1、13.2.3 空间的角的计算学习目标 1.理解直线与平面所成角、二面角的概念.2.掌握向量法解决空间角的计算问题.3.体会空间向量解决立体几何问题的三步曲知识点一 空间角的计算(向量法)空间三种角的向量求法角的分类 向量求法 范围异面直线所成的角设两异面直线所成的角为 ，它们的方向向量为 a， b，则 cos |cos a， b|.|ab|a|b|(0， 2直线与平面所成的角设直线 l 与平面 所成的角为 ， l 的方向向量为 e，平面 的法向量为 n，则sin |cos e， n|en|e|n|0， 2二面角设二面角 l 为 ，平面 ， 的法向量分别为 n1， n2，则|cos |cos n
2、1， n2| .|n1n2|n1|n2| 0，知识点二 向量法求线面角、二面角的原理1向量法求直线与平面所成角的原理条件 直线 l(方向向量为 e)与平面 (法向量为 n)所成的角为 图形关系 e， n ， e， n0， 2 2 e， n ， e， n 2， 2计算 sin |cos e， n|232.向量法求二面角的原理条件平面 ， 的法向量分别为 n1， n2， ， 所构成的二面角的大小为 ， n1， n2 图形关系 计算 cos cos cos cos 1两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等()2若向量 n1， n2分别为二面角的两个半平面的法向量，则二面角的平面角的余弦值为
3、cos n1， n2 .()n1n2|n1|n2|3直线与平面所成角的范围为 .()(0， 2)类型一 求两条异面直线所成的角例 1 如图，在三棱柱 OAB-O1A1B1中，平面 OBB1O1平面 OAB， O1OB60， AOB90，且 OB OO12， OA ，求异面直线 A1B 与 AO1所成角的余弦值的大小3解 以 O 为坐标原点， ， 的方向为 x 轴， y 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标OA OB 系，4则 O(0,0,0)， O1(0,1， )，3A( ，0,0)， A1( ，1， )，3 3 3B(0,2,0)， ( ，1， )，A1B 3 3( ，1， )O1A 3 3
4、|cos ， |A1B O1A |A1B O1A |A1B |O1A | .| 3， 1， 33， 1， 3|77 17异面直线 A1B 与 AO1所成角的余弦值为 .17反思与感悟 在解决立体几何中两异面直线所成角的问题时，若能构建空间直角坐标系，则建立空间直角坐标系，利用向量法求解但应用向量法时一定要注意向量所成角与异面直线所成角的区别跟踪训练 1 已知正方体 ABCD-A1B1C1D1中， E， F 分别是 A1D1， A1C1的中点，求异面直线 AE与 CF 所成角的余弦值解 不妨设正方体的棱长为 2，以 D 点为坐标原点，分别取 DA， DC， DD1所在直线为 x 轴，y 轴， z
5、 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2,0,0)， C(0,2,0)， E(1,0,2)， F(1,1,2)，则 (1,0,2)， (1，1,2)，AE CF | | ，| | ， 1043.AE 5 CF 6 AE CF 又 | | |cos ， AE CF AE CF AE CF cos ， ，30 AE CF cos ， ，AE CF 30105异面直线 AE 与 CF 所成角的余弦值为 .3010类型二 求直线和平面所成的角例 2 已知正三棱柱 ABC-A1B1C1的底面边长为 a，侧棱长为 a，求 AC1与侧面 ABB1A1所成2的角解 以 A 点为坐标原点， AB， AA1所
6、在直线分别为 y 轴， z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(0,0,0)， B(0， a,0)，A1(0,0， a)，2C1 ，(32a， a2， 2a)方法一 取 A1B1的中点 M，则 M ，连结 AM， MC1，(0，a2， 2a)有 ， (0， a,0)，MC1 ( 32a， 0， 0) AB (0,0， a)AA1 2 0， 0，MC1 AB MC1 AA1 ， ，则 MC1 AB， MC1 AA1，MC1 AB MC1 AA1 又 AB AA1 A， AB， AA1平面 ABB1A1， MC1平面 ABB1A1. C1AM 是 AC1与侧面 ABB1A1所成的角由于 ，
7、，AC1 ( 32a， a2， 2a) AM (0， a2， 2a) 0 2 a2 ，AC1 AM a24 9a24| | a，AC1 3a24 a24 2a2 3| | a，AM a24 2a2 326cos ， .AC1 AM 9a243a3a2 32 ， 0，180， ， 30，AC1 AM AC1 AM 又直线与平面所成的角在0，90范围内， AC1与侧面 ABB1A1所成的角为 30.方法二 (0， a,0)， (0,0， a)，AB AA1 2 .AC1 ( 32a， a2， 2a)设侧面 ABB1A1的法向量为 n( ， y， z)，Error! 即Error! y z0.故 n
8、( ，0,0) ，AC1 ( 32a， a2， 2a)cos ， n ，AC1 nAC1 |n|AC1 | 2| |cos ， n| .AC1 12又直线与平面所成的角在0，90范围内， AC1与侧面 ABB1A1所成的角为 30.反思与感悟 用向量法求线面角的一般步骤是先利用图形的几何特征建立适当的空间直角坐标系，再用向量的有关知识求解线面角方法二给出了用向量法求线面角的常用方法，即先求平面的法向量与斜线的夹角，再进行换算跟踪训练 2 如图所示，已知直角梯形 ABCD，其中 AB BC2 AD， AS平面ABCD， AD BC， AB BC，且 AS AB.求直线 SC 与底面 ABCD 的
9、夹角 的余弦值解 由题设条件知，以点 A 为坐标原点，分别以 AD， AB， AS 所在直线为 x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系(如图所示)7设 AB1，则 A(0,0,0)， B(0,1,0)， C(1,1,0)， D ， S(0,0,1)， (0,0,1)，(12， 0， 0) AS (1，1,1)CS 显然 是底面 ABCD 的法向量，它与已知向量 的夹角 90 ，AS CS 故有 sin cos ，AS CS |AS |CS | 113 33 0，90，cos .1 sin263类型三 求二面角例 3 在底面为平行四边形的四棱锥 P-ABCD 中， AB AC， PA平面
10、 ABCD，且 PA AB， E是 PD 的中点，求平面 EAC 与平面 ABCD 的夹角解 方法一 如图，以 A 为坐标原点，分别以 AC， AB， AP 所在直线为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系设 PA AB a， AC b，连结 BD 与 AC 交于点 O，取 AD 的中点 F，则 C(b,0,0)， B(0， a,0)， .BA CD D(b， a,0)， P(0,0， a)， E ， O ，(b2， a2， a2) (b2， 0， 0) ， ( b,0,0)OE (0， a2， a2) AC 0，OE AC ，OE AC 8 ， 0，OF 12BA (0， a2， 0
11、) OF AC .OF AC EOF 为平面 EAC 与平面 ABCD 的夹角(或补角)cos ， .OE OF OE OF |OE |OF | 22又 ， 0，180，OE OF 平面 EAC 与平面 ABCD 的夹角为 45.方法二 建系如方法一， PA平面 ABCD， (0,0， a)为平面 ABCD 的法向量，AP ， ( b,0,0)AE (b2， a2， a2) AC 设平面 AEC 的法向量为 m( x， y， z)由Error!得Error! x0， y z，取 m(0,1,1)，cos m， .AP mAP |m|AP | a2a 22又 m， 0，180，AP 平面 AEC
12、 与平面 ABCD 的夹角为 45.反思与感悟 1.当空间直角坐标系容易建立(有特殊的位置关系)时，用向量法求解二面角无需作出二面角的平面角只需求出平面的法向量，经过简单的运算即可求出，有时不易判断两法向量的夹角的大小就是二面角的大小(相等或互补)，但我们可以根据图形观察得到结论，因为二面角是钝二面角还是锐二面角一般是明显的.2.注意法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角跟踪训练 3 如图，在直三棱柱 A1B1C1 ABC 中， AB AC， AB AC2， A1A4，点 D 是 BC的中点9(1)求异面直线 A1B 与 C1D 所成角的余弦值；(2
13、)求平面 ADC1与平面 ABA1所成二面角的正弦值解 (1)以 A 为坐标原点，分别以 AB， AC， AA1所在直线为 x， y， z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 A xyz，则 A(0,0,0)， B(2,0,0)， C(0,2,0)， D(1,1,0)， A1(0,0,4)，C1(0,2,4)，所以 (2,0，4)， (1，1，4)A1B C1D 因为 cos ， A1B C1D A1B C1D |A1B |C1D | 182018 ，31010又异面直线所成角的范围为 ，(0， 2所以异面直线 A1B 与 C1D 所成角的余弦值为 .31010(2)设平面 ADC1的法向量为 n
14、1( x， y， z)，因为 (1,1,0)， (0,2,4)，AD AC1 所以Error!即Error! 取 z1，得 x2， y2，所以 n1(2，2,1)是平面 ADC1的法向量10同理，取平面 ABA1的法向量为 n2(0,1,0)设平面 ADC1与平面 ABA1所成二面角的大小为 ，由|cos | ，得 sin .|n1n2|n1|n2| 291 23 53所以平面 ADC1与平面 ABA1所成二面角的正弦值为 .53111在一个二面角的两个半平面内，与二面角的棱垂直的两个向量分别为(0，1,3)，(2,2,4)，则这个二面角的余弦值为_答案 156解析 由0， 1， 32， 2，
15、 41 94 4 16 ， 2 121024 156可知这个二面角的余弦值为 或 .156 1562已知 a， b 是异面直线， A， B a， C， D b， AC b， BD b，且 AB2， CD1，则 a 与b 所成的角是_答案 60解析 ，AB AC CD DB ( ) 2 01 201，又AB CD AC CD DB CD AC CD CD DB CD | |2，| |1.AB CD cos ， .AB CD AB CD |AB |CD | 121 12异面直线所成的角是锐角或直角， a 与 b 所成的角是 60.3已知在正四棱柱 ABCD A1B1C1D1中， AA12 AB，则
16、 CD 与平面 BDC1所成角的正弦值是_答案 23解析 以 D 为坐标原点，分别以 ， ， 的方向为 x 轴， y 轴， z 轴的正方向建立如图DA DC DD1 所示的空间直角坐标系12设 AA12 AB2，则 B(1,1,0)， C(0,1,0)， D(0,0,0)， C1(0,1,2)，故 (1,1,0)， (0,1,2)， (0,1,0)，DB DC1 DC 设平面 BDC1的法向量为 n( x， y， z)，则Error! 即Error!令 z1，则 y2， x2，所以 n(2，2,1)设直线 CD 与平面 BDC1所成的角为 ，则 sin |cos n， | .DC |nDC |
17、n|DC | 234在矩形 ABCD 中， AB1， BC ， PA平面 ABCD， PA1，则 PC 与平面 ABCD 所成的角2是_答案 30解析 以点 A 为坐标原点， AB， AD， AP 所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 P(0,0,1)， C(1， ，0)， (1， ，1)，平面 ABCD 的一个法向2 PC 2量为 n(0,0,1), 所以 cos ， n ，PC PC n|PC |n| 12又因为 ， n0，180，PC 所以 ， n120，PC 所以斜线 PC 与平面 ABCD 的法向量所在直线所成的角为 60，所以斜线 PC 与平
18、面 ABCD 所成的角是 30.13向量法求角(1)两条异面直线所成的角 可以借助这两条直线的方向向量的夹角 求得，即cos |cos |.(2)直线与平面所成的角 可以通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角 求得，即sin |cos |或 cos sin .(3)二面角的大小可以通过该二面角的两个面的法向量的夹角求得，它等于两个法向量的夹角或其补角一、填空题1若直线 l1的方向向量与 l2的方向向量的夹角是 150，则 l1与 l2这两条异面直线所成的角为_答案 30解析 异面直线所成角的范围是(0，90，所以 l1与 l2这两条异面直线所成的角为18015030.2已知两平面的法向量分别为
19、 m(0,1,0)， n(0,1,1)，则两平面所成的二面角为_答案 45或 135解析 cos m， n ，mn|m|n| 112 22即 m， n45.所以两平面所成的二面角为 45或 135.3设直线 l 与平面 相交，且 l 的方向向量为 a， 的法向量为 n，若 a， n ，34则 l 与 所成的角为_答案 4解析 线面角的范围是 .0， 2 a， n ，34 l 与法向量所在直线所成角为 ， 4 l 与 所成的角为 . 4144已知在棱长为 2 的正方体 ABCD A1B1C1D1中， E 是 DC 的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，则 AB1与 ED1所成角的余弦值为_答案
20、1010解析 A(2,2,0)， B1(2,0,2)， E(0,1,0)， D1(0,2,2)， (0，2,2)， (0,1,2)，AB1 ED1 | |2 ，| | ，AB1 2 ED1 5 0242，AB1 ED1 cos ， ，AB1 ED1 AB1 ED1 |AB1 |ED1 | 2225 1010 AB1与 ED1所成角的余弦值为 .10105正方体 ABCD A1B1C1D1中， BB1与平面 ACD1所成角的余弦值为_答案 63解析 设正方体的棱长为 1，以 D 为坐标原点， ， ， 的方向为 x 轴， y 轴， z 轴的正DA DC DD1 方向，建立空间直角坐标系如图则 D(
21、0,0,0)， B(1,1,0)，B1(1,1,1)平面 ACD1的一个法向量为 (1,1,1)DB1 又 (0,0,1)，BB1 15则 cos ， .DB1 BB1 DB1 BB1 |DB1 |BB1 | 131 33故 BB1与平面 ACD1所成角的余弦值为 .1 ( 33)2 636已知在正方体 ABCD A1B1C1D1中，点 E 是棱 A1B1的中点，则直线 AE 与平面 BDD1B1所成角的正弦值为_答案 1010解析 以 A1为坐标原点， A1B1， A1D1， A1A 所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系设正方体的棱长为 2，则 A(0,0
22、,2)， C(2,2,2)， E(1,0,0)， (2,2,0)，AC (1,0，2)AE AC BD， AC BB1， BD BB1 B， AC平面 BDD1B1，则 (2,2,0)是平面 BDD1B1的一AC 个法向量设直线 AE 与平面 BDD1B1所成的角为 ，则 sin |cos ， | .AC AE 10107在正三棱柱 ABC-A1B1C1中，若 AB BB1，则 AB1与 C1B 所成角的大小为_2答案 90解析 以 A1为坐标原点， ， 的方向为 y 轴， z 轴正方向，建立如图所示的空间直角A1C1 A1A 坐标系，设 BB11，则 A(0,0,1)，B1 ， C1(0，
23、，0)，(62， 22， 0) 216B .(62， 22， 1) ，AB1 ( 62， 22， 1) ，C1B ( 62， 22， 1) 10， .AB1 C1B 64 24 AB1 C1B 即 AB1与 C1B 所成角的大小为 90.8如图，在三棱柱 ABC A1B1C1中，侧棱垂直于底面，底面是边长为 2 的正三角形，侧棱长为 3，则 BB1与平面 AB1C1所成的角的大小为_答案 6解析 如图所示，取 AC 的中点 O，连结 OB，取 A1C1的中点 O1，连结 OO1，以 O 为坐标原点， OC， OO1所在直线分别为 y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系，易得 B( ，0,0)，
24、A(0，1,0)， C1(0,1,3)， B1( ，0,3)，3 3 (0,0,3)， ( ，1,3)， (0,2,3)，BB1 AB1 3 AC1 设平面 AB1C1的法向量为 n( x， y， z)，则Error!即Error! n ，(1， 3，233)设 BB1与平面 AB1C1所成的角为 ， ，0， 217sin |cos ， n| ，BB1 233433 12 . 69.如图，平面 PAD平面 ABCD， ABCD 为正方形， PAD90，且 PA AD2， E， F 分别是线段 PA， CD 的中点，则异面直线 EF 与 BD 所成角的余弦值为_答案 36解析 以点 A 为坐标原
25、点， AB， AD， AP 所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 E(0,0,1)， F(1,2,0)， B(2,0,0)， D(0,2,0)(1,2，1)，EF (2,2,0)，BD 故 cos ， .EF BD 243 3610已知正四棱柱 ABCD A1B1C1D1中， AA12 AB，则 CD 与平面 BDC1所成角的正弦值为_答案 23解析 如图，以点 D1为坐标原点， D1A1 D1C1， D1D 所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系，设 AB a，则 AA12 a，所以 D(0,0,2a)， C1(0， a,0)，
26、 B(a， a,2a)， C(0， a,2a)设平面 BDC1的一个法向量为 n( x， y， z)，18则Error!Error!Error! n ，(1， 1， 12) n(0， a,0) a，CD (1， 1， 12)cos ， n ，CD aa1 1 14 23设 CD 与平面 BDC1所成角为 ，sin .23二、解答题11二面角的棱上有 A， B 两点，直线 AC， BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于 AB.已知 AB4， AC6， BD8， CD2 ，求该二面角的大小17解 由条件，知 0， 0， .CA AB AB BD CD CA AB BD | |2| |2|
27、 |2| |22 2 2 CD CA AB BD CA AB AB BD CA BD 6 24 28 2268cos ， (2 )2.CA BD 17cos ， ，CA BD 12又 ， 0，180，CA BD ， 120，CA BD 二面角的大小为 60.12已知正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 2， E， F， G 分别是 CC1， D1A1， AB 的中点，求 GA与平面 EFG 所成角的正弦值解 如图，以点 D 为坐标原点， DA， DC， DD1所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系 D xyz，则 A(2,0,0)， E(0,2,1)， F(1,0
28、,2)， G(2,1,0)19 (1，2,1)，EF (2，1，1)，EG (0，1,0)GA 设 n( x， y， z)是平面 EFG 的一个法向量，则由 n ， n ，得Error!EF EG 即Error!解得 x y z.令 x1，得 n(1,1,1)设 GA 与平面 EFG 所成的角为 ，则 sin |cos ， n| ，GA | 1|13 33 GA 与平面 EFG 所成角的正弦值为 .3313.如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1中， E 为 AB 的中点(1)求异面直线 BD1与 CE 所成的角的余弦值；(2)求二面角 A1 EC A 的余弦值解 如图所示，以点 D 为坐
29、标原点， DA， DC， DD1所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系，设 AB1，则 B(1,1,0)， D1(0,0,1)， C(0,1,0)， E ， A1(1,0,1)，(1，12， 0)(1) (1，1,1)，BD1 ，故 cos ， ，CE (1， 12， 0) BD1 CE BD1 CE |BD1 |CE | 12352 1515又异面直线所在角的范围是 ，(0， 220所以异面直线 BD1与 CE 所成的角的余弦值是 .1515(2)因为 DD1平面 AEC，所以 为平面 AEC 的一个法向量， (0,0,1)，设平面 A1ECDD1 DD1 的法向量为
30、 n( x， y， z)，又 ， (1,1，1)，A1E (0， 12， 1) A1C 则Error! 即Error!取 n(1,2,1)，所以 cos ， n ，DD1 116 66结合图形知，二面角 A1 EC A 的余弦值为 .66三、探究与拓展14在空间四边形 OABC 中， OB OC， AOB AOC ，则 cos ， 的值为 3 OA BC _答案 0解析 ( )OA BC OA OC OB OA OC OA OB | | |cos | | |cos | |(| | |)0.OA OC 3 OA OB 3 12OA OC OB cos ， 0.OA BC OA BC |OA |B
31、C |15.如图，在四棱锥 P ABCD 中， PA平面 ABCD， AC AD， AB BC， BAC45，PA AD2， AC1.(1)证明： PC AD；(2)求二面角 A PC D 的正弦值；(3)设 E 为棱 PA 上的点，满足异面直线 BE 与 CD 所成的角为 30，求 AE 的长21(1)证明 如图，以点 A 为坐标原点， AD， AC， AP 所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系，则 A(0,0,0)， D(2,0,0)， C(0,1,0)， B ， P(0,0,2)(12， 12， 0)可得 (0,1，2)，PC (2,0,0)，AD 则 0，所以
32、PC AD.PC AD (2)解 由(1)可得 (0,1，2)， (2，1,0)PC CD 设平面 PCD 的法向量为 n( x， y， z)由Error! 得Error!令 z1，可得 n(1,2,1)又 (2,0,0)是平面 PAC 的一个法向量，AD 所以 cos ， n ，AD AD n|AD |n| 66从而 sin ， n .AD 306所以二面角 A PC D 的正弦值为 .306(3)解 由(2)可得 (2，1,0)CD 设 AE h， h0,2，则 E(0,0， h)，所以 .BE (12， 12， h)所以 cos ， ，BE CD BE CD |BE |CD |3212 h25 32解得 h ，即 AE .1010 1010
