1、从高等几何观点看三角形“四心”科技信息.高校理科研究从高等几何颜点香三角形“四心宁夏大学数学计算机学院王玉光河南省轻工业学校赵艳外心,内心,重心和垂心是三角形的几个重要的特殊点,它们分别是三角形三中垂线,三内角平分线,三中线和三高线的交点.然而两直线如相交交于一点是显然的,但对于三直线来讲,三线共点并非显然.因此学生在学习过程中往往很自然地问“三条直线是否恰好相交于一点呢?“本文用高等几何方法证明了三角形三中垂线,三内角平分线,三中线和三高线确实是共点的.1,外心证:设 AABC 的两边 AB,BC 的中垂线相交于点 O,由 AB,BC 的中垂线相交于点 O 知 OA=OB,OB=OC,所以
2、OA=OC.因而 O 在 AC 的中垂线上,即三中垂线共点.2,内心证:设 AABC 的两边角 A,角 B 的角平分线交于点 O,设 O 到三遍的距离分别是 OD,OE 和 OF,则由条件知 OD=OE,OE=OF,所以 OD=OF.从而知 0 也在角 C 的角平分线上,即三内角平分线共点.3,重心BDC图 1证:如图 1,设 D,E,F 分别为 AABC-边 BC,AC,AB 的中点.考虑三角形 DEF 与三角形 ABC,易知 DE,EF,FD 分别平行 AB,BC,CA,所以其对应边皆交于无穷远点,从而共于无穷远直线.于是由德萨格定理知其对应定点的连线共点,即为重心4,垂心此种情形证明方法
3、较多,在此给出几种简单证明.方法一:向量法.BDC图 2证:如图 2,设三角形 AABC 两条高 AD,BE 相交于 O.事实上,易知,:一,s-d:o-d 一耐,A-:一.由于垂直百知.B-C*:.(O-O-g):0.同理?:oT.(o-c*一):0.两式结合得.o-d:?o-d,no-d.丽:0,所以 CO 垂直 AB,即三角形三高线交于一点.方法二:建立直角坐标系,解析法.yAB0C图 3证:如图 3,以直线 Bc 为 x 轴,高 AD 为 Y 轴,建立直角坐系.设顶点坐标分别为 A(0,a),B(b,0),C(c,O).由两条直线垂直的条件得斜率分别为kBE=-土:,k 一:kAcak
4、ABa所以三条高的直线方程分别为AD:x=0BE:y=一 b)CF:y=(xc)由后两式解得 cxb)=xc),(bc)x=0.由于 bc(bO,cO),故 x=O这说明 BE 和 CF 得交点在 AD 上,即三角形的三条高相交于一点.方法三:解析法的另一种方法一齐次坐标法证:仍参照图 3.由三高线方程分为 AD:x=O,BE:y=cx_b),CF:y=(x-e)知其齐次坐标 (1,O,0),(,一 1,一),(b,一1,一 bF_c)所构成的系数矩阵的行列式1OO:o,从而三高线共点.至此,三角形外心,内心,重心和垂心分男是三角形三中垂线,三内角平分线,三中线和三高线的交点就证明完了.另外,
5、关于三角形“四心“, 还有 个重要的结论,这就是Euler 定理:任意三角形的外心,重心和垂心三点共线.关于这个结论,可以按照射影几何中的德萨格定理很简单的证明,这里不再赘述了.参考文献1刘复元.三角形三条高线交于一点的若干证法J.陕西教育学院.1999,第 3 期,5758.2吕林根,许子道 .解析几何M三版,北京:高等教育出版社,2001.3梅向明,刘增贤等 .高等几何M.第二版,北京:高等教育出版社.2000.(上接第 84 页)2AhanaLkshrni.RRajagopalanSocioeconomicimphcationsofcoastalzonedegradationandthe
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