1、1第 1 讲 空间几何体1(2014浙江)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是( )A72 cm 3 B90 cm 3C108 cm 3 D138 cm 32(2015山东)在梯形 ABCD 中， ABC ， AD BC， BC2 AD2 AB2.将梯形 ABCD 绕 2AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A. B. C. D223 43 533(2015课标全国)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，
2、米堆底部的弧长为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放的米约有( )A14 斛 B22 斛 C36 斛 D66 斛4(2014江苏)设甲，乙两个圆柱的底面积分别为 S1， S2，体积分别为 V1， V2.若它们的侧面相等，且 ，则 的值是_S1S2 94 V1V21.以三视图为载体，考查空间几何体面积、体积的计算.2.考查空间几何体的侧面展开图及简单的组合体问题.2热点一 三视图与直观图1一个物体的三视图的排列规则俯视图放在正视图的下面，长度与正视图的长度一样，侧视图放在正视图的右面，高度与正视图的
3、高度一样，宽度与俯视图的宽度一样即“长对正、高平齐、宽相等” 2由三视图还原几何体的步骤一般先从俯视图确定底面再利用正视图与侧视图确定几何体例 1 (1)(2014课标全国)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是( )A三棱锥 B三棱柱 C四棱锥 D四棱柱(2)一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是( )思维升华 空间几何体的三视图是从空间几何体的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图，因此在分析空间几何体的三视图问题时，先根据俯视图确定几何体的底面，然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的
4、棱、面的位置，再确定几何体的形状，即可得到结果3跟踪演练 1 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是( )(2)将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为( )热点二 几何体的表面积与体积空间几何体的表面积和体积计算是高考中常见的一个考点，解决这类问题，首先要熟练掌握各类空间几何体的表面积和体积计算公式，其次要掌握一定的技巧，如把不规则几何体分割成几个规则几何体的技巧，把一个空间几何体纳入一个更大的几何体中的补形技巧例 2 (1)(2015北京)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是( )A2 B4 C22 D55 5 5(2)如图，在棱长为 6
5、的正方体 ABCD A1B1C1D1中， E， F 分别在 C1D1与 C1B1上，且C1E4， C1F3，连接 EF， FB， DE， BD 则几何体 EFC1 DBC 的体积为( )4A66 B68 C70 D72思维升华 (1)求多面体的表面积的基本方法就是逐个计算各个面的面积，然后求和(2)求体积时可以把空间几何体进行分解，把复杂的空间几何体的体积分解为一些简单几何体体积的和或差求解时注意不要多算也不要少算跟踪演练 2 (2015四川)在三棱柱 ABCA1B1C1中， BAC90，其正视图和侧视图都是边长为 1 的正方形，俯视图是直角边的长为 1 的等腰直角三角形，设点 M， N， P
6、 分别是AB， BC， B1C1的中点，则三棱锥 PA1MN 的体积是_热点三 多面体与球与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径例 3 (1)已知三棱锥 S ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上， SA平面ABC， SA2 ， AB1， AC2， BAC60，则球 O 的表面积为( )3A4 B12 C16 D64(2)(2015课标全国)已知 A， B 是球
7、 O 的球面上两点， AOB90， C 为该球面上的动点，若三棱锥 OABC 体积的最大值为 36，则球 O 的表面积为( )A36 B64C144 D256思维升华 三棱锥 P ABC 可通过补形为长方体求解外接球问题的两种情形：(1)P 可作为长方体上底面的一个顶点， A、 B、 C 可作为下底面的三个顶点；(2) P ABC 为正四面体，则正四面体的棱都可作为一个正方体的面对角线跟踪演练 3 在三棱锥 A BCD 中，侧棱 AB， AC， AD 两两垂直， ABC， ACD， ABD 的面积分别为 ， ， ，则三棱锥 A BCD 的外接球体积为_.22 32 6251一个几何体的三视图及
8、其尺寸如图所示，则该几何体的表面积为( )A16 B8 82C2 2 8 D4 4 82 6 2 62如图，将边长为 5 的正方形，剪去阴影部分后，得到圆锥的侧面和2底面的展开图，则圆锥的体积是( )A. B. 2303 263C. D. 303 6033(2015浙江杭州二中测试)如图，在正三棱锥 S ABC 中， M 是 SC 的中点，且 AM SB，底面边长 AB2 ，则正三棱锥 S ABC 的外接球的表面积为( )2A6 B12C32 D36提醒：完成作业 专题四 第 1 讲6二轮专题强化练专题四第 1 讲 空间几何体A 组 专题通关1(2015哈尔滨模拟)某几何体的三视图如图所示，且
9、该几何体的体积是 3，则正视图中的 x 的值是( )A2 B.92C. D3322如图是棱长为 2 的正方体的表面展开图，则多面体 ABCDE 的体积为( )A2B.23C.43D.833已知正四棱锥的底面边长为 2a，其侧视图如图所示当正视图的面积最大时，该正四棱锥的表面积为( )7A8 B88 2C8 D482 24(2015课标全国)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示若该几何体的表面积为 1620，则 r 等于( )A1 B2C4 D85三棱锥 S ABC 的所有顶点都在球 O 的表面上， SA平面 ABC， AB BC
10、，又SA AB BC1，则球 O 的表面积为( )A. B. 32 32C3 D126有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)， ABC45， AB AD1， DC BC，则这块菜地的面积为_7(2014山东)一个六棱锥的体积为 2 ，其底面是边长为 2 的正六边形，侧棱长都相等，3则该六棱锥的侧面积为_8如图，正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1， E， F 分别为线段 AA1， B1C 上的点，则三棱锥D1 EDF 的体积为_89已知某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的表面积为_10已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为
11、8、高为 4 的等腰三角形，侧视图是一个底边长为 6、高为 4 的等腰三角形(1)求该几何体的体积 V；(2)求该几何体的侧面积 S.B 组 能力提高11把边长为 1 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起，使得平面 ABD平面 CBD，形成三棱锥C ABD 的正视图与俯视图如图所示，则侧视图的面积为( )A. B. C. D.12 22 14 2412如图，侧棱长为 2 的正三棱锥 V ABC 中，3 AVB BVC CVA40，过 A 作截面 AEF，则截面 AEF 的周长的最小值为_13已知矩形 ABCD 的面积为 8，当矩形周长最小时，沿对角线 AC 把9ACD 折起，则三棱锥 D
12、ABC 的外接球的表面积等于_14如图，在 Rt ABC 中， AB BC4，点 E 在线段 AB 上过点 E 作 EF BC 交 AC 于点F，将 AEF 沿 EF 折起到 PEF 的位置(点 A 与 P 重合)，使得 PEB30.(1)求证： EF PB；(2)试问：当点 E 在何处时，四棱锥 PEFCB 的侧面 PEB 的面积最大？并求此时四棱锥 PEFCB 的体积10学生用书答案精析专题四 立体几何与空间向量第 1 讲 空间几何体高考真题体验1B 该几何体为一个组合体，左侧为三棱柱，右侧为长方体，如图所示V V 三棱柱 V 长方体 433436187290(cm 3)122C 过点 C
13、 作 CE 垂直 AD 所在直线于点 E，梯形 ABCD 绕 AD 所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段 AB 的长为底面圆半径，线段 BC 为母线的圆柱挖去以线段 CE 的长为底面圆半径， ED 为高的圆锥，如图所示，该几何体的体积为 V V 圆柱 V 圆锥 AB2BC CE2DE131 22 1 21 .13 533B 由题意知：米堆的底面半径为 (尺)，体积 V R2h163 13 14(立方尺)所以堆放的米大约为 22(斛)3209 32091.624.32解析 设两个圆柱的底面半径和高分别为 r1， r2和 h1， h2，由 ，S1S2 94得 ，则 . r21 r2 94 r1
14、r2 32由圆柱的侧面积相等，得 2 r1h12 r2h2，即 r1h1 r2h2，所以 .V1V2 r21h1 r2h2 r1r2 32热点分类突破例 1 (1)(1)B (2)B解析 (1)由题知，该几何体的三视图为一个三角形，两个四边形，经分析可知该几何体为三棱柱，故选 B.11(2)由直观图可知，该几何体由一个长方体和一个截角三棱柱组合从上往下看，外层轮廓线是一个矩形，矩形内部有一条线段连接的两个三角形跟踪演练 1 (1)D (2)D解析 (1)由俯视图，易知答案为 D.(2)如图所示，点 D1的投影为 C1，点 D 的投影为 C，点 A 的投影为 B，故选 D.例 2 (1)C (2
15、)A解析 (1)该三棱锥的直观图如图所示：过 D 作 DE BC，交 BC 于 E，连接 AE，则BC2， EC1， AD1， ED2，S 表 S BCD S ACD S ABD S ABC 22 1 1 212 12 5 12 5 12 522 .5(2)如图，连接 DF， DC1，那么几何体 EFC1 DBC 被分割成三棱锥D EFC1及四棱锥 D CBFC1，那么几何体 EFC1 DBC 的体积为V 346 (36)66125466.13 12 13 12故所求几何体 EFC1 DBC 的体积为 66.跟踪演练 2 124解析 由题意知还原后的几何体是一个直放的三棱柱，三棱柱的底面是直角
16、边长为 1 的等腰直角三角形，高为 1 的直三棱柱， VPA1MN VA1PMN，又 AA1平面 PMN， VA1PMN VAPMN， VAPMN 1 ，13 12 12 12 12412故 VPA1MN .124例 3 (1)C (2)C解析 (1)在 ABC 中，BC2 AB2 AC22 ABACcos 603， AC2 AB2 BC2，即 AB BC，又 SA平面 ABC，三棱锥 S ABC 可补成分别以 AB1， BC ， SA2 为长、宽、高的长方体，3 3球 O 的直径 4，12 3 2 23 2故球 O 的表面积为 42 216.(2)如图，要使三棱锥 OABC 即 COAB 的
17、体积最大，当且仅当点 C 到平面 OAB的距离，即三棱锥 COAB 底面 OAB 上的高最大，其最大值为球 O 的半径 R，则 VOABC 最大 VCOAB 最大 S OABR R2R R336，所以 R6，得 S 球13 13 12 16O4 R246 2144，选 C.跟踪演练 3 6解析 如图，以 AB， AC， AD 为棱把该三棱锥扩充成长方体，则该长方体的外接球恰为三棱锥的外接球，三棱锥的外接球的直径是长方体的对角线长据题意Error!解得Error!长方体的对角线长为 ，AB2 AC2 AD2 6三棱锥外接球的半径为 .62三棱锥外接球的体积为 V ( )3 .43 62 6高考押
18、题精练1D 由三视图知，该几何体是底面边长为 2 的正方形，22 22 2高 PD2 的四棱锥 P ABCD，因为 PD平面 ABCD，且四边形 ABCD 是正方形，易得 BC PC， BA PA，13又 PC PD2 CD2 2 ，22 22 2 3所以 S PCD S PAD 22 2 ，12 2 2S PAB S PBC 2 2 2 .12 2 3 6所以几何体的表面积为 4 4 8.6 22A 设圆锥底面半径为 R MO，底面周长2 R弧长FE 2 AM， AM4 R， OC R， AC AM MO OC(5 )R，正方形边长14 2 25 AC，即 5 (5 )R， R ， AM4
19、， h ，222 2 22 2 2 2 AM2 R2 30V R2h 2 .13 13 30 23033B 因为三棱锥 S ABC 为正三棱锥，所以 SB AC，又 AM SB，所以 SB平面 SAC，所以 SB SA， SB SC，即 SA， SB， SC 三线两两垂直，且 AB2 ，所以 SA SB SC2，2所以(2 R)232 212，所以球的表面积 S4 R212，故选 B.14二轮专题强化练答案精析专题四 立体几何与空间向量第 1 讲 空间几何体1D 根据三视图判断几何体为四棱锥，其直观图是： V 2x3， x3.13 1 222D 多面体 ABCDE 为四棱锥(如图)，利用割补法
20、可得其体积 V4 ，选 D.43 833B 由题意可知该正四棱锥的直观图如图所示，其正视图与侧视图相同，设棱锥的高为 h，则 a2 h24.故其正视图的面积为S 2ah ah 2，即当 a h 时， S 最大，此时该正四棱锥的12 a2 h22 2表面积 S 表 (2 a)24 2a21288 ，故选 B.24B 由正视图与俯视图想象出其直观图，然后进行运算求解如图，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球的半径为 r，圆柱的底面半径为 r，高为 2r，则表面积S 4 r2 r24 r2 r2r(54) r2.又 S1620，(54)12r21620， r24， r2，故选 B.5C如图，因
21、为 AB BC，所以 AC 是 ABC 所在截面圆的直径，又因为SA平面 ABC，所以 SAC 所在的截面圆是球的大圆，所以 SC 是球的一15条直径由题设 SA AB BC1，由勾股定理可求得： SB ， SC ，2 3所以球的半径 R ，32所以球的表面积为 4( )23.326222解析 如图，在直观图中，过点 A 作 AE BC，垂足为 E，则在 Rt ABE 中， AB1， ABE45， BE .22而四边形 AECD 为矩形， AD1， EC AD1， BC BE EC 1.22由此可还原原图形如图在原图形中， A D1， A B2，B C 1，22且 A D B C，A B B
22、C，这块菜地的面积为S (A D B C) A B12 (11 )22 .12 22 22712解析 设正六棱锥的高为 h，侧面的斜高为 h.由题意，得 6 2 h2 ，13 12 3 3 h1，斜高 h 2，12 3 2 S 侧 6 2212.12168.16解析 VD1 EDF VF DD1E S D1DEAB13 111 .13 12 169. 332解析 由三视图可知，该几何体是底面半径为 1，高为 ，母线长为 2 的圆锥的一半，其3表面积是整个圆锥表面积的一半与轴截面的面积之和所以， S 22 1 2 2 .12 12 12 12 3 32 310解 由已知可得，该几何体是一个底面为
23、矩形，高为 4，顶点在底面的投影是矩形中心的四棱锥 E ABCD.(1)V (86)464.13(2)四棱锥 E ABCD 的两个侧面 EAD， EBC 是全等的等腰三角形，且 BC 边上的高 h1 4 ；42 82 2 2另两个侧面 EAB， ECD 也是全等的等腰三角形， AB 边上的高 h2 5.42 62 2因此 S2( 64 85)4024 .12 2 12 211C 因为 C 在平面 ABD 上的射影为 BD 的中点 O，在边长为 1 的正方形ABCD 中， AO CO AC ，所以12 22侧视图的面积等于 S AOC COAO ，故选 C.12 12 22 22 14126解析
24、 沿着侧棱 VA 把正三棱锥 V ABC 展开在一个平面内，如图，则 AA即为截面 AEF 周长的最小值，且 AVA340120.在VAA中，由余弦定理可得 AA6，故答案为 6.1316解析 设矩形的两邻边长度分别为 a， b，则 ab8，此时 2a2 b4 8 ，当且仅当ab 2a b2 时等号成立，此时四边形 ABCD 为正方形，其中心到四个顶点的距离相等，均为22，无论怎样折叠，其四个顶点都在一个半径为 2 的球面上，这个球的表面积是1742 216.14(1)证明 EF BC 且 BC AB， EF AB，即 EF BE， EF PE.又 BE PE E， EF平面 PBE，又 PB
25、平面 PBE， EF PB.(2)解 设 BE x， PE y，则 x y4. S PEB BEPEsin PEB12 xy 21.14 14(x y2 )当且仅当 x y2 时， S PEB的面积最大此时， BE PE2.由(1)知 EF平面 PBE，平面 PBE平面 EFCB，在平面 PBE 中，作 PO BE 于 O，则 PO平面 EFCB.即 PO 为四棱锥 PEFCB 的高又 PO PEsin 302 1.12SEFCB (24)26.12 VPBCFE 612.131第 2 讲 空间中的平行与垂直1(2015北京)设 ， 是两个不同的平面， m 是直线且 m .则“ m ”是“ ”
26、的( )A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件2(2013浙江)设 m， n 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面( )A若 m ， n ，则 m nB若 m ， m ，则 C若 m n， m ，则 n D若 m ， ，则 m 3(2015江苏)如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，已知 AC BC， BC CC1.设AB1的中点为 D， B1C BC1 E.求证：(1) DE平面 AA1C1C；(2)BC1 AB1.21.以选择题、填空题的形式考查，主要利用平面的基本性质及线线、线面和面面的判定与性质定理对命题的真假进行判断，属基础题.2.以解答题
27、的形式考查，主要是对线线、线面与面面平行和垂直关系交汇综合命题，且多以棱柱、棱锥、棱台或其简单组合体为载体进行考查，难度中等.热点一 空间线面位置关系的判定空间线面位置关系判断的常用方法(1)根据空间线面平行、垂直关系的判定定理和性质定理逐项判断来解决问题；(2)必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线面位置关系，并结合有关定理来进行判断例 1 (1)(2015广东)若直线 l1和 l2是异面直线， l1在平面 内， l2在平面 内， l 是平面 与平面 的交线，则下列命题正确的是( )A l 与 l1， l2都不相交B l 与 l1， l2都相交C l 至多与 l1， l
28、2中的一条相交D l 至少与 l1， l2中的一条相交(2)平面 平面 的一个充分条件是( )A存在一条直线 a， a ， a B存在一条直线 a， a ， a C存在两条平行直线 a， b， a ， b ， a ， b D存在两条异面直线 a， b， a ， b ， a ， b 思维升华 解决空间点、线、面位置关系的组合判断题，主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种情况，以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行判断，必要时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断，同时要注意平面几何中的结论不能完全引用到立体几何中跟踪演练 1 已知 m， n 为两条不同的直线， ， 为两
29、个不重合的平面，给出下列命题：若 m ， n ，则 m n；若 m ， m n，则 n ；若 ， m ，则 m ；3若 m ， m ，则 .A0 B1C2 D3热点二 空间平行、垂直关系的证明空间平行、垂直关系证明的主要思想是转化，即通过判定、性质定理将线线、线面、面面之间的平行、垂直关系相互转化例 2 (2015广东)如图，三角形 PDC 所在的平面与长方形 ABCD 所在的平面垂直， PD PC4， AB6， BC3.(1)证明： BC平面 PDA；(2)证明： BC PD；(3)求点 C 到平面 PDA 的距离思维升华 垂直、平行关系的基础是线线垂直和线线平行，常用方法如下：(1)证明线
30、线平行常用的方法：一是利用平行公理，即证两直线同时和第三条直线平行；二是利用平行四边形进行平行转换；三是利用三角形的中位线定理证线线平行；四是利用线4面平行、面面平行的性质定理进行平行转换(2)证明线线垂直常用的方法：利用等腰三角形底边中线即高线的性质；勾股定理；线面垂直的性质：即要证两线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在的平面即可，l ， a l a.跟踪演练 2 如图所示，已知 AB平面 ACD， DE平面 ACD， ACD 为等边三角形， AD DE2 AB， F 为 CD 的中点求证：(1) AF平面 BCE；(2)平面 BCE平面 CDE.热点三 平面图形的折叠问题平面图形经过翻折成
31、为空间图形后，原有的性质有的发生变化、有的没有发生变化，这些发生变化和没有发生变化的性质是解决问题的关键一般地，在翻折后还在一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化，解决这类问题就是要根据这些变与不变，去研究翻折以后的空间图形中的线面关系和各类几何量的度量值，这是化解翻折问题的主要方法例 3 如图(1)，在 Rt ABC 中， C90， D， E 分别为 AC， AB 的中点，点 F 为线段 CD上的一点，将 ADE 沿 DE 折起到 A1DE 的位置，使 A1F CD，如图(2)5(1)求证： DE平面 A1CB；(2)求证： A1F BE；(3)线段 A1B 上是否存在点
32、 Q，使 A1C平面 DEQ？请说明理由思维升华 (1)折叠问题中不变的数量和位置关系是解题的突破口；(2)存在探索性问题可6先假设存在，然后在此前提下进行逻辑推理，得出矛盾或肯定结论跟踪演练 3 (2014广东)如图(1)，四边形 ABCD 为矩形， PD平面ABCD， AB1， BC PC2，作如图(2)折叠，折痕 EF DC.其中点 E， F 分别在线段 PD， PC上，沿 EF 折叠后点 P 叠在线段 AD 上的点记为 M，并且 MF CF.(1)证明： CF平面 MDF；(2)求三棱锥 M CDE 的体积热点四 直线和平面所成的角直线和平面所成的角往往涉及空间几何体的结构特征和空间线
33、面关系的推理，多以特殊的棱柱和棱锥为载体，如长方体、有一条侧棱与底面垂直的棱锥等，试题比较简单，多以直接求解直线和平面所成的角，有时也会出现在解答题的某一问中例 4 (2015浙江)如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中， BAC90，AB AC2， A1A4， A1在底面 ABC 的射影为 BC 的中点， D 为 B1C1的中点(1)证明： A1D平面 A1BC；(2)求直线 A1B 和平面 BB1C1C 所成的角的正弦值7思维升华 求解直线和平面所成的角的关键是找出或作出平面的垂线，进而根据直线和平面所成的角的定义确定其平面角，即可将所求角转化为三角形的内角求解跟踪演练 4 如图，直三棱柱
34、ABC A1B1C1中， AB AC AA1 ， BC2.则直线2A1B 与平面 BCC1B1所成的角为_.1不重合的两条直线 m， n 分别在不重合的两个平面 ， 内，下列为真命题的是( )A m nm B m n C m D m n 2如图，在直四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，已知 DC DD12 AD2 AB， AD DC， AB DC.(1)求证： D1C AC1；(2)问在棱 CD 上是否存在点 E，使 D1E平面 A1BD.若存在，确定点 E 位置；若不存在，说明理由8提醒：完成作业 专题四 第 2 讲9专题四第 2讲 空 间 中 的 平 行 与 垂 直A 组 专题通关1(20
35、15温州模拟)已知 a、 b、 c 是三条不同的直线， 、 是两个不同的平面，下列条件中，能推导出 a 的是( )A a b， a c，其中 b ， cB a b， b C ， a D a b， b 2(2015湖北) l1， l2表示空间中的两条直线，若 p： l1， l2是异面直线， q： l1， l2不相交，则( )A p 是 q 的充分条件，但不是 q 的必要条件B p 是 q 的必要条件，但不是 q 的充分条件C p 是 q 的充分必要条件D p 既不是 q 的充分条件，也不是 q 的必要条件3如图所示，在正方体 ABCD A1B1C1D1中， M， N， P， Q 分别是AA1，
36、A1D1， CC1， BC 的中点，给出以下四个结论： A1C MN； A1C平面 MNPQ； A1C 与 PM 相交； NC 与 PM 异面其中不正确的结论是( )A B C D4已知 ， 是两个不同的平面，有下列三个条件：存在一个平面 ， ， ；存在一条直线 a， a ， a ；存在两条垂直的直线 a， b， a ， b .其中，所有能成为“ ”的充要条件的序号是( )A BC D105如图，四边形 ABCD 中， AD BC， AD AB， BCD45， BAD90，将 ADB 沿 BD折起，使平面 ABD平面 BCD，构成三棱锥 A BCD.则在三棱锥 A BCD 中，下列命题正确的是
37、( )A平面 ABD平面 ABCB平面 ADC平面 BDCC平面 ABC平面 BDCD平面 ADC平面 ABC6如图，在空间四边形 ABCD 中， M AB， N AD，若 ，则直线 MN 与平面 BDC 的位置AMMB ANND关系是_7.如图， AB 为圆 O 的直径，点 C 在圆周上(异于点 A， B)，直线 PA 垂直于圆 O 所在的平面，点 M 为线段 PB 的中点有以下四个命题： PA平面 MOB； MO平面 PAC； OC平面 PAC；平面 PAC平面 PBC.其中正确的命题是_(填上所有正确命题的序号)8(2015浙江)如图，三棱锥 ABCD 中，AB AC BD CD3， A
38、D BC2，点 M， N 分别是 AD， BC 的中点，则异面直线 AN， CM 所成的角的余弦值是_9(2015山东)如图，三棱台 DEFABC 中， AB2 DE， G， H 分别为AC， BC 的中点(1)求证： BD平面 FGH；(2)若 CF BC， AB BC，求证：平面 BCD平面 EGH. 1110(2015四川)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示(1)请将字母 F， G， H 标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)判断平面 BEG 与平面 ACH 的位置关系并证明你的结论；(3)证明：直线 DF平面 BEG.B 组 能力提高11(2015丽水模
39、拟)已知平面 、 、 ，则下列命题中正确的是( )A ， a， a b，则 b B ， ，则 C a， b， ，则 a bD ， ，则 12.如图，在三棱柱 ABC A1B1C1中，侧棱 AA1底面 ABC，底面是以 ABC 为直12角的等腰直角三角形， AC2 a， BB13 a， D 是 A1C1的中点，点 F 在线段 AA1上，当AF_时， CF平面 B1DF.13正方体 ABCD A1B1C1D1中， E 为线段 B1D1上的一个动点，则下列结论中正确的是_(填序号) AC BE； B1E平面 ABCD；三棱锥 E ABC 的体积为定值；直线 B1E直线 BC1.14.如图所示，在正方
40、体 ABCD A1B1C1D1中， E 是棱 DD1的中点(1)证明：平面 ADC1B1平面 A1BE；(2)在棱 C1D1上是否存在一点 F，使 B1F平面 A1BE？证明你的结论13二轮专题强化练专题四第 2讲 空 间 中 的 平 行 与 垂 直A 组 专题通关1(2015温州模拟)已知 a、 b、 c 是三条不同的直线， 、 是两个不同的平面，下列条件中，能推导出 a 的是( )A a b， a c，其中 b ， cB a b， b C ， a D a b， b 2(2015湖北) l1， l2表示空间中的两条直线，若 p： l1， l2是异面直线， q： l1， l2不相交，则( )A
41、 p 是 q 的充分条件，但不是 q 的必要条件B p 是 q 的必要条件，但不是 q 的充分条件C p 是 q 的充分必要条件D p 既不是 q 的充分条件，也不是 q 的必要条件3如图所示，在正方体 ABCD A1B1C1D1中， M， N， P， Q 分别是AA1， A1D1， CC1， BC 的中点，给出以下四个结论： A1C MN； A1C平面 MNPQ； A1C 与 PM 相交； NC 与 PM 异面其中不正确的结论是( )A B C D4已知 ， 是两个不同的平面，有下列三个条件：存在一个平面 ， ， ；存在一条直线 a， a ， a ；存在两条垂直的直线 a， b， a ， b
42、 .14其中，所有能成为“ ”的充要条件的序号是( )A BC D5如图，四边形 ABCD 中， AD BC， AD AB， BCD45， BAD90，将 ADB 沿 BD折起，使平面 ABD平面 BCD，构成三棱锥 A BCD.则在三棱锥 A BCD 中，下列命题正确的是( )A平面 ABD平面 ABCB平面 ADC平面 BDCC平面 ABC平面 BDCD平面 ADC平面 ABC6如图，在空间四边形 ABCD 中， M AB， N AD，若 ，则直线 MN 与平面 BDC 的位置AMMB ANND关系是_7.如图， AB 为圆 O 的直径，点 C 在圆周上(异于点 A， B)，直线 PA 垂
43、直于圆 O 所在的平面，点 M 为线段 PB 的中点有以下四个命题： PA平面 MOB； MO平面 PAC； OC平面 PAC；平面 PAC平面 PBC.其中正确的命题是_(填上所有正确命题的序号)8(2015浙江)如图，三棱锥 ABCD 中，AB AC BD CD3， AD BC2，点 M， N 分别是 AD， BC 的中点，则异面直线 AN， CM 所成的角的余弦值是_9(2015山东)如图，三棱台 DEFABC 中， AB2 DE， G， H 分别为15AC， BC 的中点(1)求证： BD平面 FGH；(2)若 CF BC， AB BC，求证：平面 BCD平面 EGH. 10(2015
44、四川)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示(1)请将字母 F， G， H 标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)判断平面 BEG 与平面 ACH 的位置关系并证明你的结论；(3)证明：直线 DF平面 BEG.B 组 能力提高11(2015丽水模拟)已知平面 、 、 ，则下列命题中正确的是( )A ， a， a b，则 b B ， ，则 16C a， b， ，则 a bD ， ，则 12.如图，在三棱柱 ABC A1B1C1中，侧棱 AA1底面 ABC，底面是以 ABC 为直角的等腰直角三角形， AC2 a， BB13 a， D 是 A1C1的中点，点 F 在线段
45、AA1上，当 AF_时， CF平面 B1DF.13正方体 ABCD A1B1C1D1中， E 为线段 B1D1上的一个动点，则下列结论中正确的是_(填序号) AC BE； B1E平面 ABCD；三棱锥 E ABC 的体积为定值；直线 B1E直线 BC1.14.如图所示，在正方体 ABCD A1B1C1D1中， E 是棱 DD1的中点(1)证明：平面 ADC1B1平面 A1BE；(2)在棱 C1D1上是否存在一点 F，使 B1F平面 A1BE？证明你的结论17学生用书答案精析第 2 讲 空间中的平行与垂直高考真题体验1B m ， m / ，但 m ， m ， m 是 的必要而不充分条件2C 两条
46、平行线中，有一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直这个平面故选 C.3证明 (1)由题意知， E 为 B1C 的中点，又 D 为 AB1的中点，因此 DE AC.又因为 DE平面 AA1C1C， AC平面 AA1C1C，所以 DE平面 AA1C1C.(2)因为棱柱 ABCA1B1C1是直三棱柱，所以 CC1平面 ABC.因为 AC平面 ABC，所以 AC CC1.又因为 AC BC， CC1平面 BCC1B1， BC平面 BCC1B1， BC CC1 C，所以 AC平面 BCC1B1.又因为 BC1平面 BCC1B1，所以 BC1 AC.因为 BC CC1，所以矩形 BCC1B1是正方形
47、，因此 BC1 B1C.因为 AC， B1C平面 B1AC， AC B1C C，所以 BC1平面 B1AC.又因为 AB1平面 B1AC，所以 BC1 AB1.热点分类突破18例 1 (1)D (2)D解析 (1)若 l 与 l1， l2都不相交则 l l1， l l2， l1 l2，这与 l1和 l2异面矛盾， l 至少与 l1， l2中的一条相交(2)若 l， a l， a ， a ，则 a ， a ，故排除 A.若 l， a ， a l，则 a ，故排除 B.若 l， a ， a l， b ， b l，则 a ， b ，故排除 C.故选 D.跟踪演练 1 C 对于，垂直于同一个平面的两条
48、直线平行，正确；对于，直线 n 可能在平面 内，所以推不出 n ，错误；对于，举一反例， m 且 m 与 ， 的交线平行时，也有 m ，错误；对于，可以证明其正确性，正确故选 C.例 2 (1)证明 因为四边形 ABCD 是长方形，所以 BC AD，因为 BC平面 PDA， AD平面 PDA，所以 BC平面 PDA.(2)证明 因为四边形 ABCD 是长方形，所以 BC CD，因为平面 PDC平面 ABCD，平面PDC平面 ABCD CD， BC平面 ABCD，所以 BC平面 PDC，因为 PD平面 PDC，所以 BC PD.(3)解 如图，取 CD 的中点 E，连接 AE 和 PE.因为 P
49、D PC，所以 PE CD，在 Rt PED 中， PE .PD2 DE2 42 32 7因为平面 PDC平面 ABCD，平面 PDC平面 ABCD CD， PE平面 PDC，所以 PE平面 ABCD，由(2)知： BC平面 PDC，由(1)知： BC AD，所以 AD平面 PDC，19因为 PD平面 PDC，所以 AD PD.设点 C 到平面 PDA 的距离为 h，因为 V 三棱锥 CPDA V 三棱锥 PACD，所以 S PDAh S ACDPE，13 13即 h ，S ACDPES PDA123671234 372所以点 C 到平面 PDA 的距离是 .372跟踪演练 2 证明 (1)如
50、图，取 CE 的中点 G，连接 FG， BG. F 为 CD 的中点， GF DE 且 GF DE.12 AB平面 ACD， DE平面 ACD， AB DE， GF AB.又 AB DE， GF AB.12四边形 GFAB 为平行四边形，则 AF BG. AF平面 BCE， BG平面 BCE， AF平面 BCE.(2) ACD 为等边三角形， F 为 CD 的中点， AF CD. DE平面 ACD， AF平面 ACD， DE AF.又 CD DE D，故 AF平面 CDE. BG AF， BG平面 CDE. BG平面 BCE，平面 BCE平面 CDE.例 3 (1)证明 因为 D， E 分别为
51、 AC， AB 的中点，所以 DE BC.又因为 DE平面 A1CB， BC平面 A1CB，20所以 DE平面 A1CB.(2)证明 由题图(1)得 AC BC 且 DE BC，所以 DE AC.所以 DE A1D， DE CD.所以 DE平面 A1DC.而 A1F平面 A1DC，所以 DE A1F.又因为 A1F CD，所以 A1F平面 BCDE，又 BE平面 BCDE，所以 A1F BE.(3)解 线段 A1B 上存在点 Q，使 A1C平面 DEQ.理由如下：如图，分别取 A1C， A1B 的中点 P， Q，则 PQ BC.又因为 DE BC，所以 DE PQ.所以平面 DEQ 即为平面
52、DEP.由(2)知，DE平面 A1DC，所以 DE A1C.又因为 P 是等腰三角形 DA1C 底边 A1C 的中点，所以 A1C DP.所以 A1C平面 DEP.从而 A1C平面 DEQ.故线段 A1B 上存在点 Q，使得 A1C平面 DEQ.跟踪演练 3 (1)证明 因为 PD平面 ABCD， AD平面 ABCD，所以 PD AD.又因为 ABCD 是矩形， CD AD， PD 与 CD 交于点 D，所以 AD平面 PCD.又 CF平面 PCD，所以 AD CF，即 MD CF.又 MF CF， MD MF M，所以 CF平面 MDF.21(2)解 因为 PD DC， BC2， CD1，
53、PCD60，所以 PD ，由(1)知 FD CF，3在直角三角形 DCF 中， CF CD .12 12过点 F 作 FG CD 交 CD 于点 G，得 FG FCsin 60 ，12 32 34所以 DE FG ，34故 ME PE ，334 334所以 MD ME2 DE2 . 334 2 34 2 62S CDE DEDC 1 .12 12 34 38故 VM CDE MDS CDE .13 13 62 38 216例 4 (1)证明 设 E 为 BC 的中点，由题意得 A1E平面 ABC，所以A1E AE，因为 AB AC，所以 AE BC.故 AE平面 A1BC.由 D， E 分别为
54、 B1C1， BC 的中点，得 DE B1B 且 DE B1B，从而DE A1A 且 DE A1A，所以 AA1DE 为平行四边形于是 A1D AE.又因为 AE平面 A1BC，所以 A1D平面 A1BC.(2)解 作 A1F DE，垂足为 F，连接 BF.因为 A1E平面 ABC，所以 BC A1E.因为 BC AE，所以 BC平面 AA1DE.所以 BC A1F.又 A1F平面 BB1C1C，所以 A1BF 为直线 A1B 和平面 BB1C1C 所成的角由 AB AC2， CAB90，得 EA EB .2由 A1E平面 ABC，得 A1A A1B4， A1E .1422由 DE BB14.
55、 DA1 EA ， DA1E90，2得 A1F .所以 sin A1BF .72 78跟踪演练 4 6解析 如图所示，取 B1C1的中点 D，连接 A1D， BD.因为 AB AC ，所以 A1B1 A1C1 ，又 B1C1 BC2，2 2且 B1D DC11，所以 A1D B1C1，且 A1D A1B21 B1D2 1. 2 2 12又直三棱柱 ABC A1B1C1中，平面 A1B1C1平面 BCC1B1，且平面A1B1C1平面 BCC1B1 B1C1，所以 A1D平面 BCC1B1.故 A1BD 为直线 A1B 与平面 BCC1B1所成的角又 A1B 2，AA21 AB2 2 2 2 2所
56、以 sin A1BD ，故 A1BD .A1DA1B 12 6所以直线 A1B 与平面 BCC1B1所成的角为 . 6高考押题精练1C 构造长方体，如图所示因为 A1C1 AA1， A1C1平面 AA1C1C， AA1平面 AA1B1B，但 A1C1与平面AA1B1B 不垂直，平面 AA1C1C 与平面 AA1B1B 不垂直所以选项 A，B 都是假命题CC1 AA1，但平面 AA1C1C 与平面 AA1B1B 相交而不平行，所以选项 D 为假命题“若两平面平行，则平面内任何一条直线必平行于另一个平面”是真命题，故选 C.2(1)证明 在直四棱柱 ABCD A1B1C1D1中，连接 C1D， D
57、C DD1，四边形 DCC1D1是正方形， DC1 D1C.又 AD DC， AD DD1， DC DD1 D，23 AD平面 DCC1D1，又 D1C平面 DCC1D1， AD D1C. AD平面 ADC1， DC1平面 ADC1，且 AD DC1 D， D1C平面 ADC1，又 AC1平面 ADC1， D1C AC1.(2)解 假设存在点 E，使 D1E平面 A1BD.连接 AD1， AE， D1E，设 AD1 A1D M，BD AE N，连接 MN，平面 AD1E平面 A1BD MN，要使 D1E平面 A1BD，可使 MN D1E，又 M 是 AD1的中点，则 N 是 AE 的中点又易知
58、 ABN EDN， AB DE.即 E 是 DC 的中点综上所述，当 E 是 DC 的中点时，可使 D1E平面 A1BD.24二轮专题强化练答案精析第 2 讲 空间中的平行与垂直1D 选项 A 中缺少 b， c 相交；选项 B，由 a b， b 可能 a ；选项 C 可能 a或 a ，选项 D 正确2A 由 l1， l2是异面直线，可得 l1， l2不相交，所以 pq；由 l1， l2不相交，可得l1， l2是异面直线或 l1 l2，所以 q/p.所以 p 是 q 的充分条件，但不是 q 的必要条件故选 A.3B 作出过 M， N， P， Q 四点的截面交 C1D1于点 S，交 AB 于点 R
59、，如图所示中的六边形MNSPQR，显然点 A1， C 分别位于这个平面的两侧，故 A1C 与平面 MNPQ 一定相交，不可能平行，故结论不正确4D 对于，存在一个平面 ， ， ，则 ，反之也成立，即“存在一个平面 ， ， ”是“ ”的充要条件，所以对，可排除 B、C.对于，存在两条垂直的直线 a， b，则直线 a， b 所成的角为 90，因为 a ， b ，所以 ， 所成的角为 90，即 ，反之也成立，即“存在两条垂直的直线 a， b， a ， b ”是“ ”的充要条件，所以对，可排除 A，选 D.5D 在四边形 ABCD 中， AD BC， AD AB， BCD45， BAD90， BD C
60、D，又平面 ABD平面 BCD，且平面 ABD平面 BCD BD，所以 CD平面 ABD，则 CD AB，又 AD AB， AD CD D，所以 AB平面 ADC，又 AB平面 ABC，所以平面 ABC平面 ADC，故选 D.6平行25解析 由 ，得 MN BD.AMMB ANND而 BD平面 BDC， MN平面 BDC，所以 MN平面 BDC.7解析 错误， PA平面 MOB；正确；错误，否则，有 OC AC，这与 BC AC 矛盾；正确，因为 BC平面 PAC.8.78解析 如图所示，连接 DN，取线段 DN 的中点 K，连接 MK， CK. M 为 AD 的中点， MK AN， KMC
61、为异面直线 AN， CM 所成的角 AB AC BD CD3， AD BC2， N 为 BC 的中点，由勾股定理求得AN DN CM2 ， MK .2 2在 Rt CKN 中， CK . 2 2 12 3在 CKM 中，由余弦定理，得cos KMC . 2 2 22 2 3 22222 789证明 (1)方法一 连接 DG，设 CD GF M，连接 MH.在三棱台 DEFABC 中，AB2 DE， G 为 AC 的中点，可得 DF GC， DF GC，所以四边形 DFCG 为平行四边形则 M 为 CD 的中点，又 H 为 BC 的中点，所以 HM BD，又 HM平面 FGH， BD平面 FGH
62、，所以 BD平面 FGH.方法二 在三棱台 DEFABC 中，由 BC2 EF， H 为 BC 的中点，可得 BH EF， BH EF，所以四边形 HBEF 为平行四边形，可得 BE HF.在 ABC 中， G 为 AC 的中点，H 为 BC 的中点，所以 GH AB.又 GH HF H，所以平面 FGH平面 ABED.26又因为 BD平面 ABED，所以 BD平面 FGH.(2)连接 HE， GE.因为 G， H 分别为 AC， BC 的中点，所以 GH AB.由 AB BC，得 GH BC.又 H 为 BC 的中点，所以 EF HC， EF HC，因此四边形 EFCH 是平行四边形，所以
63、CF HE.又 CF BC，所以 HE BC.又 HE， GH平面 EGH， HE GH H，所以 BC平面 EGH.又 BC平面 BCD，所以平面 BCD平面 EGH.10(1)解 点 F， G， H 的位置如图所示(2)解 平面 BEG平面 ACH，证明如下：因为 ABCDEFGH 为正方体，所以 BC FG，BC FG，又 FG EH， FG EH，所以 BC EH， BC EH，于是 BCHE 为平行四边形，所以 BE CH，又 CH平面 ACH， BE平面 ACH，所以 BE平面 ACH，同理 BG平面 ACH，又 BE BG B，所以平面 BEG平面 ACH.(3)证明 连接 FH
64、， BD.因为 ABCDEFGH 为正方体，27所以 DH平面 EFGH，因为 EG平面 EFGH，所以 DH EG，又 EG FH， EG FH O，所以 EG平面 BFHD，又 DF平面 BFHD，所以 DF EG，同理 DF BG，又 EG BG G，所以 DF平面 BEG.11D 选项 A 中，缺少条件 b ，错误；B 中， 、 、 的关系可参考教室墙角处三个平面的关系，易知错误；C 中的 a， b 可能平行或斜交由两平面平行的性质可知 D 正确12 a 或 2a解析 由题意易知， B1D平面 ACC1A1，所以 B1D CF.要使 CF平面 B1DF，只需 CF DF 即可令 CF
65、DF，设 AF x，则 A1F3 a x.易知 Rt CAFRt FA1D，得 ，ACA1F AFA1D即 ，2ax 3a xa整理得 x23 ax2 a20，解得 x a 或 x2 a.13解析 因 AC平面 BDD1B1，故、正确；记正方体的体积为 V，则 VE ABC V 为定值，16故正确； B1E 与 BC1不垂直，故错误14(1)证明 如图，因为 ABCD A1B1C1D1为正方体，所以 B1C1面 ABB1A1.因为 A1B面 ABB1A1，所以B1C1 A1B.又因为A1B AB1， B1C1 AB1 B1，所以 A1B面 ADC1B1.28因为 A1B面 A1BE，所以平面 ADC1B1平面 A1BE.(2)解 当点 F 为 C1D1中点时，可使 B1F平面 A1BE.证明如下：易知： EF C1D，且 EF C1D.12设 AB1 A1B O，则 B1O C1D 且 B1O C1D，12所以 EF B1O 且 EF B1O，所以四边形 B1OEF 为平行四边形所以 B1F OE.又因为 B1F面 A1BE， OE面 A1BE.所以 B1F面 A1BE.
