1、醴陵市 2018 届高三第一次联考数学试题 (理科）注意事项：1考试时量：120 分钟；总分：150 分2答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息3请将答案正确填写在答题卡上第卷一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 A=1，2，3，4， ，则 A B=（ ）A. 1，2 B. 1，2，4 C. 2，4 D. 2，3，4【答案】B【解析】合 ,则故答案选2. 设复数 z 满足 =i，则| z|=（ ）A. 1 B. C. D. 2【答案】A【解析】试题分析：由题意得， ，所以 ，故选 A.考点：复数的
2、运算与复数的模.3. 等差数列 an中， a3， a7是函数 f（ x）= x24 x+3 的两个零点，则 an的前 9 项和等于（ ）A. 18 B. 9 C. 18 D. 36【答案】C【解析】 是函数 的两个零点，由等差数列的性质可得：故答案选4. 在不等式组 所表示的平面区域内随机地取一点 M，则点 M 恰好落在第二象限的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】不等式组 所表示的平面区域为一直角三角形，其面积为点 恰好落在第二象限平面区域为一直角三角形，其面积为点 恰好落在第二象限的概率为故答案选5. 为了得到函数 图象，可将函数 y=sin3x+cos3x 图象（ ）A
3、. 向左平移 个单位 B. 向右平移 个单位C. 向右平移 个单位 D. 向左平移 个单位【答案】B【解析】只需要将函数 向右平移 个单位。6. 如图，已知某品牌墨水瓶的外形三视图和尺寸，则该墨水瓶的容积为（瓶壁厚度忽略不计） （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：根据所给的三视图，可知该几何体为一个长方体和一个圆柱的组合体，故其容积为 ，故选 C.考点：根据几何体的三视图求其体积.7. 某程序框图如图所示，现输入如下四个函数： f(x) x2， f(x) ， f(x)e x， f(x)sin x，则可以输出的函数是( )A. f(x) x2 B. f(x) C. f(x)
4、e x D. f(x)sin x【答案】D【解析】由程序框图可知,函数 f(x)为奇函数,故排除选项 A、C;又函数 f(x)存在零点,排除选项 B.故选 D.8. 已知双曲线 E： =1（ a0， b0） ，点 F 为 E 的左焦点，点 P 为 E 上位于第一象限内的点， P 关于原点的对称点为 Q，且满足| PF|=3|FQ|，若| OP|=b，则 E 的离心率为（ ）A. B. C. 2 D. 【答案】B【解析】由题意可知：双曲线的右焦点 ，由 关于原点的对称点为则四边形 为平行四边形则由 ，根据椭圆的定义在 中，则 ，整理得则双曲线的离心率故答案选点睛：题目中 关于原点的对称点为 ，那
5、么四边形 为平行四边形，再根据双曲线定义和已知条件判定直角三角形，利用 即可求出双曲线的离心率。9. 函数 与 在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】方程 的解为 或对于选项 ,由二次函数知由对数函数知 ，故不可能；对于选项 ,由二次函数知 ,由对数函数知 ，故不可能；对于选项 ,由二次函数知 ,由对数函数知 ，故不可能；对于选项 ,由二次函数知 ,由对数函数知 ，故有可能成立；故答案选10. 过抛物线 y2=4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A， B 两点，O 为坐标原点若| AF|=3，则AOB 的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【
6、解析】 【解法 1】设AFx=（0）及|BF|=m，|AF|=3，点 A 到准线 l：x=-1的距离为 32+3cos=3cos= ，m=2+mcos（-） ， ，AOB 的面积为 S= sin= 1（3+ ） .故选（C）【解法 2】如图，设 A .易知抛物线 y24 x 的焦点为 F ，准线为 x1，故由抛物线的定义得 x0 3，解得 x02，所以 y02 ，故 A .则直线 AB 斜率为 k 2 ，直线 AB 的方程为 y2 x2 ，联立 消去 y 得 2x25 x20，由 x1x21，得 A， B 两点横坐标之积为 1，所以点 B 的横坐标为 .再由抛物线的定义得 ， 3 .又因为点
7、O 到直线 AB 的距离为 d ，所以 S AOB .故选（C）11. 如图，在正四棱锥 S ABCD 中， E， M， N 分别是 BC， CD， SC 的中点，动点 P 在线段 MN上运动时，下列四个结论： EP AC； EP BD； EP面 SBD； EP面 SAC，其中恒成立的为（ ）A. B. C. D. 【答案】A12. 设函数 f（ x）的定义域为 D，若 f（ x）满足条件：存在 a， bD（ a b） ，使 f（ x）在a， b上的值域也是 a， b，则称为“优美函数” ，若函数 为“优美函数” ，则 t 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 为增函数
8、，存在 ,使 在 上的值域也为 ，则 ，即是方程 的两个不等的根，设有两个不等的实根，且两根都大于解得故答案选点睛：定义新函数的定义域与值域相同，先判定函数的单调性，然后转化为函数方程根的情况，本题的关键也是能否转化为函数根的问题，然后求解。第卷二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分，将答案填在题中的横线上）13. 若向量 ， ， 满足 ，则 x=_【答案】【解析】,，且，即故答案为14. 若 的二项展开式中，含 项的系数为 7，则实数 a=_【答案】【解析】由已知可得 .15. 已知函数 ，若 0 a b c，满足 f（ a）= f（ b）= f（ c） ，则的范围为_【
9、答案】 （1，2）【解析】作函数 的图象如下：，满足，即故故答案为点睛：画出函数 的图象，由图象可知有相等时的取值范围，这里 的图象和计算得 ，可以当作结论，这样三个未知数就只剩下 ，由反比例即可求出结果。16. 在数 1 和 2 之间插入 n 个正数，使得这 n+2 个数构成递增等比数列，将这 n+2 个数的乘积记为 ，令 (1)数列 的通项公式为 =_；(2)=_【答案】 (1). ; (2). 【解析】 设在数 和 之间插入 个正数，使得这 个数构成递增等比数列则 ，即 为此等比数列的公比故数列 的通项公式为由 可得 ，又.,故答案为三、解答题 （本大题共 7 小题，共 70 分.解答应
10、写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（一）必考题：共 60 分17. 在 ABC 中，内角 A， B， C 所对的边分别是 a， b， c，已知 ， c= （）求 ；（）若三角形 ABC 的面积为 ，求角 C【答案】 （） ；（II） 【解析】试题分析： 已知等式利用同角三角函数间的基本关系切化弦，去分母整理后，利用正弦定理化简即可求出所求式子的值。利用三角形面积公式及余弦定理分别列出关系式，联立即可求出角解析：（）由题意知， ， 则 ，即有 ，所以 , 由正弦定理 ，则 ；.5 分（）因为三角形 的面积为 ， ，所以 ，则 ，8.分由余弦定理得， ，.10 分由得， ，则 ，则 ，即 ，解得
11、 18. （本题满分 12 分）如图,在四棱锥 中， 平面 ，底面 是菱形， 为 与 的交点， 为 上任意一点. （1）证明：平面 平面 ；（2）若 平面 ，并且二面角 的大小为 ，求 的值.【答案】 （）证明见解析；（II）【解析】试题分析：（1）解决立体几何的有关问题，空间想象能力是非常重要的，但新旧知识的迁移融合也很重要，在平面几何的基础上，把某些空间问题转化为平面问题来解决，有时很方便；（2）证明两个平面垂直，首先考虑直线与平面垂直，也可以简单记为“证面面垂直，找线面垂直” ，是化归思想的体现，这种思想方法与空间中的平行关系的证明类似，掌握化归与转化思想方法是解决这类题的关键；（3）空
12、间向量将空间位置关系转化为向量运算，应用的核心是要充分认识形体特征，建立恰当的坐标系，实施几何问题代数化同时注意两点：一是正确写出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备试题解析：（1）因为 ， ，又 是菱形， ，故 平面平面 平面 4 分（2）连结 ，因为 平面 ，所以 ，所以 平面又 是 的中点，故此时 为 的中点，以 为坐标原点，射线 分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系 6 分设 则 ，向量 为平面 的一个法向量 8 分设平面 的一个法向量 ，则 且 ，即 ，取 ，则 ，则 12 分解得故 14 分考点：1、平面与平面垂直的判定；2、平面与平面所成角
13、余弦值的应用19. 微信是现代生活进行信息交流的重要工具，随机对使用微信的 60 人进行了统计，得到如下数据统计表，每天使用微信时间在两小时以上的人被定义为“微信达人” ，不超过 2 两小时的人被定义为“非微信达人” ，己知“非微信达人”与“微信达人”人数比恰为 3：2（1）确定 x， y， p， q 的值，并补全须率分布直方图；（2）为进一步了解使用微信对自己的日常工作和生活是否有影响，从“微信达人”和“非微信达人”60 人中用分层抽样的方法确定 10 人，若需从这 10 人中随机选取 3 人进行问卷调查，设选取的 3 人中“微信达人”的人数为 X，求 X 的分布列和数学期望 使用微信时间（
14、单位：小时） 频数 频率 （0，0.5 3 0.05（0.5，1 x p（1，1.5 9 0.15（1.5，2 15 0.25（2，2.5 18 0.30（2.5，3 y q合计 60 1.00【答案】 （） （II）分布列见解析； 【解析】试题分析： 根据分布直方图、频率分布表的性质，列出方程组，能确定的值，并补全须率分布直方图。用分层抽样的方法，从中选取 人，则其中“微信达人”有 人， “非微信达人”有 人，的可能取值为 0 ，分别求出相应的概率，由此能求出 的分布列和数学期望。解析： 根据题意，有解得 ， ，补全频率分布图有下图所示 （2）用分层抽样的方法，从中选取 人，则其中“网购达人
15、”有 人， “非网购达人”有 人， 的可能取值为 ， , ，.11 分的分布列为： 0 1 2 3P 20. 如图，点 P(0，1)是椭圆 C1： 的一个顶点，C 1的长轴是圆 C2：的直径 是过点 P 且互相垂直的两条直线，其中 交圆 C2于 A， B 两点，交椭圆 C1于另一点 D（1）求椭圆 C1的方程；（2）求ABD 面积取最大值时直线 的方程【答案】 （）椭圆 的方程为 （II） 的方程为【解析】试题分析：（1）由题意可得 b=1，2a=4，即可得到椭圆的方程；（2）设A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，D（x 0，y 0） 由题意可知：直线 l1的斜率存在，设为 k，则
16、直线 l1的方程为 y=kx1利用点到直线的距离公式和弦长公式即可得出圆心 O 到直线 l1的距离和弦长|AB|，又 l2l 1，可得直线 l2的方程为 x+kx+k=0，与椭圆的方程联立即可得到点 D 的横坐标，即可得出|PD|，即可得到三角形 ABD 的面积，利用基本不等式的性质即可得出其最大值，即得到 k 的值（1）由已知得到 ，且 ，所以椭圆的方程是 ；（2）因为直线 ，且都过点 ，所以当直线 的斜率不存在时，易知直线与 椭圆 相切，不合题意.当直线 的斜率存在且不为 时，设直线 ，直线 ，所以圆心 到直线的距离为 ，所以直线 被圆 所截的弦；由 ，所以，所以，（当 时，等号成立.）当
17、 时， .综上所述，当 面积取最大值时直线 的方程为 .点睛：本题主要考查了椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，同时考查了推理能力和计算能力及分析问题和解决问题的能力还有就是转化问题的能力，将要求的面积分割为两个直角三角形的面积。21. 设函数 （1）若函数 在 上为减函数，求实数 的最小值；（2）若存在 ，使 成立，求实数 的取值范围【答案】 （）最小值为 ；（II）【解析】试题分析： 在 上为减函数，等价于 在 上恒成立，进而转化为 ，根据二次函数的性质可得命题“若存在 , ，使 成立”等价于“当 时，有 ”， 由 易求 ，从而问题等价于“当 时，有 ”，分 , 两种情况讨
18、论:当 是易求 ，当 时可求得 的值域为 ，再按两种情况讨论即可解析：（1）由已知得 ，因 在 上为减函数，故 在 上恒成立。所以当 时 。又 ， 故当 时，即 时， .所以 ，于是 ，故 的最小值为 . （2）命题“若存在 , ，使 成立”等价于“当 时， ” ”， 由（1） ，当 时， ， .问题等价于：“当 时，有 ”. 当 ，由（1） ， 在 为减函数，则 ，故 . 当 时，由于 在 上的值域为（i） ，即 ， 在 恒成立，故 在 上为增函数，于是， ，矛盾。 （ii） ，即 ，由 的单调性和值域知，存在唯一 ，使 ，且满足：当 时， ， 为减函数；当 时， ， 为增函数；所以， ，
19、所以， ，与 矛盾。综上得 点睛：遇到“若存在 , ，使 成立” ”的条件是要进行转化，转化为最值之间的不等关系，利用导数性质结合分类讨论，求出结果。题目可以改编“若任意 ，使 成立”则等价于“”(二)选考题：共 10 分，考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修 4-4:坐标系与参数方程已知曲线 的参数方程为 （ 为参数） ，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 =2.（）分别写出 的普通方程， 的直角坐标方程；（）已知 M，N 分别为曲线 的上、下顶点，点 P 为曲线 上任意一点，求 的最大值【答案】23
20、 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.【解析】 （）曲线 的普通方程为 ；曲线 的普通方程为 ；（II） 的最大值为试题解析：试题分析： 根据题意和平方关系求出曲线 的普通方程，由和题意求出 的直角坐标方程。法一：求出曲线 参数方程，设 点的参数坐标，求出点 的坐标，利用两点间的距离公式求出 并简化，再化简 ，利用正弦函数的最值求出的最值，即可求出 的最大值；法二：设 点坐标为 ，则 ，求出点 的坐标，利用两点间的距离公式求出并简化，再化简 ，再求出 的最值，即可求出的最大值。解析：（1）曲线 的普通方程为 ， 曲线 的普通方程为 . （2）法一：由曲线 ： ，可得其参数方程为
21、 ，所以 点坐标为，由题意可知 .因此.所以当 时， 有最大值 28， 因此 的最大值为 . 法二：设 点坐标为 ，则 ，由题意可知 .因此.所以当 时， 有最大值 28， 因此 的最大值为 .点睛：在极坐标的题目中运用参数方程和极坐标的基本性质，即可求出两直角坐标方程，在解答最值问题时可以运用三角函数来计算也可以转化为直角坐标来求解，部分题目还是运用三角函数求值计算更简单。23. 设函数 （I）解不等式 ；（）当 时，证明： 【答案】 （） ；（II）证明见解析【解析】试题分析： 运用绝对值的定义，去掉绝对值，得到分段函数，再由各段求范围，最后求并集即可。由分段函数可得 的最大值，再由基本不等式求得 的最小值，即可得证。解析：（）解：由已知可得： ，由 时， 成立； 时， ，即有 ，则为 所以 的解集为 （II）证明：由（）知， ，由于 ，则 ，则有
