1、2018 年普通高等学校招生全国统一考试冲刺预测卷一（江苏卷）数学一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分，把答案填写在答题卡上相应位置上.1. 已知全集为 ，集合 ， ，则 _【答案】【解析】则2. 若复数 ，则 的虚部为_【答案】【解析】其虚部为3. 已知各项均为正数的等比数列 满足 ，且 ，则 _【答案】18【解析】解得 ，即 ，则4. 已知某高级中学，高一、高二、高三学生人数分别为 880、860、820，现用分层抽样方法从该校抽调 128 人，则在高二年级中抽调的人数为_【答案】43【解析】由题意可知，在高二年级中抽调的人数为5. 执行如图所示程序框图，输出的
2、 为_【答案】【解析】第一次循环，第二次循环，第三次循环，第四次循环，第五次循环，第六次循环， ，此时不满足条件，输出6. 已知双曲线 ： ，过双曲线 的右焦点 作 的渐近线的垂线，垂足为 ，延长 与 轴交于点 ，且 ，则双曲线 的离心率为_【答案】【解析】双曲线 ： 的渐近线方程为 ，右焦点过 与渐近线垂直的直线为由 可解得： ，在 中，令 ，可得：，整理得： ，则即双曲线 的离心率为7. 在含甲、乙的 6 名学生中任选 2 人去执行一项任务，则甲被选中、乙没有被选中的概率为_【答案】【解析】含甲，乙的 名学生中任选 人有 种方法甲被选中，乙没有被选中的方法有 种方法则甲被选中、乙没有被选中
3、的概率为8. 已知函数 的部分图象如图所示，若 ， ，则_【答案】【解析】由函数图象可知函数 的周期 ，又则，则则9. 已知在体积为 的圆柱中， ， 分别是上、下底面直径，且 ，则三棱锥的体积为_【答案】【解析】设上，下底面圆的圆心分别为 ， ，圆的半径为由已知， ，则是 中点到平面 的距离与 到平面 的距离相等故 ，设三棱锥 的高为则 ，10. 已知函数 （ ，且 ） ，若 ，则不等式 的解集为_【答案】【解析】 函数 ，故函数为偶函数当 时，故 ，函数在 上为增函数，由偶函数的性质可知 在 上为减函数，则 或解得 ，且 ，则不等式 的解集为11. 已知菱形 的边长为 2， ，点 、 分别在
4、边 、 上， ，.若 ， ，则 _【答案】【解析】即 ，解得12. 已知关于实数 ， 的不等式组 ，构成的平面区域为 ，若 ，使得 ，则实数 的取值范围是_【答案】【解析】作出不等式组 的可行域如图所示表示可行域内一点与 之间的距离的平方和点 到直线 的距离为故故实数 的取值范围是点睛：本题主要考查的知识点是二元一次不等式组表示的平面区域，考查了学生的数形结合思想和简单的转化思想，属于中档题目，本题的关键是要 表示可行域内一点与 之间的距离的平方和。13. 已知 ，若函数 且 有且只有五个零点，则 的取值范围是_【答案】【解析】由题意可知， 是 的一个零点，当 式，由 可得：令 ，则当 时，
5、，当 时，在 上单调递增，在 上单调递减，且当 时， ，当 时，同一坐标系中作出 和 的图象由图可知， 有且只有五个零点需满足则 的取值范围是点睛：本题考查了函数的零点问题，先求出一个零点，然后分离含参量，转化为两个函数的交点问题，利用导数求出函数的单调性，画出函数图像，数形结合，求出有四个交点的情况，即最值问题。本题较为综合，有一定难度。14. 已知数列 的首项 ，其前 项和为 ，且 ，若 单调递增，则 的取值范围是_【答案】【解析】由 可得：两式相减得：两式相减可得：数列 ， ， .是以 为公差的等差数列，数列 ， ， .是以 为公差的等差数列将 代入 及 可得：将 代入 可得要使得 ，
6、恒成立只需要 即可解得则 的取值范围是点睛：本题考查了数列的递推关系求通项，在含有 的条件中，利用 来求通项，本题利用减法运算求出数列隔一项为等差数列，结合 和数列为增数列求出结果，本题需要利用条件递推，有一点难度。二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知 ， ， 分别是 的角 ， ， 所对的边，且 .（）求 ；（）若 ， ，求 的面积.【答案】 （） .（） .【解析】试题分析： 利用正弦定理化简求得 的值，即可求解 通过已知条件，利用余弦定理求出 的值，然后求解三角形的面积即可解析：（）由题意知 ，所以 ，由正弦定理得 ，整理得
7、，即 ，所以 ， .（）当 时，由余弦定理得 ，所以 ， ，所以 .16. 如图所示的多面体中，底面 为正方形， 为等边三角形， 平面 ，点 是线段 上除两端点外的一点，若点 为线段 的中点.（）求证： 平面 ；（）求证：平面 平面 .【答案】 （）见解析.（）见解析.【解析】试题分析： 由点 为线段 的中点，故 ，由 平面 ，得 ，得证 平面 ， ， 平面 ，结合(1)的结果证得平面 平面解析：（）证明：因为 是等边三角形，点 为线段 的中点，故 .因为 ， ，且 ， 平面 ，故 平面 ，又 平面 ，故 ，又 ， 平面 ，故 平面 .（）证明： 平面 ， ， ， ， 平面 ， 平面 ，由（）
8、知 平面 ，平面 平面 .17. 秸秆还田是当今世界上普通重视的一项培肥地力的增产措施，在杜绝了秸秆焚烧所造成的大气污染的同时还有增肥增产作用.某农机户为了达到在收割的同时让秸秆还田，花137600 元购买了一台新型联合收割机，每年用于收割可以收入 6 万元（已减去所用柴油费） ；该收割机每年都要定期进行维修保养，第一年由厂方免费维修保养，第二年及以后由该农机户付费维修保养，所付费用 （元）与使用年数 的关系为： （ ，且 ） ，已知第二年付费 1800 元，第五年付费 6000 元.（）试求出该农机户用于维修保养的费用 （元）与使用年数 的函数关系；（）这台收割机使用多少年，可使平均收益最大
9、？（收益=收入-维修保养费用-购买机械费用）【答案】 （） .（）14.【解析】试题分析： 根据第二年付费 元，第五年付费 元可得关于 的方程组，解出即可得到函数关系 记使用 年，年均收益为 （元） ，利用基本不等式求最值即可解析：（）依题意，当 ， ； ， ，即 ，解得 ，所以 .（）记使用 年，年均收益为 （元） ，则依题意， ， ，当且仅当 ，即 时取等号.所以这台收割机使用 14 年，可使年均收益最大.18. 已知椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ， ，短轴的两个顶点与 ， 构成面积为 2 的正方形.（）求 的方程；（）直线 与椭圆 在 轴的右侧交于点 ， ，以 为直径的圆经过点 ， 的垂
10、直平分线交 轴于 点，且 ，求直线 的方程.【答案】 （） .（） 或 .【解析】试题分析： 根据正方形定义可得 ，再根据 ，求出 ， 的值即可求出椭圆 的方程； 设 ， ，直线 ： ，联立椭圆方程，根据韦达定理结合 求出 ，给出 方程，求出两点坐标，结合题意求出直线方程解析：（）因为椭圆 短轴的两个端点和其两个焦点构成正方形，所以 ，因为 ，所以 ， ，故椭圆 的方程为 .（）设 ， ，直线 ： ，显然 ，由 ，得 ，由韦达定理得 ， ，由 ，得 ，即 ，得 ，即 ，点 ，所以线段 的中垂线 方程为 ，令 ， 可得 ， ，由 ，得 ，将 代入上式，得 ，整理为 ，解得 ，所以 ， 或 ， ，
11、经检验满足题意，所以直线 的方程为 或 .点睛：本题考查了直线与椭圆、圆与椭圆的位置关系，在求解此类问题时设出直线方程，联立直线方程与曲线方程，结合根与系数之间的关系求出两根之和与两根之积，然后按照题目要求给出各量之间的关系，从而计算出结果，本题需要一定的计算能力。19. 已知 ， ， .（）求 ；（）求 单调区间；（）若不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围.【答案】 （） .（）见解析.（） .【解析】试题分析： 求导，算出 的值，即可求出 (2)表示出，求导分类当 时、当 时、当 时、当 时的单调区间 (3)求出二阶导数 ，讨论 、 、 时的情况，求出结果解析：（）因为 ，所以 ，得
12、， .（）由题意知 ，所以 ，当 时，令 ，得 ，令 ，得 ，所以 在 上单调递增，在上单调递降，当 时， ，令 ，得 或 ，令 ，得 ，所以在 和 上单调递增，在 上单调递减，当 时， ，令 ，得 或 ，令 ，得 ，所以 在 和 上单调递增，在 上单调递减，当 时， 在 上恒成立，综上所述，当 时， 在 上单调递增，在 上单调递降，当 时， 在和 上单调递增，在 上单调递减，当 时， 在和 上单调递增，在 上单调递减，当 时， 在 上单调递增.（） ，因为 ，令 ，有 ，当 时，有 ，此时函数 在 上单调递增，则 ，（i）若 即 时， 在 上单调递增，则 恒成立；（ii）若 即 时，则在 存
13、在 ，此时函数 在 上单调递减， 上单调递增且 ，所以不等式不可能恒成立，故不符合题意；当 时，有 ，则在 存在 ， 上单调递减，在 上单调递增，所以 在 上先减后增，又 ，则函数 在 上先减后增且 ，所以不等式不可能恒成立，故不符合题意；综上所述，实数 的取值范围为 .点睛：本题考查了运用导数求含有参量的函数单调区间及证明不等式恒成立问题，在求单调区间时需要注意分类讨论，做到不漏情况，在证明恒成立的题目时，可以采用求二阶导数的方法来求解，本题需要大量的分类讨论，有一定难度。20. 设 个不全相等的正数 ， ， 依次围成一个圆圈.（）设 ，且 ， ， ， 是公差为 的等差数列，而 ， ， ，是
14、公比为 的等比数列，数列 ， ， 的前 项和 满足 ，求数列 的通项公式；（）设 ， ，若数列 ， ， 每项是其左右相邻两数平方的等比中项，求 ；（）在（）的条件下， ，求符合条件的 的个数.【答案】 （） .（）见解析 .（）见解析.【解析】试题分析： 利用 ， ， ， 是公比为 的等比数列，求出 ，又，解得 ，可得数列 的通项公式；确定出 ，依次类推猜想， ， ，一共有 个，再利用反证法进行证明即可解析：（）因 ， ， ， 是公比为 的等比数列，从而 ， ，由 得 ，故解得 或 （舍去）.因此 ，又 ，解得 .从而当 时， ，当 时，由 ， ， ， 是公比为 的等比数列得.因此 .（）由题
15、意 ， ， ， ，得 ， ， ， ， ， .（）猜想： ， ，一共有 336 个.证明： ， ， 得.又 ，故有 ， . 若猜想不成立，设 ，其中 ，若取 即 ，则由此得 ，而由得 ，故 ，得 ，由得 ，从而 ，而 ，故 ，由此推得 与题设矛盾，同理若 均可得 与题设矛盾，因此 为 6 的倍数.点睛：本题主要考查的知识点是等差数列，等比数列的通项及数列的应用，考查了公式的具体应用能力，在处理不等式方面的证明问题时运用了猜想、假设的反证法，推出与题设的矛盾从而证明，本题较难。要掌握常用的基本方法，本题对数学综合能力有较高的要求，属于中档题目。21. 如图，过点 作圆 的切线 ，切点为 ，过点 的
16、直线与圆 交于点 ， ，且的中点为 .若圆 的半径为 2， ，圆心 到直线 的距离为 ，求线段 的长.【答案】 .【解析】试题分析：连接 ， ，求出 的值，由切割线定理可得 ，进而求出 的长。解析：连接 ， ，因为 为圆心， 中点为 ， ，又 为圆 的切线， ，由条件可知 ， ，由切割线定理可得 ，即 ，解得 .22. 选修 4-2：矩阵与变换若二阶矩阵 满足 ， .求曲线 在矩阵 所对应的变换作用下得到的曲线的方程.【答案】 .【解析】试题分析：求出 ，利用变换的公式求出变换矩阵 ，然后求出曲线方程解析：记矩阵 ，则行列式 ，故 ，所以 ，即矩阵 .设曲线 上任意一点 在矩阵 对应的变换作用
17、下得到点 .所以 ，所以 ，所以 ，又点 在曲线 上，代入整理得 ，由点 的任意性可知，所求曲线的方程为 .23. 选修 4-4：坐标系与参数方程已知曲线 的参数方程为 （ 为参数） ，以原点 为极点，以 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .（）求曲线 的极坐标方程和 的直角坐标方程；（）射线 ： （其中 ）与 交于 点，射线 ： 与 交于 点，求的值.【答案】 （） , .（） .【解析】试题分析： 运用消参的方法求出曲线 的直角坐标系方程，转化为极系方程，利用公式求曲线 的直角坐标系方程 在运用极坐标求出两点之间的距离，求出结果.解析：（）因为曲线 的参数方程为 （ 为参
18、数） ，所以曲线 的直角坐标系方程为 ，所以曲线 的极系方程为 ，因为 ，所以 ，所以曲线 的直角坐标系方程为 .（）依题意得，点 的极坐标分别为 ，所以 ，点 的极坐标分别为 ，所以 ，所以 .24. 选修 4-5：不等式选讲已知函数 .若函数 的最小值为 ，正实数 ， 满足 ，求的最小值，并求出此时 ， 的值.【答案】见解析.【解析】试题分析：求出 的解析式及最小值，可以得到 ，根据基本不等式的性质证明即可。解析：依题意， ，当 时，函数 有最小值 10，故 ，故 ，当且仅当 时等号成立，此时 ， .25. 在研究塞卡病毒（Zika virus）某种疫苗的过程中，为了研究小白鼠连续接种该种
19、疫苗后出现 症状的情况，做接种试验.试验设计每天接种一次，连续接种 3 天为一个接种周期.已知小白鼠接种后当天出现 症状的概率为 ，假设每次接种后当天是否出现 症状与上次接种无关.（）若出现 症状即停止试验，求试验至多持续一个接种周期的概率；（）若在一个接种周期内出现 2 次或 3 次 症状，则这个接种周期结束后终止试验，试验至多持续 3 个周期.设接种试验持续的接种周期数为 ，求 的分布列及数学期望.【答案】 （） .（）见解析.【解析】试题分析：（1）试验至多持续一个接种周期分三种情况：第一天出现 症状；直至第二天出现 症状；直至第三天出现 症状；分别求出对应概率，并根据互斥事件概率加法得
20、（2）先确定随机变量： 然后确定“在一个接种周期内出现 2 次或 3 次 症状”的概率： ，再根据对应事件求概率，列表可得概率分布列，最后根据公式求数学期望试题解析：（）试验至多持续一个接种周期的概率（）随机变量 设事件 为“在一个接种周期内出现 2 次或 3 次 症状” ，则所以 的分布列为：1 2 310 分的数学期望考点：互斥事件概率，概率分布及数学期望【方法点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值” ，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率” ，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的
21、概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列” ，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值” ，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布（如二项分布 XB（n，p） ） ，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式（E（X）np）求得因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度26. 已知 展开式的各项依次记为 ， ， ， ， .设.（）若 ， ， 的系数依次成等差数列，求 的值；（）求证：对任意 ，恒有 .【答案】 （） .（）见解析.【解析】试题分析：解：（1）依题意 ， ，的系数依次为 ， ， ，所以 ，解得 ； 4 分（2）设 ，则考虑到 ，将以上两式相加得：所以又当 时， 恒成立，从而 是 上的单调递增函数，所以对任意 ， 10 分考点：二项式定理和导数的运用点评：解决的关键是利用二项式定理以及导数的思想来证明不等式的成立，属于基础题。
