道题”为事件 2A，由分析知他答对 4道题的可能结果为6514288530C种，故事件 的概率为： 2605371PAC答：他获得优秀的概率为 198，获得及格以上的概率为 .变式训练 4：有 5个指定的席位，坐在这 5个席位上的人都不知道指定的号码，当这 5个人随机地在这 5个席位上就坐时.(1) 求 5个人中恰有 3人坐在指定的席位上的概率；- 4 -(2) 若在这 5个人侍在指定位置上的概率不小于 61，则至多有几个人坐在自己指定的席位上？解：（1） 12)(53ACP（2）由于 3人坐在指定位置的概率 12 6，故可考虑 2人坐在指定位置上
22、的概率，设 5人中有 2人坐在指定位置上为事件 B，则 1)(52ACP，又由于坐在指定位置上的人越多其概率越少，而要求概率不小于 61，则要求坐在指定位置上的人越少越好，故符合题中条件时，至多 2人坐在指定席位上 1实际生活中所遇到的事件包括必然事件、不可能事件及随机事件随机事件在现实世界中是广泛存在的在一次试验中，事件是否发生虽然带有偶然性，当在大量重复试验下，它的发生呈现出一定的规律性，即事件发生的频率总是接近于某个常数，这个常数就叫做这个事件的概率2如果一次试验中共有 n种等可能出现的结果，其中事件 A包含的结果有 m种，那么事件 A的概率 .mPAn从集合的角度看，一次试验中等可能出
23、现的所有结果组成一个集合 I，其中事件 A包含的结果组成 I的一个子集 A，因此 .CardPIn从排列、组合的角度看，m、n 实际上是某些事件的排列数或组合数因此这种“古典概率”的问题，几乎使有关排列组合的计算与概率的计算成为一回事3利用等可能性的概率公式，关键在于寻找基本事件数和有利事件数小结归纳- 1 -第 2 课时 互斥事件有一个发生的概率1 的两个事件叫做互斥事件2 的互斥事件叫做对立事件3从集合的角度看，几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此 事件 A 的对立事件 A所含的结果组成的集合，是全集中由事件 A 所含的结果组成的集合的补集4由于集合是可以进行运算的，故
24、可用集合表示的事件也能进行某些运算设 A、B 是两个事件，那么 A+B 表示这样一个事件：在同一试验中，A 或 B 中 就表示 A+B 发生我们称事件 A+B 为事件 A、B 的和它可以推广如下：“ 12An ”表示这样一个事件，在同一试验中， ,12n 中 即表示 12An 发生，事实上，也只有其中的某一个会发生5如果事件 A、B 互斥，那么事件 A+B 发生的概率，等于 即 P(A+B) 6.由于 是一个必然事件，再加上 P(A+B)=(P)，故 1(A)P(A)，于是P( A)=，这个公式很有用，常可使概率的计算得到简化当直接求某一事件的概率较为复杂时，可转化去求其对立事件的概率例 1.
25、 某射手在一次射击训练中，射中 10 环，9 环，8 环，7 环的概率分别为 0.21, 0.23, 0. 25, 0.28，计算这个射手在一次射击中：射中 10 环或 7 环的概率；不够 7 环的概率.解： 0. 49； 0.03变式训练 1. 一个口袋内有 9 张大小相同的票，其号数分别是 1，2，3， ，9，从中任取 2张，其号数至少有 1 个为偶数的概率等于 （ ）A 59B 4 C 18 D 318解：D例 2. 袋中有红、黄、白 3 种颜色的球各 1 只，从中每次任取 1 只，有放回地抽取 3 次，求：（1）3 只全是红球的概率（2）3 只颜色全相同的概率（3）3 只颜色不全相同的
26、概率（4）3 只颜色全不相同的概率解：(1)记“3 只全是红球”为事件 A从袋中有放回地抽取 3 次，每次取 1 只，共会出现27种等可能的结果，其中 3 只全是红球的结果只有一种，故事件 A 的概率为1P(A)(2) “3 只颜色全相同”只可能是这样三种情况：“3 只全是红球”(事件 A)；“3 只全是黄典型例题- 2 -球”(设为事件 B)；“3 只全是白球”(设为事件 C)故“3 只颜色全相同”这个事件为A+B+C，由于事件 A、B、C 不可能同时发生，因此它们是互斥事件再由于红、黄、白球个数一样，故不难得 127P()P(A)，故 9P()(3) 3 只颜色不全相同的情况较多，如是两只
27、球同色而另一只球不同色，可以两只同红色或同黄色或同白色等等；或三只球颜色全不相同等考虑起来比较麻烦，现在记“3 只颜色不全相同”为事件 D，则事件 为“3 只颜色全相同”，显然事件 D 与 是对立事件1819P()().(4) 要使 3 只颜色全不相同，只可能是红、黄、白各一只，要分三次抽取，故 3 次抽到红、黄、白各一只的可能结果有 1326C种，故 3 只颜色全不相同的概率为6279变式训练 2. 从装有个红球和个黑球的口袋内任取个球，那么互斥而不对立的两个事件是 （ ）A至少有 1 个黑球与都是黑球B至少有 1 个黑球与至少有 1 个红球C恰有 1 个黑球与恰有 2 个黑球D至少有 1
28、个黑球与都是红球解：C例 3. 设人的某一特征（如眼睛大小）是由他的一对基因所决定的，以 d 表示显性基因，r表示隐性基因，则具有 dd 基因的人为纯显性，具有 rr 基因的人是纯隐性，具有 rd 基因的人为混合性，纯显性与混合性的人都显露显性基因决定的一某一特征，孩子从父母身上各得到一个基因，假定父母都是混合性，问：1 个孩子有显性决定特征的概率是多少？2 个孩子至少有一个显性决定特征的概率是多少？解： 43； 165变式训练 3. 盒中有 6 只灯泡，其中 2 只是次品，4 只是正品，从其中任取两只，试求下列事件的概率： 取到两只都是次品； 取到两只中正品、次品各 1 只； 取到两只中至少
29、有 1 只正品解： 15 8 45例 4. 从男女学生共 36 名的班级中，任意选出 2 名委员，任何人都有同样的当选机会，如果选得同性委员的概率等于 12，求男女相差几名？解: 设男生有 x名，则女生有 36- x名，选得 2 名委员都是男生的概率为： 23615xC()选得 2 名委员都是女生的概率为 2365C()x- 3 -以上两种选法是互斥的，又选得同性委员的概率是 12得： 1365152x()(x)解得： 或 2即：男生有 15 名，女生有 21 名；或男生有 21 名，女生有 15 名总之，男、女生相差 6名变式训练 4. 学校某班学习小组共 10 小，有男生若干人，女生若干人
30、，现要选出 3 人去参加某项调查活动，已知至少有一名女生去的概率为 65，求该小组男生的人数？解：6 人1互斥事件概率的加法公式、对立事件概率的加法公式，都必须在各个事件彼此互斥的前提下使用2要搞清两个重要公式： 1P(AB)(P),(A)的运用前提3在求某些稍复杂的事件的概率时，通常有两种方法：一是将所求事件的概率化成一些彼此互斥事件的概率的和；二是先去求此事件的对立事件的概率小结归纳- 1 -第 3 课时 相互独立事件同时发生的概率1事件 A（或 B）是否发生对事件 B（或 A）发生的概率 ，这样的两个事件叫独立事件2设 A，B 是两个事件，则 AB 表示这样一个事件：它的发生，表示事件
31、A，B ，类似地可以定义事件 A1A2An.3两个相互独立事件 A，B 同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即 P(AB) 一般地，如果事件 12nA, 相互独立，那么：P(A 1A2An) .4n 次独立重复试验中恰好发生 k次的概率：如果在一次试验中某事件发生的概率是 P，那么在 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k次的概率是 knknP()C(P)例 1. 如图所示，用 A、B、C 三类不同的元件连接成两个系统 1N、 2，当元件 A、B、C 都正常工作时，系统 1N正常工作，当元件 A 正常工作且元件 B、C 至少有 1 个正常工作时系统2N正常工作，已知元件 A、B、C 正常
32、工作的概率依次为 0.8、0.9、0.9，分别求系统 1N、正常工作时的概率解：分别记元件 A、B、C 正常工作为事件 A、B、C，由已知条件 089090P().,().,P().()因为事件 A、B、C 是相互独立的，所以，系统 1N正常工作的概率10890648()()(B)()故系统 正常工作的概率为 0.648.()系统 2N正常工作的概率 21109P(A)BCPABPC,.,210910880972PC,. 故系统正常工作的概率为 0.792变式训练 1. 有甲、乙两地生产某种产品，甲地的合格率为 90%，乙地的合格率为 92%，从两地生产的产品中各抽取 1 件，都抽到合格品的概
33、率等于 （ ）A112% B9.2% C82.8% D0.8%解：C例 2. 箱内有大小相同的 20 个红球，80 个黑球，从中任意取出 1 个，记录它的颜色后再放典型例题基础过关- 2 -回箱内，进行搅拌后再任意取出 1 个，记录它的颜色后又放回，假设三次都是这样抽取，试回答下列问题：求事件 A：“第一次取出黑球，第二次取出红球，第三次取出黑球”的概率；求事件 B：“三次中恰有一次取出红球”的概率.解：（ 1256； 48变式训练 2：从甲袋中摸出一个红球的概率是 31，从乙袋中摸出 1 个红球的概率是 21，从两袋中各摸出 1 个球，则 32等于 （ ）A2 个球不都是红球的概率B2 个球
34、都是红球的概率C至少有 1 个红球的概率D2 个球中恰好有 1 个红球的概率解：C例 3. 两台雷达独立工作，在一段时间内，甲雷达发现飞行目标的概率是 0.9，乙雷达发现目标的概率是 0.85，计算在这一段时间内，下列各事件的概率：（1）甲、乙两雷达均未发现目标；（2）至少有一台雷达发现目标；（3）至多有一台雷达发现目标解：0.015; 0.985; 0.235变式训练 3：甲、乙、丙三人分别独立解一道题，甲做对的概率为 12，甲、乙、丙三人都做对的概率是 124，甲、乙、丙三人全做错的概率是 14（1）求乙、丙两人各自做对这道题的概率；（2）求甲、乙、丙三人中恰有一人做对这一道题的概率解：
35、3, 41或 , 3； 241例 4. 有三种产品，合格率分别为 0.90，0.95 和 0.95，各取一件进行检验（1）求恰有一件不合格的概率；（2）求至少有两件不合格的概率（精确到 0.01）解:设三种产品各取一件，抽到的合格产品的事件分别为 A、B 和 C()因为事件 A、B、C 相互独立，恰有一件不合格的概率为0.9.5090.5.90.1.950.176PPPABCPP 答：恰有一件不合格的概率为 0.176.()解法一：至少有两件不合格的概率为- 3 -2 20.9.50.1.95010.51PABCPABCPABCPABC答：至少有两件不合格的概率为 0.012.解法二：三件都合
36、格的概率为： 20.9.50.81PABCPABPC由()可知恰好有一件不合格的概率为 0.176，所以至少有两件不合格的概率为10.176.812.76.2答：至少有两件不合格的概率为 0.012.变式训练 4. 甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为 41，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为 12，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为 92.分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率.解： 31, 4, 2； 651
37、当且仅当事件 A与事件 B互相独立时，才有 PABP ，故首先要搞清两个事件的独立性2独立重复试验在概率论中占有相当重要地地位，这种试验的结果只有两种，我们主要研究在 n 次独立重复试验中某事件发生 k 次的概率： 1nkknPCP，其中 P 是 1 次试验中某事件发生的概率，其实 1nknCP正好是二项式 的展开式中的第 k+1 项，很自然地联想起二项式定理小结归纳- 1 -第 4 课时 离散型随机变量的分布列1如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做 ，随机变量通常用希腊字母 ， 等表示2如果随机变量可能取的值 ，那么这样的随机变量叫做离散型随机变量3从函数的观点来看，P
38、( x k)P k，k1， 2， ，n，称为离散型随机变量 的概率函数或概率分布，这个函数可以用 表示，这个 叫做离散型随机变量的分布列4离散型随机变量分布列的性质(1) 所有变量对应的概率值（函数值）均为非负数，即 iP (2) 所有这些概率值的总和为 即 123 (3) 根据互斥事件的概率公式，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的 5二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率为 P，那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次的概率 Pk ，有了这个函数，就能写出它的分布列，由于 1nknC是二项式展开式 1n的通项，所以称这个分布为二项分布列，记作 ,.
39、BP例 1. 袋子中有 1 个白球和 2 个红球 每次取 1 个球，不放回，直到取到白球为止求取球次数 的分布列 每次取 1 个球，放回，直到取到白球为止求取球次数 的分布列 每次取 1 个球，放回，直到取到白球为止，但抽取次数不超过 5 次求取球次数 的分布列 每次取 1 个球，放回，共取 5 次求取到白球次数 的分布列解： ,23.123,.PA)( )3(P 312A所求 的分布列是典型例题基础过关- 2 -1 2 3P31 每次取到白球的概率是 13，不取到白球的概率是 23， 所求的分布列是1 2 3 nP 321 13 1 2 3 4 5P 321342 15,B P( k)C 5
40、k( 31)k( 2)5k ，其中 0,124,.k所求 的分布列是0 1 2 3 4 5P3248024380440210231243变式训练 1. 是一个离散型随机变量，其分布列为-1 0 1P122q2q则 q （ ）A1 B 12C 2D 解：D例 2. 一袋中装有 6 个同样大小的黑球，编号为 1，2，3，4，5，6，现从中随机取出 3 个球，以 表示取出球的最大号码，求 的分布列解：随机变量的取值为 3，4，5，6 从袋中随机地取 3 个球，包含的基本事件总数为 36C，事件“ 3”包含的基本事件总数为 3C，事件“ 4”包含的基本事件总数为 123；事件“ 5”包含的基本事件总数
41、为 124；事件 6包含的基本事件总数为 15；从而有- 3 -3612314362500CPCP随机变量的分布列为： 3 4 5 6P12031012变式训练2：现有一大批种子，其中优质良种占30%，从中任取2粒，记 为2粒中优质良种粒数，则 的分布列是 . 解： 0 1 2P 0.49 0.42 0.09例 3. 一接待中心有 A、B、C、D 四部热线电话，已知某一时刻电话 A、B 占线的概率均为0.5，电话 C、D 占线的概率均为 0.4，各部电话是否占线相互之间没有影响，假设该时刻有部电话占线，试求随机变量 的概率分布. 解： 0 1 2 3 4P0.09 0.3 0.37 0.2 0
42、.04变式训练3：将编号为1，2，3，4的贺卡随意地送给编号为一，二，三，四的四个教师，要求每个教师都得到一张贺卡，记编号与贺卡相同的教师的个数为 ，求随机变量 的概率分布. 解： 0 1 2 4P 2498611本节综合性强，涉及的概念、公式较多，学习时应准确理解这些概念、公式的本质内涵，注意它们的区别与联系例如，若独立重复试验的结果只有两种（即 A与 ， 是必然事件），在 n次独立重复试验中，事件 A恰好发生 k次的概率 ()(1)knknPCP就是二项式()P展开式中的第 1k项，故此公式称为二项分布公式；又如两事件 ,B的概率均不为 0，1 时，“若 ,AB互斥，则 ,B一定不相互独立
43、”、“若 ,B相互独立，则 一定不互斥”等体现了不同概念、公式之间的内在联系2运用 (),()(),(mPPAn P(AB)P(A)P(B)等概率公式时，应特别注意各自成立的前提条件，切勿混淆不清例如，当 ,B为相互独立事件时，运用公式()()PAB便错3独立重复试验是指在同样条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，每次试验都只有两重结果（即某事件要么发生，要么不发生），并且在任何一次试验中，事件发生的概率均相等小结归纳- 4 -独立重复试验是相互独立事件的特例（概率公式也是如此），就像对立事件是互斥事件的特例一样，只是有“恰好”字样的用独立重复试验的概率公式计算更简单，就像有“至少”
44、或“至多”字样的题用对立事件的概率公式计算更简单一样4解决概率问题要注意“三个步骤，一个结合”：（1）求概率的步骤是：第一步，确定事件性质，即所给的问题归结为四类事件中的某一种第二步，判断事件的运算，即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件第三步，运用公式求得（2）概率问题常常与排列组合问题相结合和事件积事件等可能事件： ()mPAn互斥事件：P(AB)P(A) P(B)，P(A B)0 独立事件：P(AB)P(A) P(B)等n 次独立重复试验： ()(1)knknCP- 1 -第 5 课时 离散型随机变量的期望与方差1若离散型随机变量 的分布列为 ,iiPx,23,in .
45、则称 E 为 的数学期望它反映了离散型随机变量取值的平均水平2对于随机变量 ，称 D 为 的方差 的算术平方根 叫做 的标准差随机变量 的方差与标准差都反映了随机变量取值的 3数学期望与方差产生的实际背景与初中平均数及样本方差这两个概念有关平均数： 12121nnxxxxn A A 1 样本方差： 22221 nsxxxn nxnxnx n1)(.)()( 2221 以上两式中 恰是 1,2, 出现的频率这与数学期望与方差的定义式一致4数学期望与方差的性质：若 ab（ ,为随机变量），则 Eab ， Dab 5服从二项分布的随机变量 的期望与方差：若 ,BnP, 则 ,1.EnPD例 1 从
46、4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加演讲比赛，设随机变量 表示所选 3 人中女生的人数求 的分布列；求 的数学期望；求“所选 3 人中女生人数 1”的概率.解：E 10 1 2P 53基础过关典型例题- 2 - 54)1()0()1( PP变式训练 1：如果袋中有 6 个红球，4 个白球，从中任取 1 球，记住颜色后放回，连续摸取4 次，设 为取得红球的次数，则 的期望 E （ ）A 3B 125C 197D 3解：B例 2 抛掷两个骰子,当至少有一个 5 点或 6 点出现时,就说这次试验成功,求在 30 次试验中成功次数 的期望和方差.解: 30,P,其中 4169.所以 505420
47、3.3.997ED变式训练 2：布袋中有大小相同的 4 只红球，3 只黑球，今从袋中随机取出 4 只球，设取到一只红球得 1 分，取到一只黑球得 3 分，试求得分 的概率分布和数学期望解： 57例 3 甲、乙两名射手在同一条件下进行射击，分布列如下表：射手甲 击中环数 18 9 10概率 Pa0.6 0.2射手乙击中环数 28 9 10概率 P0.4 b0.4用击中环数的期望与方差分析比较两名射手的射击水平解： 10.62.,10.4.2ab222118996.4,010.48,EDE甲乙两名射手所得环数的平均值相等，但射手甲所得环数比较集中，射手乙所得环数比较分散，射手甲射击水平较稳定变式训
48、练 3：某商场根据天气预报来决定节日是在商场内还是在商场外开展促销活动，统计资料表明，每年五一节商场内的促销活动可获得经济效益 2.5 万元，商场外的促销活动如果不遇到有雨天可获得经济效益 12 万元，如果促销活动遇到有雨天，则带来经济损失 5 万元，4 月 30 号气象台预报五一节当地有雨的概率是 40%，问商场应该采取哪种促销方式？解：采用场外促销方式例 4 某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为 0.3，一旦发生，可造成400 万元的损失，现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为 45 万元和 30 万元，采用相应预防措施后，此突发事件
49、不发生的概率分别为 0.9 和 0.85若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用，联合采用或不采用，试确定- 3 -预防方案使总费用最少（总费用采取预防措施的费用+发生突发事件损失的期望值）.解：联合甲、乙，总费用最少为 81 万元变式训练 4：假设 1 部机器在 1 天内发生故障的概率为 0.2，机器发生故障时，全天停止工作，若 1 周的 5 个工作日里无故障，可获得利润 10 万元，发生 1 次故障仍可获得利润 5 万元；发生 2 次故障所获利润为 0；发生 3 次或 3 次以上故障就要亏损 2 万元，求 1 周的期望利润是多少？（精确到 0.001）.解：用随机变量 表示 1 周 5 天
50、内发生故障的天数，则 服从地一项分布 B(5,0.2)，从而 328.0.)(5P，4115C，P( 2)0.205P( 3)0.057 设 为所获得利润，则E100.32850.41000.20520.0575.215（万元）1数学期望与方差，标准差都是离散型随机变量最重要的数字特征，它们分别反映了随机变量取值的平均水平、稳定程度、集中与离散的程度离散型随机变量的期望与方差都与随机变量的分布列紧密相连，复习时应重点记住以下重要公式与结论：一般地，若离散型随机变量 的分布列为 1x2x nx PP P则期望 12nEx ，方差 22nDExE ，标准差 , , .abbDa若 ,BnP，则 ,EnPq，这里 1P小结归纳
