1、关于模 N 的原根的分布第 13 卷第 4 期Vo1.13No.4北京印刷学院JournalofBeijingInstituteofGraphicCommunication2005 年 12 月Dec.2005关于模 N 的原根的分布王辉,胡志兴,熊月琴(北京科技大学应用数力系,北京 100083)摘要:设模3 存在原根,对任一原根 1an1,且(n,n)一 1,显然存在唯一原根 1五n 一 1,使得 aa-三三三1(modn),对给定的正整数 1kn,且(女,n) 一 1 及实数01,研究了模的原根 a 与它的逆及整除性,并给出关于min(1nl,ln+n 五 1)较强的渐近公式.adA关键
2、词:原根;逆;分布性质;整除性;渐近公式中图分类号:O156.4 文献标识码:A文章编号:10048626(2005)04 002903OnthedistributionoftheprimitiverootmoduleNWANGhui.HUZhixing,XIONGYueqin(DepartmentofMathematicsandMechanics,UniversityofScienceandTechnology,Beijing100083,China)Abstract:Letmodule3containaprimitiverootandforeachprimitiveroot1nn1with
3、(a,r/)一 1,itisclearthatexistsoneandonlyoneprimitiveroot1西1,SOthatna-1(mod)andinteger1kr/with(女,r/) 一 1andreal0 1.ThemainpurposeofthispaperistOstudythedistributionoftheprimitiverootanditsinversemodulen,andtOgiveasharperasymptoticformulaformin(1n 一西 l,l+n 一百 1)d 一 1n+iKeywords:primitiveroot;inverse;di
4、stributionproperty;divisibility;asymptoticformula设整数 n3,对任一整数 1an1,且(n,n)一 1,显然存在唯一整数 1n 一 1,使得aa-三 1(modn),把满足这一同余方程的瓦称为 a 模n 的逆.若模 n 存在原根,则对模 n 的任一原根 1an 一 1,显然存在唯一的原根 1n1,使得 a 三 1(modn).本文研究 a+对任给整数 k 的收稿日期:20050801整除性,即对给定的正整数 1kn,且(志,n)一1 及实数 01,研究均值min(1n 一百 l,Ida=lln+a 一 1)的渐近性质 ,其中 A 表示在区间1,
5、n中模 n 的所有原根的集合.本文借助于 Well 关于 Kloostermann 和的估计及其三角和的方法来研究这一问题,证明下面的结论.定理设模 n3 存在原根,对给定的正整数1kn,且(志,n)一 1 及任意实数 01,则有渐近公式min(In 一-6l,ln+n 一 1)一d=1.+百f“(n)+0(“3.(n)4cc1n4“),l0丢1f2 一旦 481k+01IIJ(“)I11其中(n)为 Euler 函数,o2(n)表示 n 的所有不同素因子的个数,d(n) 为除数函数.1 几个引理引理 1?设模 n3 存在原根 ,则对任意正整数(,n):=:1,有恒等式,a=1)_荣 为 n
6、的原根,其中(n)为 Mobius 函数,indm 表示相对模 n 的某一给定原根的指标,P()一 e.,表示对与 k 互素的 n 求和.30 北京印刷学院 2005 焦引理 2.设 m,q 为整数,则对模 q 的任一Dirichlet 函数 z,有估计式)e()qq其中(m,q)表示 m,q 三个数的最大公因数.引理 3 设模3 存在原根,则有下列估计式lb1e()洲 abde,6l(An)引理 4 设 m,为整数,且3,对任意正整数 c,整数 1 k,且(,k) 一 1 以及非负整数 h,有三角估计式0(),lm(rk+z)rk+鳓 lhikih-t-1k+)()一当“I-m 时,有(rk
7、rk+z)一()1.7【走 ll“l引理 5 设模3 存在原根,对非负整数 h,整数 1k,且(,k)一 1 和实数 01,有2 抖k(2证明(a 一 )(1 一)+0(4+丁 14Pd()In.,(aaI 枷Ak14-i2(n 一 6)一 1b 一 1ab 兰 1(n)0a6枷d,6Ak(a+6)2nlab=111b1e()+ ef1+州一 f 一一,(a 一 6)+O(h)(12b=,rab 兰 1(n)d,bAk(+b)由引理 3 及引理 4 可得,主项为一塞(e()anbe,6l(An)anb,6l(An)k1,r枷e(一 rco1)e(=f=,d 一 1?+.(r41F 下习n2h1
8、()+()十oEn2h+d()4ln2n(2)现估计误差项,当 m 时,1 罄 b1() ef1,1,n自 nne(_二) abne,6l(An)警 e(一詈)吉(m,)1()4(一 )+专()4(P(n)12(3)于是由(3)式及引理 4 有量 e(-e(obd.6l(An)2+号 dz()4(P(一)1.(4)同(3)式类似可证 ,对任意非负整数 r,S,有arb 一 a 一,r3b=,r枷ab 三 1(H),6Akld4-6k1(+S1(r+)(+)“,.+,J走l一 214r0奎奎H一ml1 翌一第 4 期王辉,胡志兴,熊月琴:关于模 N 的原根的分布Orn“-专 d.4“1n.(5)
9、由(5)式及二项式公式可得塞塞.+ =n-赫 2b=,广 r 赫 l/ladb.6l(An)0r4hn.专 d.(n)4“1n.n,(6)由(1),(2),(4),(6)式立即可以得到所要证明的结论.引理 6 设 U,h 及 k 为整数,且 k1,则有有限 Fourier 展开式()一茎 sincot,其中函数()定义为()一 j 一一 1,如果不是整数10,如果是整数引理 7 设 n3 存在原根,对整数 1kn,且(n,k)一 1 和实数 01,有估计式(n() 】1n证明由引理 6 及类似证明引理 5 的方法可证得.2 定理的证明min(In 一口五 laAl 口+al,ln+a 一五 1
10、)一ln 一 la=1口IlaAl 口+五z奎(+专一()cn 一l+i(n)+0(号.(n)41n4)当专1 时,由引理 5 及上式立刻得到min(In 一五 I,In+a 一 1)一 a=1a抽aFA口+五号1+ In 一卜 n1 一 n-二 1d=1 厶=1la-lnla-lin1aA 口AId+l+(2 一 48)k+J.O(nd.(n)4“In.参考文献:1王巨平.关于 Golomb 猜想 _J.中国科学.1987,(9):927935.2潘承洞,潘承彪 .歌德巴赫猜想M.北京:科学出版社,1981.3WellA.Onsomeexponentialsums.Proc.Nat.AcadSci.当.1He,dqgI.N5,31.N6AglN7 立4U王SA辉,19.胡84志,3兴4.2,0高4丽207.
